第三章第二讲导数的简单应用 高中数学文科总复习习题课件

第三章导数及其应用第二讲导数的简单应用考点1导数与函数的单调性（每年必考）考点2导数与函数的极值、最值（5年7考）考点3生活中的优化问题（5年未考）基础帮要点提炼考向1利用导数研究函数的单调性考向2函数单调性的应用考向3利用导数研究函数的极值和最值考法帮考向扫描考向4导函数图象的应用考向5利用导数解最优化问题高分帮攻坚克难数学探索运用构造法求解f(x)与f(x)共存的不等式问题基础帮要点提炼导数与函数的单调性考法帮高分帮考点1返回目录条件结论函数y=f(x)在区间(a,b)内可导f(x)0f(x)在区间(a,b)内单调递f(x)在区间(a,b)内单调递减恒有 f(x)在区间(a,b)内是常数函数思维拓展用充分必要条件诠释导数与函数单调性的关系(1)f(x)0(0)是f(x)在区间(a,b)内单调递增(减)的充分不必要条件.(2)f(x)0(0)是f(x)在区间(a,b)内单调递增(减)的必要不充分条件.(3)若f(x)在区间(a,b)的任意子区间内都不恒等于零,则f(x)0(0)是f(x)在区间(a,b)内单调递增(减)的充要条件.增f(x)0,右侧f(x)0 x0附近的左侧f(x)0,右侧f(x)0图象极值f(x0)为极大值 为极小值极值点x0为极大值点 x0为极小值点和极大值点统称为极值点,极小值和极大值统称为极值.f(x0)极小值点导数与函数的极值、最值考法帮高分帮考点2返回目录易错警示(1)极值点不是点,若函数f(x)在x1处取得极大值,则x1为极大值点,极大值为f(x1).(2)极大值与极小值没有必然关系,极小值可能比极大值还大.(3)有极值的函数一定不是单调函数.(4)f(x0)=0是x0为可导函数f(x)的极值点的必要不充分条件.例如,f(x)=x3,f(0)=0,但x=0不是极值点.2.函数的最值若在区间a,b上函数f(x)的图象是一条连续不断的曲线,则在a,b上f(x)必有最大值与最小值.导数与函数的极值、最值考法帮高分帮考点2返回目录辨析比较函数极值与最值的区别与联系极值最值区别(1)极值是个“局部”概念,只能在定义域内部取得;(2)在指定区间上极值可能不止一个,也可能一个都没有.(1)最值是个“整体”概念,可以在区间的端点处取得;(2)最值最多有一个.联系(1)极值有可能成为最值,最值只要不在区间端点处取得,必定是极值;(2)在区间a,b上图象是一条连续曲线的函数f(x)若有唯一的极值,则这个极值就是最值.生活中的优化问题考法帮高分帮考点3返回目录生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题,这些问题通常称为优化问题.利用导数解决生活中优化问题的基本思路为:注意 在求实际问题的最大值、最小值时,一定要考虑实际问题的意义,不符合实际意义的值应舍去.考法帮高分帮返回目录理解自测1.判断正误(正确的打“”,错误的打“”).(1)若函数f(x)在定义域上都有f(x)0.()(3)在某区间上f(x)0(f(x)0(或0(或f(x)0(或f(x)0)在该区间上存在解集,这样就把函数的单调性问题转化成不等式有解问题.已知f(x)在区间I上的单调性,区间I中含有参数.先求出f(x)的单调区间,令I是其单调区间的子集,从而可求出参数的取值范围.已知f(x)在区间D上不单调.转化为f(x)=0在区间D上有解求解.也可先求出f(x)在区间D上单调时参数的取值范围,然后运用补集思想得解.函数单调性的应用考向2基础帮高分帮返回目录(-,-3函数单调性的应用考向2基础帮高分帮返回目录函数单调性的应用考向2基础帮高分帮返回目录函数单调性的应用考向2基础帮高分帮返回目录角度2比较大小或解不等式C函数单调性的应用考向2基础帮高分帮返回目录函数单调性的应用考向2基础帮高分帮返回目录方法技巧利用导数比较大小或解不等式的常用技巧利用题目条件,构造辅助函数,借助导数研究构造的函数的单调性,再由单调性比较大小或解不等式.B函数单调性的应用考向2基础帮高分帮返回目录利用导数研究函数的极值和最值考向3基础帮高分帮返回目录角度1求函数的极值或最值7.典例(1)2017全国卷若x=-2是函数f(x)=(x2+ax-1)ex-1的极值点,则f(x)的极小值为()A.-1 B.-2e-3C.5e-3D.1(2)2021新高考卷函数f(x)=|2x-1|-2lnx的最小值为.A1解析(1)因为f(x)=(x2+ax-1)ex-1,所以f(x)=(2x+a)ex-1+(x2+ax-1)ex-1=x2+(a+2)x+a-1ex-1.因为x=-2是函数f(x)=(x2+ax-1)ex-1的极值点,所以-2是x2+(a+2)x+a-1=0的根,所以a=-1,f(x)=(x2+x-2)ex-1=(x+2)(x-1)ex-1.利用导数研究函数的极值和最值考向3基础帮高分帮返回目录利用导数研究函数的极值和最值考向3基础帮高分帮返回目录方法技巧1.求可导函数f(x)的极值的步骤(1)确定函数的定义域,求导数f(x);(2)求方程f(x)=0的根;(3)检验f(x)在方程f(x)=0的根的左右两侧的符号,具体如下表:xxx0f(x)f(x)0f(x)=0f(x)0f(x)增极大值f(x0)减xxx0f(x)f(x)0f(x)减极小值f(x0)增(4)得出结论.利用导数研究函数的极值和最值考向3基础帮高分帮返回目录2.求函数f(x)在a,b上的最值的方法(1)若函数f(x)在区间a,b上单调递增(递减),则f(a)为最小(大)值,f(b)为最大(小)值;(2)若函数在区间(a,b)内有极值,则要先求出函数在(a,b)内的极值,再与f(a),f(b)比较,最大的是最大值,最小的是最小值,可列表完成;(3)函数f(x)在区间(a,b)上有唯一一个极值点,这个极值点就是最值点,此结论在导数的实际应用中经常用到.注意求函数在无穷区间(或开区间)上的最值,一般要根据函数的极值及单调性画出函数的大致图象,借助图象求解.利用导数研究函数的极值和最值考向3基础帮高分帮返回目录利用导数研究函数的极值和最值考向3基础帮高分帮返回目录利用导数研究函数的极值和最值考向3基础帮高分帮返回目录角度2已知函数的极值、最值求参数9.典例2018北京高考设函数f(x)=ax2-(4a+1)x+4a+3ex.()若曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线与x轴平行,求a;()若f(x)在x=2处取得极小值,求a的取值范围.解析 ()因为f(x)=ax2-(4a+1)x+4a+3ex,所以f(x)=ax2-(2a+1)x+2ex.f(1)=(1-a)e.由题设知f(1)=0,即(1-a)e=0,解得a=1.此时f(1)=3e0.所以a的值为1.利用导数研究函数的极值和最值考向3基础帮高分帮返回目录利用导数研究函数的极值和最值考向3基础帮高分帮返回目录方法技巧1.已知函数极值点或极值求参数的两个要领列式根据极值以及极值点处导数为0列方程(组),利用待定系数法求解.验证因为f(x0)=0不是x0为极值点的充要条件,所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性.2.若函数y=f(x)在区间(a,b)上存在极值点,则y=f(x)在(a,b)上不是单调函数,即函数y=f(x)在区间(a,b)内存在变号零点.利用导数研究函数的极值和最值考向3基础帮高分帮返回目录10.变式2019全国卷已知函数f(x)=2x3-ax2+b.(1)讨论f(x)的单调性;(2)是否存在a,b,使得f(x)在区间0,1上的最小值为-1且最大值为1?若存在,求出a,b的所有值;若不存在,说明理由.利用导数研究函数的极值和最值考向3基础帮高分帮返回目录利用导数研究函数的极值和最值考向3基础帮高分帮返回目录导函数图象的应用考向4基础帮高分帮返回目录11.典例2017浙江高考函数y=f(x)的导函数y=f(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)的图象可能是()ABCDD导函数图象的应用考向4基础帮高分帮返回目录解析 根据题意,已知导函数的图象有三个零点,且每个零点的两边导函数值的符号相反,因此函数f(x)在这些零点处取得极值,根据极值个数和极值点符号可排除A,B;记导函数 f(x)的零点从左到右分别为x1,x2,x3,又在(-,x1)上f(x)0,所以函数f(x)在(-,x1)上单调递减,排除C.选D.导函数图象的应用考向4基础帮高分帮返回目录方法技巧导函数图象的应用策略(1)先找导数为0的点,再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号,进而判断函数极值的情况.(2)由导函数y=f(x)的图象可以看出y=f(x)的值的正负,从而可得函数y=f(x)的单调性.导函数图象的应用考向4基础帮高分帮返回目录B导函数图象的应用考向4基础帮高分帮返回目录导函数图象的应用考向4基础帮高分帮返回目录对于,由题图知,在区间a,x3上,f(x)0,在区间x3,x5上,f(x)0,在区间x5,b上,f(x)0,所以y=f(x)有一个极大值点x3和一个极小值点x5,故错误;对于,由题图知,在区间x2,x3上,f(x)0,且f(x)单调递减,故y=f(x)单调递增,故f(p)f(q),f(p)f(q),故f(p)-f(q)f(p)-f(q)0),问OE为多少米时,桥墩CD与EF的总造价最低?导函数图象的应用考向4基础帮高分帮返回目录导函数图象的应用考向4基础帮高分帮返回目录x(0,20)20(20,40)f(x)-0+f(x)极小值所以当x=20时,f(x)取得最小值.答:(1)桥AB的长度为120米;(2)当OE为20米时,桥墩CD和EF的总造价最低.导函数图象的应用考向4基础帮高分帮返回目录方法技巧利用导数解决生活中实际应用问题的一般步骤注意 在利用导数解决实际问题时,若在定义域内只有一个极值,则这个值即为最值.高分帮攻坚克难运用构造法求解f(x)与f(x)共存的不等式问题数学探索返回目录基础帮考法帮类型1只含f(x)型14.典例2021郑州市三模已知奇函数f(x)在R上的导数为f(x),且当x(-,0时,f(x)1,则不等式f(2x-1011)-f(x+1010)x-2021的解集为（）A.(2021,+)B.2021,+)C.(-,2021D.(-,2021)解析 令g(x)=f(x)-x,(由条件f(x)1构造函数g(x)则g(x)=f(x)-1,因为当x(-,0时,f(x)1,所以当x(-,0时,g(x)0(或0(或k(或f(x),若实数a0,则下列不等式恒成立的是（）A.af(lna)ea-1f(a-1)B.af(lna)ea-1f(a-1)C.ea-1f(lna)af(a-1)D.ea-1f(lna)af(a-1)D运用构造法求解f(x)与f(x)共存的不等式问题数学探索返回目录基础帮考法帮解析 令g(x)=f(x)ex,则g(x)=f(x)-f(x)ex0,g(x)为增函数.(根据条件f(x)f(x)构造函数g(x),判断g(x)的单调性)令h(a)=ln a-a+1,(由选项可知,需比较ln a,a-1的大小,构造函数h(a)求解)则h(a)=1-aa,当0a0,h(a)单调递增,当a1时,h(a)0时,xf(x)-f(x)0成立的x的取值范围是（）A.(-,-1)(0,1)B.(-1,0)(1,+)C.(-,-1)(-1,0)D.(0,1)(1,+)A运用构造法求解f(x)与f(x)共存的不等式问题数学探索返回目录基础帮考法帮运用构造法求解f(x)与f(x)共存的不等式问题数学探索返回目录基础帮考法帮运用构造法求解f(x)与f(x)共存的不等式问题数学探索返回目录基础帮考法帮类型4f(x)g(x)f(x)g(x)型D运用构造法求解f(x)与f(x)共存的不等式问题数学探索返回目录基础帮考法帮运用构造法求解f(x)与f(x)共存的不等式问题数学探索返回目录基础帮考法帮运用构造法求解f(x)与f(x)共存的不等式问题数学探索返回目录基础帮考法帮BB运用构造法求解f(x)与f(x)共存的不等式问题数学探索返回目录基础帮考法帮