数学建模案例与方法教学课件第4章微分方程建模

数学建模案例与方法数学建模案例与方法微分方程建模微分方程建模第 4 章目录CONTENTS交通管理中的黄灯问题4.1人 口 模 型4.2赝品的鉴定4.3肿 瘤 模 型4.4微分方程建模微分方程建模在许多实际问题的研究中，如果要直接导出变量之间的函数关系较为困难，但要导出包含未知函数的导数或微分的关系式却较为容易，此时即可用建立微分方程模型的方法来研究实际问题。这些模型所研究的问题主要来自非物理领域的实际问题，对这些问题，应分析其特征，根据具体情况进行类比，提出假设条件并建立微分方程模型加以研究。在这类模型中，微分方程作为研究问题的工具。事实上，在连续变量问题的研究中，微分方程或微分方程组也是常用的数学工具之一。4.1 交通交通管理中的黄灯问题管理中的黄灯问题 问题提出 4.1.14.1.1在十字路口的交通管理中，亮红灯之前，先要亮一段时间的黄灯，这是为了让那些正驾驶车辆驶近十字路口的驾驶员注意，告诉他们红灯即将亮起，假如能够使车辆在红灯亮起前停住，应当马上刹车，以免闯红灯违反交通规则。这里我们不妨想一下：黄灯应当亮多久才比较合适？4.1 交通交通管理中的黄灯问题管理中的黄灯问题 问题分析 4.1.24.1.2现在，让我们来分析一下这个问题。在十字路口行驶的车辆中，交警主要考虑的是机动车辆，因为只要机动车辆能停住，那么非机动车辆自然也应当能停住。驶近十字路口的驾驶员在看到黄色信号灯后要立即做出决定：是停车还是通过路口。如果决定停车，必须有足够的距离能让驾驶员停住车辆，也就是说，在街道上存在一条无形的线（见图4-1中的ab），从这条线到路口的距离L与此街道的法定速度v0（制定法定速度的目的是最大限度地发挥这一街道的作用）有关，法定速度越大，此距离也越大。4.1 交通交通管理中的黄灯问题管理中的黄灯问题当黄灯亮起时，机动车辆到路口的距离小于此距离时不能停车，否则会冲出路口；反之必须停车；当机动车辆到路口的距离等于此距离时，既可以停车，也可以通过路口。对于那些已经过线而无法停住的机动车辆，黄灯又必须留有足够的时间使它们能够顺利地通过路口。4.1 交通交通管理中的黄灯问题管理中的黄灯问题图4-1 交通管理中的黄灯问题根据上述分析，求解这一问题的步骤为：先根据该街道的法定速度v0求出停车线位置（停车线到路口的距离），再根据停车线的位置及法定速度确定黄灯该亮多久。4.1 交通交通管理中的黄灯问题管理中的黄灯问题 模型建立 4.1.34.1.3停车线的确定停车线的确定1.要确定停车线的位置应当考虑以下两点：（1）驾驶员看到黄灯并决定停车需要一段反应时间t1，在这段时间里，驾驶员尚未刹车。（2）驾驶员刹车后，车辆还需要继续行驶一段距离，这段距离称为刹车距离。4.1 交通交通管理中的黄灯问题管理中的黄灯问题驾驶员的反应时间（实际为平均反应时间）t1较易得到，可以根据经验或者统计数据求出，交通部门对驾驶员也有一个统一的要求（在考驾照时都必须经过测试）。为不失一般性，假设t1=1 s（反应时间的长短并不影响计算方法）。停车时，驾驶员踩动刹车踏板产生一种摩擦力，该摩擦力使机动车辆减速并最终停下。设汽车的质量为m，刹车摩擦系数为f，x(t)为刹车后在t 时刻内行驶的距离，根据刹车规律，可假设刹车制动力为fmg（g为重力加速度）。由牛顿第二定律，车辆在刹车过程中应满足的运动方程为4.1 交通交通管理中的黄灯问题管理中的黄灯问题4.1 交通交通管理中的黄灯问题管理中的黄灯问题4.1 交通交通管理中的黄灯问题管理中的黄灯问题黄灯时间的计算黄灯时间的计算2.在黄灯转为红灯的这段时间里，应保证已经过线的车辆顺利地通过路口。记街道的宽度为D（D很容易测得），平均车身长度为l，车辆通过的路程最长可达L+D+l，因而，为保证过线的车辆全部顺利通过，黄灯的持续时间至少应为 （4-6）4.2 人人 口口 模模 型型 问题提出 4.2.14.2.1人口增长问题是当今世界上最受关注的问题。在许多媒体上，我们都可以看到各种各样关于人口增长的预报，但你是否曾对这些预报做过比较。假如你曾做过比较，你一定已经发现：不同媒体对同一时间人口增长的预报在数字方面有较大的差别，这显然是由于采用了不同的人口模型作为预测的依据。4.2 人人 口口 模模 型型 模型假设 4.2.24.2.2为了便于表述，我们先做如下假设：用x(t)表示t时刻的人口数量，这里将不区分人口在年龄、性别上的差异，严格地说，人口总数中个体的数目是时间t的不连续函数，但由于人口数量一般很大，不妨可近似地认为x(t)是t的一个连续可微函数。x(t)的变化与出生、死亡、迁入和迁出等因素有关，若用B、D、I和E分别表示人口的出生率、死亡率、迁入率和迁出率，并假设它们都是常数，则人口增长的一般模型为 （4-7）4.2 人人 口口 模模 型型 模型建立 4.2.34.2.3马尔萨斯模型马尔萨斯模型1.要预测一个国家的人口增长情况，首先要掌握人口的出生率和死亡率。假如迁入率和迁出率对一个国家的影响相对较小，以至于可以略去不计，则模型将变得更为简单。17世纪末，英国神父马尔萨斯（Malthus）发现，人口的出生率和死亡率几乎都可以看成常数，因而两者之差r也几乎是常数，这就是说，人口增长率与当时的人口数量成正比，比例常数r被称为人口自然增长率（可以通过人口统计数据得到），这就是著名的马尔萨斯模型。4.2 人人 口口 模模 型型式（4-9）说明，人口数将以指数函数的速度增长。事实上，在实际应用时，人们常以年为单位来考察人口数的变化情况。例如，取t-t0=0，1，2，3，n，这样就得到了以后各年的人口数为x0,x0er,x0e2r,，x0enr,，这表明，按照马尔萨斯模型，人口数将以公比为er的等比级数增长。马尔萨斯模型的一个重要特征是人口数增长一倍所需的时间是一个常数。设t=t0时的人口数为x0，t=t0+T时的人口数增长到2x0，则由x0ert=2x0解得 （4-10）4.2 人人 口口 模模 型型比较历年的人口统计资料，可以发现人口数增长的实际情况与马尔萨斯模型的预报结果基本相符，人口数大约每35年增长一倍。在17001961年的261年中，马尔萨斯模型预测的人口数量和实际人口数量几乎完全一致。按照马尔萨斯模型进行计算，人口数量每 34.6年增长一倍。例如，1961年世界人口数为30.6亿，人口增长率约为2%。4.2 人人 口口 模模 型型马尔萨斯模型用于检验过去，效果很好；但用于预测未来，却包含了明显的不合理因素。假如人口数量真能保持每34.6年增长一倍，那么人口数量将以几何级数的方式增长。例如，到2510年，世界人口数量将达21014，即使把海洋也算在里面，每人也只有9.3 ft2（1 ft21 m2）的活动范围；而到2670年，人口数量将达到361015。导致这个后果的原因是：在马尔萨斯模型中做了如下的假设：人口自然增长率r仅与人口出生率和死亡率有关且为常数。这一假设使模型得以简化，但也隐含了人口数量的无限制增长，显然用该模型来做长期的人口数量预测不太合理，需要对其进行修改。4.2 人人 口口 模模 型型罗杰斯蒂克模型罗杰斯蒂克模型2.要对马尔萨斯模型进行修改，应进一步考虑哪些因素呢？人们发现，当人口稀少、资源相对较为丰富时，人口增长得较快，在短期内，增长率基本上是一个常数；但当人口数量发展到一定水平时，会产生许多新问题，如食物短缺、居住拥挤和交通拥挤等。此外，随着人口密度的增加，传染病会增多，死亡率将上升，所有这些都会导致人口增长率的减小。4.2 人人 口口 模模 型型根据统计规律，假设B-D=r（1-x/K），式中，r为人口的内禀增长率，K 为环境可容纳的人口最大数量。该假设较好地反映了人口增长率随着人口数量的增加而减少的现象。按照这个假设，就可以得到人口增长的罗杰斯蒂克（Logistic）模型。（4-11）4.2 人人 口口 模模 型型4.2 人人 口口 模模 型型如前所述，人口增长率应当是人口数量的函数，即r=r(x)，但这个函数无法求得。因为不知道增长率r，就不可能建立具有实用价值的模型。要想解决这个问题，不妨采用工程师原则，即当无法得到一个函数时，就用尽可能简单的函数来代替它。马尔萨斯模型假设r为常数，但从长远的观点来看，r为常数有不太合理的地方，所以所要考虑的函数应该是一次函数。设 r(x)=(rx)x=r(1rx)x （4-13）4.2 人人 口口 模模 型型4.2 人人 口口 模模 型型对罗杰斯蒂克模型还有一种解释是：当人口数量太大时，种群间会发生生存竞争，并导致人口增长率的降低。竞争的强弱既和当前的种群数x有关，又和环境还能供养多少种群量（K-x）有关。大量统计试验表明，对人口增长率的影响与这两者的乘积（K-x）x成正比，这就是模型（4-14），而竞争的影响与两者乘积成正比的规律被称为统计筹算律。4.2 人人 口口 模模 型型用罗杰斯蒂克模型来描述种群增长规律的效果应该用事实来验证。1945年，德国生物学家高斯（Gauss）做了一个原生物草履虫实验，这个实验的结果与Logistic曲线十分吻合。大量实验结果表明，用罗杰斯蒂克模型来描述种群增长的效果是相当不错的。4.2 人人 口口 模模 型型总结上述两个模型，可以得出如下结论：作为短期预测，两者的效果不相上下，但用马尔萨斯模型要简单得多；作为中长期预测，罗杰斯蒂克模型显然要比马尔萨斯模型更为合理。另外，马尔萨斯模型和罗杰斯蒂克模型虽然都是为了研究种群数量的增长情况而建立的数学模型，但它们也可被用来研究一些其他的实际问题，只要这些实际问题的数学模型有相同的微分方程即可。4.3 赝品赝品的鉴定的鉴定 模型背景 4.3.14.3.1第二次世界大战比利时解放以后，荷兰野战军保安机关开始搜捕纳粹同谋犯。他们从一家曾向纳粹德国出卖过艺术品的公司中发现了线索，于1945年5月29日以通敌罪逮捕了一名三流画家范梅格伦（Van Meegren），此人曾将17世纪荷兰著名画家简弗米尔（Jan Vermeer）的油画捉奸等卖给纳粹德国戈林的中间人。4.3 赝品赝品的鉴定的鉴定可是，范梅格伦在1945年7月12日在牢里宣称：他从未把捉奸卖给戈林，而且他还说，这幅画和众所周知的油画在埃牟斯的门徒及其他四幅冒充弗米尔的油画和两幅德胡斯（17世纪荷兰画家）的油画，都是他自己的作品，这件事在当时震惊了全世界。为了证明自己的确伪造过名画，他在监狱里开始伪造弗米尔的油画耶稣在门徒们中间。当这项工作接近完成时，范梅格伦获悉自己的通敌罪已被改为伪造文物罪，因此他拒绝将这幅画完成，以免留下罪证。4.3 赝品赝品的鉴定的鉴定为了审理这一案件，法庭组织了一个由著名化学家、物理学家和艺术史学家组成的国际专门小组。他们用X射线检验画布上是否曾经有过别的画。此外，他们还分析了油彩中的拌料（色粉），检验油画中有没有历经岁月的迹象，等等。经过一番努力，科学家们终于在其中的几幅画中发现了现代颜料钴兰的痕迹，在几幅画中检验出了20世纪初才发明的酚醛类人工树脂等。根据这些证据，范梅格伦于1947年10月12日被宣判犯有伪造文物罪，被判刑一年。可是他在狱中只待了两个多月就因心脏病发作而病故。4.3 赝品赝品的鉴定的鉴定然而，事情到此并未结束，许多人还是不肯相信著名的在埃牟斯的门徒是范梅格伦伪造的。事实上，在此之前，这幅画已经被文物鉴定家认定为真迹。专家小组对于怀疑者的回答是：范梅格伦曾因他在艺术界中没有地位而十分懊恼，所以想通过绘制在埃牟斯的门徒来证明自己有高于三流画家的水平。这种解释并未使怀疑者感到满意，他们要求科学地证明在埃牟斯的门徒的确是一个伪造品。这一问题一直拖了20年，直到1967年，才被卡内基梅伦（Carnegie-Mellon）大学的科学家们基本解决。4.3 赝品赝品的鉴定的鉴定 原理与模型 4.3.24.3.2测定油画和其他岩石类材料的年龄的关键是21世纪初发现的放射性现象。新西兰物理学家欧内斯特卢瑟福（Ernest Rutherford）在20世纪初发现，某些“放射性”元素的原子是不稳定的，