人教版九年级数学上册第21章《一元二次方程》单元综合训练【含答案】

人教版九年级数学上册第21章《一元二次方程》单元综合训练 一、选择题 1．下列方程中，一元二次方程共有（　　） ①3x2+x＝20 ②2x2﹣3xy+4＝0 ③x3﹣x＝1 ④x2＝1 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．将方程化成一元二次方程的一般形式，正确的是（ ）． A． B． C． D． 3．对于方程，下列判断正确的是（ ） A．一次项系数为1 B．常数项是2 C．二次项系数是3x2 D．一次项是-x 4．方程x（x﹣5）＝x﹣5的根是（　　） A．x＝5 B．x＝0 C．x1＝5，x2＝0 D．x1＝5，x2＝1 5．解方程2(x－1) 2＝3(1－x)最合适的方法是 ( ) A．配方法 B．公式法 C．因式分解法 D．无法确定 6．一元二次方程的解的情况是（ ） A．无解 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．只有一个解 7．某商品的进价为每件40元，当售价为每件80元时，每星期可卖出200件，现需降价处理，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出8件，店里每周利润要达到8450元．若设店主把该商品每件售价降低x元，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 8．已知a、b是一元二次方程x2-3x-1=0的两实数根，则=（ ） A．3 B．-3 C． D．- 二、填空题 9．方程x2-2x-1=0的判别式____________. 10．若关于x的一元二次方程x2+mx+2n＝0有一个根是2，则m+n＝_____． 11．如果两个数的差为3，并且它们的积为88，那么其中较大的一个数为_____． 12．.六一儿童节当天，某班同学每人向本班其他每个同学送一份小礼品，全班共互送306份小礼品，则该班有______名同学． 13．三角形的每条边的长都是方程的根，则三角形的周长是________． 14．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则点在第____象限． 三、解答题 15．用适当方法解下列方程： （1）（x﹣3）2﹣9＝0； （2）（x+1）（2﹣x）＝1． 16．随着国家“惠民政策”的陆续出台，为了切实让老百姓得到实惠，国家卫计委通过严打药品销售环节中的不正当行为，某种药品原价200元/瓶，经过连续两次降价后，现仅卖98元/瓶，现假定两次降价的百分率相同，求该种药品平均每次降价的百分率． 17．已知关于x的一元二次方程 x2-6x+m+4=0有两个实数根 x1，x2. （1）求m的取值范围； （2）若 x1，x2满足x2-2x1=-3 ，求m的值. 18．一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件. （1）若降价3元，则平均每天销售数量为________件； （2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？ 19．阅读下面的材料： 解方程． 解：当时，原方程化为， 解得（不合题意，舍去）； 当时，，矛盾，舍去； 当时，原方程化为 解得（不合题意，舍去）． 综上所述，原方程的根是． 请参照上面材料解方程． （1）； （2）． 20．如图，在长方形中，，，动点、分别从点、同时出发，点以2厘米/秒的速度向终点移动，点以1厘米/秒的速度向移动，当有一点到达终点时，另一点也停止运动.设运动的时间为，问： (1)当秒时，四边形面积是多少？ (2)当为何值时，点和点距离是？ (3)当_________时，以点、、为顶点的三角形是等腰三角形.(直接写出答案) 答案 1．B 【分析】 根据一元二次方程的定义逐一分析即可． 【详解】 解：一元二次方程有：3x2+x＝20，x2＝1，共2个， 故选：B． 本题考查一元二次方程的定义，掌握一元二次方程定义的三个条件是解题的关键：（1）只含有一个未知数；（2）未知数最高次数为2次；（3）是整式方程． 2．B 【分析】 通过移项把方程4x2+5x=81化成一元二次方程的一般形式． 【详解】 方程4x2+5x=81化成一元二次方程的一般形式是4x2+5x-81=0． 故选B． 此题主要考查了一元二次方程的一般形式，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项． 3．D 【分析】 根据一元二次方程项与系数的概念进行判断. 【详解】 一元二次方程的一般形式是ax2＋bx＋c＝0.其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项.A、一次项系数为﹣1.B、常数项为﹣2.C.、次项系数为3.D、一次项是﹣x.故选D. 4．D 【分析】 利用因式分解法求解可得． 【详解】 解：∵x（x﹣5）﹣（x﹣5）＝0， ∴（x﹣5）（x﹣1）＝0， 则x﹣5＝0或x﹣1＝0， 解得x＝5或x＝1， 故选：D． 本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 5．C 【详解】 首先观察方程，左右两边都含有相同的因式x－1，所以解方程时首先移项，得2(x－1) 2－3(1－x)=0，即2(x－1) 2+3(x－1)=0，然后将等号左边因式分解即提取公因式x－1得（x－1）[2（x－1）+3]=0，分别令等号左边两个因式为0，即可解出x. 故选C. 点睛：解一元二次方程时首先观察方程的特点，然后选择最合适的方法解方程. 6．B 【分析】 求出判别式的值即可得到答案. 【详解】 ∵2-4ac=9-（-4）=13， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：B. 此题考查一元二次方程的根的判别式，熟记判别式的计算方法及结果的三种情况是解题的关键. 7．B 利润=售价﹣进价，由每降价1元，每星期可多卖出8件，可知每件售价降低x元，每星期可多卖出8x件，从而列出方程即可． 解：原来售价为每件80元，进价为每件40元，利润为每件40元， 所以每件售价降价x元后，利润为每件（40﹣x）元． 每降价1元，每星期可多卖出8件， 因为每件售价降低x元，每星期可多卖出8x件，现在的销量为(200+8x)． 根据题意得：（40﹣x）×(200+8x) =8450. 故选B． 点睛：本题主要考查列一元二次方程解决实际问题.解题的关键在于要理解题意，并根据题中的数量关系建立方程. 8．B 【分析】 先求出a+b和ab的值，然后把通分后代入计算即可． 【详解】 解：∵a、b是一元二次方程x2-3x-1=0的两实数根， ∴a+b=3，ab=-1， ∴=． 故选B． 本题考查了分式的通分，以及一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根与系数的关系，若x1，x2为方程的两个根，则x1，x2与系数的关系式：，． 9．8 【详解】 Δ=b2－4ac=（－2）2－4×1×（－1）=8. 故答案为8. 点睛：Δ=b2－4ac. 10．﹣2 【分析】 根据一元二次方程的解的定义把x＝2代入x2＋mx＋2n＝0得到4＋2m＋2n＝0得n＋m＝−2，然后利用整体代入的方法进行计算． 【详解】 ∵2（n≠0）是关于x的一元二次方程x2＋mx＋2n＝0的一个根， ∴4＋2m＋2n＝0， ∴n＋m＝−2， 故答案为−2． 本题考查了一元二次方程的解（根）：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． 11．11或﹣8 【分析】 根据题意设较小的数为x，表示出较大的数，列出方程求出解即可． 【详解】 解：设较小的数为x，则较大的数为x+3， 根据题意得：x（x+3）＝88，即x2+3x﹣88＝0， 分解因式得：（x﹣8）（x+11）＝0， 解得：x＝8或x＝﹣11， ∴x+3＝11或﹣8， 则较大的数为11或﹣8， 故11或﹣8． 本题主要考查一元二次方程的应用，弄清题意并根据题意列出方程求出解是解答本题的关键． 12．18 【详解】 试题解析：设该班有名x学生，则有x（x-1）=306， 解之，得 ：x1=18，x2=-17（舍去）． 故该班有18名学生． 点睛：每位同学向本班的其他同学赠送自己制作的小礼物1件，则x位同学时，每位同学赠送（x-1）件． 13．6或10或12 【分析】 首先用因式分解法求得方程的根，再根据三角形的每条边的长都是方程的根，进行分情况计算． 【详解】 由方程，得=2或4． 当三角形的三边是2，2，2时，则周长是6； 当三角形的三边是4，4，4时，则周长是12； 当三角形的三边长是2，2，4时，2+2=4，不符合三角形的三边关系，应舍去； 当三角形的三边是4，4，2时，则三角形的周长是4+4+2=10． 综上所述此三角形的周长是6或12或10． 14．四． 【分析】 由二次项系数非零及根的判别式△＞0，即可得出关于a的一元一次不等式组，解之即可得出a的取值范围，由a的取值范围可得出a+1＞0，-a-3＜0，进而可得出点P在第四象限，此题得解． 【详解】 ∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：且． ∴，， ∴点在第四象限． 故答案为四． 本题考查了根的判别式、一元二次方程的定义以及点的坐标，利用二次项系数非零及根的判别式△＞0，找出关于a的一元一次不等式组是解题的关键． 15．（1）x1＝0，x2＝6；（2） 【分析】 （1）利用直接开平方法解出方程； （2）把原方程化为一般形式，利用公式法解出方程． 【详解】 （1）（x﹣3）2﹣9＝0, （x﹣3）2＝9, x﹣3＝±3, x1＝0，x2＝6； （2）（x+1）（2﹣x）＝1, 2x﹣x2+2﹣x﹣1＝0 x2﹣x﹣1＝0 △＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣1）＝5＞0， x＝ x1＝，x2＝． 本题考查的是一元二次方程的解法，掌握直接开平方法和公式法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键． 16．该种药品平均每次降价的百分率是30%. 【详解】 试题分析：设该种药品平均每场降价的百分率是x，则两个次降价以后的价格是，据此列出方程求解即可． 试题解析：设该种药品平均每场降价的百分率是x，由题意得： 解得：（不合题意舍去），=30%． 答：该种药品平均每场降价的百分率是30%． 考点：一元二次方程的应用；增长率问题． 17．（1）m≤5;（2）m=5. 试题分析： （1）由原方程有两个实数根可知：根的判别式△，由此列出关于“m”的表达式，解不等式即可求得m的取值范围； （2）由方程 x2-6x+m+4=0有两个实数根 x1，x2可得：x1+x2=6，x1·x2=m+4，结合x2-2x1=-3即可解得m的值. 试题解析： （1）∵关于x的一元二次方程x2-6x+m+4 有实数根， ∴△ ≥0，即：△=（-6）2-4×1×（m+4）≥0 ， ∴36-4m-16≥0，解得：m≤5； （2）∵方程 x2-6x+m+4=0有两个实数根 x1，x2， ∴ x1+x2=6，x1·x2=m+4， 又∵ x2-2x1=-3