第十四章 虚位移原理（陆）

理论力学电子教案理论力学电子教案第第1414章章 虚位移原理虚位移原理1/6918:37:46第四篇第四篇 分析力学基础分析力学基础牛顿力学牛顿力学矢量力学矢量力学分析力学分析力学分析力学的奠基人拉格朗日分析力学的奠基人拉格朗日1788出版了专著出版了专著分析力学分析力学.哈密顿于哈密顿于1834年将拉格朗日方程变换成优美的正则形式年将拉格朗日方程变换成优美的正则形式建立了哈密顿力学建立了哈密顿力学.特点特点:以确定质点系位形空间的广义坐标代替矢径以确定质点系位形空间的广义坐标代替矢径;以能量和功的分析代替矢量的分析以能量和功的分析代替矢量的分析;以数学分析方法导出统一的公式，不计系统的理想约束力。以数学分析方法导出统一的公式，不计系统的理想约束力。理论力学电子教案理论力学电子教案第第1414章章 虚位移原理虚位移原理2/6918:37:46第十四章第十四章 虚位移原理虚位移原理理论力学电子教案理论力学电子教案第第1414章章 虚位移原理虚位移原理3/6918:37:46用多大的力，能将重Fw的汽车抬起来？baABO如此简单的平衡问如此简单的平衡问题，是否隐藏着一题，是否隐藏着一般性的原理？般性的原理？FPF FWWbaABO理论力学电子教案理论力学电子教案第第1414章章 虚位移原理虚位移原理4/6918:37:46假设系统在约束允许假设系统在约束允许的前提下，略有位移，的前提下，略有位移，则人所作的功与车之则人所作的功与车之重力所作的功之和应重力所作的功之和应为零。为零。ba理论力学电子教案理论力学电子教案第第1414章章 虚位移原理虚位移原理5/6918:37:46现在约束使系统现在约束使系统不可不可能有位移能有位移，能否用能，能否用能量的方法求量的方法求A处的约处的约束力？束力？去掉去掉A处约束，使系处约束，使系统有统有可能位移可能位移，各力，各力有有“假想功假想功”，则问，则问题可解。题可解。baABObaABO理论力学电子教案理论力学电子教案第第1414章章 虚位移原理虚位移原理6/6918:37:46baABO 所所谓谓“可可能能位位移移”，是是约约束束允允许许的的位位移。故先研究约束。移。故先研究约束。理论力学电子教案理论力学电子教案第第1414章章 虚位移原理虚位移原理7/6918:37:461 1 约束与约束方程约束与约束方程一、定义一、定义约束：对运动所加的限制条件约束：对运动所加的限制条件.约束方程：限制条件的数学方程约束方程：限制条件的数学方程.连接于连接于AB杆的小球杆的小球B在在x、y平面内运动的约束方程为：平面内运动的约束方程为：lABxy A、B滑块运动的约束方程：滑块运动的约束方程：（x，y）lABxy理论力学电子教案理论力学电子教案第第1414章章 虚位移原理虚位移原理8/6918:37:46二、约束分类二、约束分类几何约束几何约束：约束方程仅为质点位置的函数：约束方程仅为质点位置的函数.（与速度等无关）（与速度等无关）由由n个质点组成的质点系，受个质点组成的质点系，受s个个约束，几何约束方程形式：约束，几何约束方程形式：非几何约束非几何约束双双面面约约束束：既既能能限限制制质质点点沿沿某某一一方方向向运运动动，又又能能限限制制其其沿沿相相反反方方向向运运动；约束方程为等式。动；约束方程为等式。单面约束单面约束ABxy绳索绳索xyo理论力学电子教案理论力学电子教案第第1414章章 虚位移原理虚位移原理9/6918:37:46定常约束定常约束：约束方程中不显函时间：约束方程中不显函时间t.非定常约束非定常约束完整约束完整约束：几何约束及可积分：几何约束及可积分成几何约束的速度约束。成几何约束的速度约束。非完整约束非完整约束Ov纯滚动纯滚动:理论力学电子教案理论力学电子教案第第1414章章 虚位移原理虚位移原理10/6918:37:462 2 自由度与广义坐标自由度与广义坐标自由度自由度：确定一个受完整约束的质点系位置所需的独立坐标个数。：确定一个受完整约束的质点系位置所需的独立坐标个数。广义坐标广义坐标：一组独立坐标参数，用来确定质点系的位置。：一组独立坐标参数，用来确定质点系的位置。自由度与约束自由度与约束：空间空间n个质点，受个质点，受s个约束，则自由度个约束，则自由度k=3n-s。质质点点系系中中任任一一点点的的坐坐标标可可表表示示为为广广义义坐坐标标的的函函数数（以以下下是是定定常常形形式式）。）。注：此函数形式本身就是注：此函数形式本身就是约束方程约束方程。理论力学电子教案理论力学电子教案第第1414章章 虚位移原理虚位移原理11/6918:37:47例题例题lABxylABxy自由度自由度k=1自由度自由度k=1广义坐标广义坐标xB广义坐标广义坐标广义坐标广义坐标xB广义坐标广义坐标理论力学电子教案理论力学电子教案第第1414章章 虚位移原理虚位移原理12/6918:37:47l1BAxyOl2自由度自由度k=2广义坐标广义坐标xA,xB广义坐标广义坐标,理论力学电子教案理论力学电子教案第第1414章章 虚位移原理虚位移原理13/6918:37:47确定系统的自由度确定系统的自由度?理论力学电子教案理论力学电子教案第第1414章章 虚位移原理虚位移原理14/6918:37:473 3 虚位移虚位移一、定义一、定义虚位移虚位移：满足：满足约束条件约束条件的的任意微小任意微小位移；位移；真实位移真实位移：满足：满足约束条件约束条件、动力学方程动力学方程及及初始条件初始条件的位移，在的位移，在一定一定时间时间内产生，即真实发生的位移。内产生，即真实发生的位移。二、关系二、关系M虚位移与实位移的区别虚位移与实位移的区别（在定常约束下）：（在定常约束下）：实位移实位移虚位移虚位移与主动力有关与主动力有关只与约束有关只与约束有关与时间与时间t有关有关与时间与时间t无关无关唯一唯一不唯一不唯一理论力学电子教案理论力学电子教案第第1414章章 虚位移原理虚位移原理15/6918:37:47在非定常系统中，微小的实位移不再成为虚位移之一。在非定常系统中，微小的实位移不再成为虚位移之一。在非定常系统中在非定常系统中Pdrd dr1d dr2Pd dr1d dr2Pdr1.如约束定常，则虚位移就是可能的实位移如约束定常，则虚位移就是可能的实位移.2.如约束非定常，虚位移不一定等同于可能的实位移如约束非定常，虚位移不一定等同于可能的实位移.3.约束定常时，微小实位移必是为虚位移中的一个约束定常时，微小实位移必是为虚位移中的一个.理论力学电子教案理论力学电子教案第第1414章章 虚位移原理虚位移原理16/6918:37:47lABxy三、质点系中各质点的虚位移之间的关系三、质点系中各质点的虚位移之间的关系（一）几何法（一）几何法baABOI理论力学电子教案理论力学电子教案第第1414章章 虚位移原理虚位移原理17/6918:37:47（二）解析法（二）解析法质点系中任一点的坐标质点系中任一点的坐标假设广义坐标有微小改变假设广义坐标有微小改变ql，则质点坐标的相应改变为则质点坐标的相应改变为lABxy理论力学电子教案理论力学电子教案第第1414章章 虚位移原理虚位移原理18/6918:37:47l1BAxyOl2理论力学电子教案理论力学电子教案第第1414章章 虚位移原理虚位移原理19/6918:37:47l1BAxyOl2yAxA理论力学电子教案理论力学电子教案第第1414章章 虚位移原理虚位移原理20/6918:37:47l1BAxyOl2xB2yB2理论力学电子教案理论力学电子教案第第1414章章 虚位移原理虚位移原理21/6918:37:474 理想约束理想约束 虚功虚功 虚位移原理虚位移原理虚功：虚功：力在虚位移上作的功。力在虚位移上作的功。理想约束：理想约束：在任意虚位移上作功之和为零的约束。在任意虚位移上作功之和为零的约束。常见的几种理想约束常见的几种理想约束:(1)光滑支承面光滑支承面 (2)刚体的固定铰刚体的固定铰(支点支点)FFNr理论力学电子教案理论力学电子教案第第1414章章 虚位移原理虚位移原理22/6918:37:47 (3)连结两刚体的光滑铰链连结两刚体的光滑铰链(4)无重连杆无重连杆理论力学电子教案理论力学电子教案第第1414章章 虚位移原理虚位移原理23/6918:37:48 (5)不可伸长的绳索不可伸长的绳索 虚虚位位移移原原理理（virtual displacement principle）可可表表述述如如下下：受受理理想想、双双面面、定定常常约约束束的的质质点点系系在在某某一一位位置置保保持持平平衡衡【这这里里的的平平衡衡是是指指静静止止】的的必必要要与与充充分分条条件件是是：作作用用于于质质点点系系的的所所有有主主动动力力在在任任何何虚虚位位移移中中的的元功之和等于零元功之和等于零。设设用用Fi代代表表作作用用于于任任一一质质点点Mi的的主主动动力力的的合合力力，以以ri代代表表该该点点的的虚位移，则上述原理可用数学公式表示为：虚位移，则上述原理可用数学公式表示为：虚位移原理方程虚位移原理方程理论力学电子教案理论力学电子教案第第1414章章 虚位移原理虚位移原理24/6918:37:48虚位移原理的证明虚位移原理的证明:具具有有定定常常的的、理理想想约约束束的的质质点点系系，其其平平衡衡（静静止止）的的充充分分必必要条件为：在任意虚位移上所有主动力的虚功之和为零。要条件为：在任意虚位移上所有主动力的虚功之和为零。证明：证明：必要性必要性:平衡平衡Firi=0对任意对任意Mi，由平衡由平衡理想约束，理想约束，必为零必为零理论力学电子教案理论力学电子教案第第1414章章 虚位移原理虚位移原理25/6918:37:48虚位移原理的证明虚位移原理的证明:具具有有定定常常的的、理理想想约约束束的的质质点点系系，其其平平衡衡（静静止止）的的充充分分必要条件为：在任意虚位移上所有主动力的虚功之和为零。必要条件为：在任意虚位移上所有主动力的虚功之和为零。充分性充分性反证法。假设虚功之和为零，但不平衡。反证法。假设虚功之和为零，但不平衡。1.至至少少有有一一个个质质点点从从静静止止开开始始运运动动。由由牛牛顿顿定定律律，其其上上合合力力不不为为零零，且且合力方向与微小实位移方向一致。合力方向与微小实位移方向一致。2.视此微小实位移为虚位移视此微小实位移为虚位移3.此式对所有开始运动的质点均成立，对静止的质点，仍为零。此式对所有开始运动的质点均成立，对静止的质点，仍为零。矛盾矛盾FiFNiFRirMi理论力学电子教案理论力学电子教案第第1414章章 虚位移原理虚位移原理26/6918:37:48再再看看一一次次:虚虚位位移移原原理理：受受理理想想、双双面面、定定常常约约束束的的质质点点系系在在某某一一位位置置保保持持平平衡衡的的必必要要与与充充分分条条件件是是：作作用用于于质质点点系系的的所所有有主主动动力力在在任任何何虚虚位位移移中中的的元元功功之之和和等于零等于零。如何求解平衡问题呢？如何求解平衡问题呢？优点是什么呢？优点是什么呢？几何法几何法解析法解析法理论力学电子教案理论力学电子教案第第1414章章 虚位移原理虚位移原理27/6918:37:48 具有具有k个自由度的质点系，可以有个自由度的质点系，可以有k个独立的虚位移。若该个独立的虚位移。若该系统成平衡，对应于每一个独立的虚位移，都可以应用虚位移系统成平衡，对应于每一个独立的虚位移，都可以应用虚位移原理建立一个独立的平衡方程。于是，对于具有原理建立一个独立的平衡方程。于是，对于具有k个自由度的平个自由度的平衡系统来说，可以建立衡系统来说，可以建立k个独立的平衡方程，即：个独立的平衡方程，即：独立平衡方独立平衡方程的数目与系统的自由度的数目相等程的数目与系统的自由度的数目相等。称为广义平衡方程称为广义平衡方程.Qj称为对应称为对应qj的广义力的广义力.理论力学电子教案理论力学电子教案第第1414章章 虚位移原