第三章第三讲导数的综合应用 高中数学理科总复习习题课件

第三章导数及其应用第三讲导数的综合应用考向1利用导数证明不等式考向2不等式恒成立问题与有解问题考向3利用导数解决零点问题考法帮考向扫描高分帮攻坚克难数学探索1极值点偏移问题数学探索2利用洛必达法则求解不等式恒成立问题考法帮考向扫描利用导数证明不等式考向1高分帮返回目录角度1单变量不等式的证明利用导数证明不等式考向1高分帮返回目录利用导数证明不等式考向1高分帮返回目录利用导数证明不等式考向1高分帮返回目录方法技巧证明单变量不等式的方法(1)直接证明:利用函数的单调性和最值直接证明.(2)作差构造:证明不等式f(x)g(x)转化为证明f(x)-g(x)0,进而构造辅助函数h(x)=f(x)-g(x),通过研究函数h(x)的单调性,证明h(x)min0.(3)适当放缩构造:一是根据已知条件适当放缩,二是利用常见的放缩结论,如ln xx-1,exx+1,ln xx0)放缩,然后构造辅助函数求解.(4)构造“形似”函数:对原不等式同解变形,如移项、通分、取对数,把不等式转化为左右两边是相同结构的式子的形式,根据“相同结构”构造辅助函数求解利用导数证明不等式考向1高分帮返回目录(5)构造双函数:将待证不等式进行变形,构造两个函数,转化为两个函数的最值问题(或找到可以传递的中间量a),即将不等式转化为f(x)g(x)的形式,证明f(x)ming(x)max(或f(x)ag(x)即可.利用导数证明不等式考向1高分帮返回目录利用导数证明不等式考向1高分帮返回目录利用导数证明不等式考向1高分帮返回目录角度2双变量不等式的证明利用导数证明不等式考向1高分帮返回目录利用导数证明不等式考向1高分帮返回目录利用导数证明不等式考向1高分帮返回目录方法技巧证明双变量不等式问题的策略(1)会转化.由已知条件入手,寻找“双变量”满足的关系式,或构造新变量,把含“双变量”的不等式转化为含“单变量”的不等式,此时要注意“单变量”的取值范围.(2)会构造.通过构造函数,借用导数,判断函数的单调性,从而求其最值.(3)会回归.即回归双变量的不等式的证明,应用所求的最值回归到不等式中,即可证得结果.利用导数证明不等式考向1高分帮返回目录4.变式2022成都市模拟已知函数f(x)=2ax-lnx,其中aR.(1)讨论函数f(x)的单调性.(2)记函数f(x)的导函数为f(x).当a0时,若x1,x2(0 x1x2)满足f(x1)=f(x2),证明:f(x1)+f(x2)a恒成立f(x)mina;f(x)a恒成立f(x)maxg(x)恒成立f(x)-g(x)min0;f(x)g(x)恒成立f(x)-g(x)max0;当x(x0,)时,f(x)0时,g(x)g(0)=0,所以g(x)单调递增,g(x)g(0)=1,由题意,知2m-1g(x)min(x0),即2m-11,(注意不含“=”)m1.方法技巧不等式有解问题的常见类型及转化策略(1)f(x)a有解f(x)maxa;f(x)a有解f(x)ming(x)有解f(x)-g(x)max0;f(x)g(x)有解f(x)-g(x)ming(x2)f(x1)ming(x2)max;(2)x1M,x2N,f(x1)g(x2)f(x1)maxg(x2)min;(3)x1M,x2N,f(x1)g(x2)f(x1)ming(x2)min;(4)x1M,x2N,f(x1)g(x2)f(x1)maxg(x2)max;(5)x1M,x2N,f(x1)=g(x2)f(x1)的值域为g(x2)值域的子集;(6)x1M,x2N,f(x1)=g(x2)f(x1)的值域与g(x2)的值域的交集不为空集.不等式恒成立问题与有解问题考向2高分帮返回目录10.变式2022广西名校联考已知f(x)=ax-xlna(a0且a1),g(x)=x2.(1)当0a1时,求f(x)的单调区间;(2)设h(x)=f(x)+g(x),存在x1,x2-1,1,使得|h(x1)-h(x2)|e-1成立,求实数a的取值范围.解析 (1)由已知,知函数f(x)的定义域为R,(先确定函数的定义域)f(x)=axln a-ln a=(ax-1)ln a,0a1,ln a0得x0,f(x)的单调递增区间为(0,+),由f(x)0得x0,f(x)的单调递减区间为(-,0).不等式恒成立问题与有解问题考向2高分帮返回目录不等式恒成立问题与有解问题考向2高分帮返回目录利用导数解决零点问题考向3高分帮返回目录角度1讨论函数的零点(方程根)的个数利用导数解决零点问题考向3高分帮返回目录利用导数解决零点问题考向3高分帮返回目录利用导数解决零点问题考向3高分帮返回目录方法技巧利用导数研究函数零点(方程根)的个数的技巧1.通过导数研究函数的单调性、极值、最值,结合零点存在定理求解.2.化原函数为两个函数,通过判断两个函数图象的交点个数求解.利用导数解决零点问题考向3高分帮返回目录利用导数解决零点问题考向3高分帮返回目录利用导数解决零点问题考向3高分帮返回目录利用导数解决零点问题考向3高分帮返回目录利用导数解决零点问题考向3高分帮返回目录角度2由函数零点个数求参数13.典例2020全国卷已知函数f(x)=ex-a(x+2).(1)当a=1时,讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.解析 (1)当a=1时,f(x)=ex-x-2,f(x)=ex-1.令f(x)0,解得x0,解得x0.所以f(x)在(-,0)上单调递减,在(0,+)上单调递增.(2)解法一(分离参数法)f(x)有两个零点,等价于ex-a(x+2)=0有两个不同的实数解.由方程可知,x=-2不成立,利用导数解决零点问题考向3高分帮返回目录图1利用导数解决零点问题考向3高分帮返回目录利用导数解决零点问题考向3高分帮返回目录图2利用导数解决零点问题考向3高分帮返回目录方法技巧已知函数零点个数求参数的方法1.数形结合法:先根据函数的性质画出图象,再根据函数零点个数的要求数形结合求解.2.分离参数法:由f(x)=0分离出参数a,得a=(x),利用导数求函数y=(x)的单调性、极值和最值,根据直线y=a与y=(x)的图象的交点个数得参数取值范围.3.分类讨论法:先确定参数分类的标准,在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意,将满足题意的参数的各小范围并在一起,即为所求参数范围.说明 对于函数图象交点个数问题,可以构造函数,转化为函数零点个数问题求解.利用导数解决零点问题考向3高分帮返回目录14.变式2020全国卷已知函数f(x)=x3-kx+k2.(1)讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)有三个零点,求k的取值范围.利用导数解决零点问题考向3高分帮返回目录利用导数解决零点问题考向3高分帮返回目录角度3隐零点问题15.典例2019全国卷已知函数f(x)=(x-1)lnx-x-1.证明:(1)f(x)存在唯一的极值点;(2)f(x)=0有且仅有两个实根,且两个实根互为倒数.利用导数解决零点问题考向3高分帮返回目录利用导数解决零点问题考向3高分帮返回目录方法技巧能判断存在但无法直接求出的零点,称为“隐零点”.对于隐零点问题,解题策略:(1)利用零点存在定理判定f(x)的零点存在情况并确定零点的范围;(2)以零点为分界点,得出f(x)的正负,从而判断函数f(x)的单调性,进而得到f(x)的极值表达式;(3)通过零点方程适当变形,整体代入极值表达式进行化简证明,有时候零点范围还可以适当缩小.利用导数解决零点问题考向3高分帮返回目录16.变式2017全国卷理已知函数f(x)=ax2-ax-xlnx,且f(x)0.(1)求a;(2)证明:f(x)存在唯一的极大值点x0,且e-2f(x0)0),a为常数,若函数f(x)有两个零点x1,x2(x1x2).证明:x1x2e2.极值点偏移问题数学探索1返回目录考法帮 极值点偏移问题数学探索1返回目录考法帮 极值点偏移问题数学探索1返回目录考法帮 极值点偏移问题数学探索1返回目录考法帮 极值点偏移问题数学探索1返回目录考法帮点评 上述解题过程中用到的解法就是解决极值点偏移问题的最基本的方法,解题过程中有以下四个解题要点:(1)求函数g(x)的极值点x0;(2)构造函数F(x)=g(x0+x)-g(x0-x);(3)确定函数F(x)的单调性;(4)确定g(x0+x)与g(x0-x)的大小关系.极值点偏移问题数学探索1返回目录考法帮极值点x0函数值的大小关系图示x0两侧函数值变化快慢极值点不偏移相同 极值点偏移问题数学探索1返回目录考法帮极值点偏移左移峰口向上:f(x1)f(2x0-x2)极值点偏移问题数学探索1返回目录考法帮极值点偏移右移峰口向上:f(x1)f(2x0-x2)左慢右快峰口向下:f(x1)()2x0,构造函数F(x)=f(x)-f(2x0-x)或F(x)=f(x0+x)-f(x0-x),求导,讨论F(x)单调性,进而得不等式;(3)代入x1(或x2),利用f(x1)=f(x2)及f(x)的单调性证明最终结论.极值点偏移问题数学探索1返回目录考法帮18.变式2016全国卷理已知函数f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有两个零点.()求a的取值范围;()设x1,x2是f(x)的两个零点,证明:x1+x22.极值点偏移问题数学探索1返回目录考法帮 极值点偏移问题数学探索1返回目录考法帮利用洛必达法则求解不等式恒成立问题数学探索2返回目录考法帮(-,0利用洛必达法则求解不等式恒成立问题数学探索2返回目录考法帮利用洛必达法则求解不等式恒成立问题数学探索2返回目录考法帮利用洛必达法则求解不等式恒成立问题数学探索2返回目录考法帮利用洛必达法则求解不等式恒成立问题数学探索2返回目录考法帮利用洛必达法则求解不等式恒成立问题数学探索2返回目录考法帮1利用洛必达法则求解不等式恒成立问题数学探索2返回目录考法帮