现代控制理论基础图文课件

第3章 控制系统的能控性和能观性第第3 3章章 控制系统的能控性和能观性控制系统的能控性和能观性 3.1 线性连续系统的能控性与能观性线性连续系统的能控性与能观性3.2 线性离散时间系统的能控性与能观性线性离散时间系统的能控性与能观性3.3 能控标准形与能观标准形能控标准形与能观标准形3.4 能控性、能控性、能观性与传递函数的关系能观性与传递函数的关系3.5 实现问题实现问题3.6 线性定常系统的结构分解线性定常系统的结构分解3.7 MATLAB在系统能控性和能观性分析中的应用在系统能控性和能观性分析中的应用第3章 控制系统的能控性和能观性3.1 线性连续系统的能控性与能观性线性连续系统的能控性与能观性3.1.1 线性系统的能控性定义及判据线性系统的能控性定义及判据1.能控性的定义能控性的定义对于线性连续定常系统，如果存在一个分段连续的输入u(t)，能在有限时间区间t0，tf内，使系统由某一初始状态x(t0)转移到指定的任意终端状态x(tf)，则称此状态是能控的。若系统的所有状态都是能控的，则称系统是状态完全能控的，简称系统是能控的。能控性描述了由输入量控制状态变量的能力。对于线性定常连续系统，为简便计，可以设初始状态为状态空间任意非零有限点，终端状态为状态空间原点，即零态。如果存在一个分段连续的输入u(t)，能在t0，tf的有限时间内使得系统的某一初始状态x(t0)转移到零态x(tf)=0，则称系统是状态能控的。第3章 控制系统的能控性和能观性2.能控性判据能控性判据定理定理3-1 对于线性定常系统 ，能控的充分必要条件是由A，B构成的能控性矩阵Qc=B AB A2B An1B (3-1)满秩，即rank(Qc)=n (3-2)否则当rank(Qc)t0时，使得根据t0，tf期间的输出y(t)能唯一地确定系统在初始时刻的状态x(t0)，则称状态x(t0)是能观的。若系统的每一个状态都是能观的，则称系统是状态完全能观的。能观性反映了输出量包含状态信息量的程度。第3章 控制系统的能控性和能观性2.能观性判据能观性判据定理定理3-6 对式(3-9)所示的线性连续定常系统，其能观的充分必要条件是由A，C构成的能观性矩阵(3-10)满秩，即rankQ0=n (3-11)证明：证明：设u(t)=0，系统的齐次状态方程的解为第3章 控制系统的能控性和能观性由凯莱哈密顿定理有 (3-12)由于i(t)是已知函数，因此根据有限时间区间t0，tf内y(t)能唯一地确定初始状态x(t0)的充要条件为Q0满秩，即rank(Q0)=n。例例3-6 已知某系统如下，试判断其是否能观。第3章 控制系统的能控性和能观性解：解：，显然其rank(Q0)=10，在有限时间区间0，k内，存在允许控制序列u(k)，使得x(k)=0，则称系统是状态完全能控的，简称系统是能控的。第3章 控制系统的能控性和能观性2.能控性判据能控性判据定理定理3-11 对于线性定常离散系统，式(3-21)能控的充分必要条件是由A，B构成的能控性矩阵Qc满秩，即(3-22)证明：证明：设系统初始状态为x(0)，如果系统能控，则在第k步转移到零状态x(k)=0，即有 或写做(3-23)第3章 控制系统的能控性和能观性对于任意的初始状态x(0)，上述方程有解的充要条件是krn且式(3-22)成立。例例3-10 双输入线性定常离散系统的状态方程为试判断其能控性。解：解：能控性矩阵Qc满秩，故系统是能控的。第3章 控制系统的能控性和能观性3.2.2 线性定常离散时间系统的能观性定义及判据线性定常离散时间系统的能观性定义及判据1.能观性定义能观性定义已知输入向量序列为u(0)，u(1)，u(k1)及有限采样周期内测量到的输出向量序列为y(0)，y(1)，y(k1)，如果能唯一确定任意初始状态向量x(0)，则称系统是完全能观测的，简称系统是能观的。第3章 控制系统的能控性和能观性2.能观性判据能观性判据定理定理3-12 式(3-21)能观性的充分必要条件是能观性矩阵Q0的秩为n，即(3-24)证明证明:由于能观性与输入u(k)无关，可令u(k)0，则离散系统的动态方程为(3-25)第3章 控制系统的能控性和能观性当k=0，1，k1时，有或当mkn时，通过y(0)，y(1)，y(k1)唯一地求出x(0)，其充分必要条件是式(3-24)成立。第3章 控制系统的能控性和能观性例例3-11 双输入线性定常离散系统的状态方程为判断其能观性。第3章 控制系统的能控性和能观性解：解：能控性矩阵Q0满秩，故系统是能观的。第3章 控制系统的能控性和能观性3.2.3连续系统离散化后的能控性和能观性连续系统离散化后的能控性和能观性一个线性连续系统在其离散化后是否能保持其完全能控性和完全能观性，是构成采样数据系统或计算机控制系统时所要考虑的一个重要问题。关于这个问题，有下列结论：如果原连续系统不能控（不能观测），则离散化的系统必是不能控（不能观测）的；如果离散化后系统能控（能观测），则离散化前的连续系统必定是能控（能观测）的。反之则不成立。也就是说，若原连续系统能控（能观测），则离散化的系统不一定是能控（能观测）的。第3章 控制系统的能控性和能观性例例312已知系统的状态方程为 试分析其离散化前后系统的能控性和能观性。解：解：（1）对于连续系统：故系统状态完全能控和能观。第3章 控制系统的能控性和能观性（2）离散化系统：故 第3章 控制系统的能控性和能观性即离散化后系统状态空间表达式为 第3章 控制系统的能控性和能观性（3）判断离散后系统的能控性和能观性：上述矩阵是否满秩，显然唯一地取决于采样周期T的取值。第3章 控制系统的能控性和能观性 定理3-13 如果连续系统状态完全能控(能观)且其特征值全部为实数，则其离散化系统必是状态完全能控(能观)的；如果连续系统状态完全能控(能观)且存在共轭复数特征值,则其离散化系统状态完全能控(能观)的充分条件为:对于所有满足的的所有特征值，应满足 其中符号Re和Im分别表示复数的实数部分和虚数部分。第3章 控制系统的能控性和能观性对例312，A的特征值为1，2=2j，满足Re(ij)=0。利用定理313离散化系统能控性、能观性判别定理可知，当 时，离散化系统才状态完全能控和完全能观。第3章 控制系统的能控性和能观性3.3 能控标准形与能观标准形能控标准形与能观标准形3.3.1 能控标准形能控标准形一个单输入系统，如果具有如下形式：(3-26)则系统一定能控。这种形式的状态空间方程称为能控标准形状态空间方程。第3章 控制系统的能控性和能观性定理定理3-14 若n维单输入线性定常系统能控，则一定能找到一个线性变换阵P将其变换成能控标准形。具体做法是：设A的特征多项式为引入非奇异线性变换，或，其中(3-27)将P代入，即得到式(3-26)所示的能控标准形。第3章 控制系统的能控性和能观性例例3-13 已知能控的线性定常系统动态方程：试将其变换成能控标准形。解：解：(1)能控性矩阵(2)A的特征多项式第3章 控制系统的能控性和能观性(3)计算变换矩阵P(4)计算线性变换后各矩阵第3章 控制系统的能控性和能观性(5)系统能控标准形为由于线性变换不改变系统的传递函数，故由标准形求得的传递函数就是系统的传递函数，即(3-28)因此如果已知系统传递函数，也可以直接由式(3-28)和式(3-26)各参数的对应关系，写出系统能控标准形状态空间方程。第3章 控制系统的能控性和能观性例例3-14 已知线性定常系统传递函数为 试将其变换成能控标准形状态空间方程。解解:由传递函数可知a0=1，a1=3，a2=2；0=1，1=2，2=0，代入式(3-26)可得对应能控标准形状态空间方程为第3章 控制系统的能控性和能观性3.3.2 能观标准形能观标准形一个单输入系统，如果具有如下形式：(3-29)则系统一定能观。这种形式的状态空间方程称为能观标准形状态空间方程。定理定理3-15 若n维单输出线性定常系统能观，则一定能找到一个线性变换阵P将其变换成能观标准形。第3章 控制系统的能控性和能观性具体做法是：设A的特征多项式为引入非奇异线性变换，或，其中(3-30)将P代入，即得到式(3-30)所示的能观标准形。比较式(3-29)和式(3-26)，可以看出对同一系统的能控标准形和能观标准形互为对偶。第3章 控制系统的能控性和能观性例例3-15 将例3-13中线性定常系统动态方程变换成能观标准形。解：解：(1)能观性矩阵(2)A的特征多项式(3)计算变换矩阵P第3章 控制系统的能控性和能观性(4)计算线性变换后各矩阵(5)系统能观标准形为第3章 控制系统的能控性和能观性3.4 能控性、能观性与传递函数的关系能控性、能观性与传递函数的关系 线性定常系统既可以用传递函数进行外部描述，也可以用状态空间方程描述。对于系统的能控性和能观性，两者有什么联系呢？定理定理3-16 单输入单输出系统能控且能观的充分必要条件是传递矩阵G(s)的分母与分子之间不发生因子相消。例例3-16 已知系统的动态方程如下：第3章 控制系统的能控性和能观性试求系统的传递函数，判断其能控性、能观性。解：解：对于各个系统，由前面的判别方法可判断出：系统(1)是能控不能观的；系统(2)是能观不能控的；系统(3)是既不能控又不能观的。如果求出各自的传递函数，可看出三个系统的传递函数均为，存在零极点对消的现象。第3章 控制系统的能控性和能观性需要注意的是，定理3-15只适用于单输入单输出系统，对于有重特征值的多输入多输出系统，即使有零极点对消，系统仍可能是既能控又能观的。例例3-16 判断下列多输入多输出系统的能控、能观性：解：解：由前面讲过的能控、能观性判别方法可知系统是既能控又能观的。但此时第3章 控制系统的能控性和能观性存在零极点对消的情况。对于这种情况我们可以由下面的定理来判断。定理定理3-17 如果多输入多输出系统的状态向量与输入向量之间的传递矩阵sIA1B的各行在复数域上线性无关，则系统是能控的。(充分必要条件)定理定理3-18 如果多输入多输出系统的输出向量与初始状态向量之间的传递矩阵CsIA1的各列在复数域上线性无关，则系统是能观的。(充分必要条件)例例3-18 试用传递矩阵判断下列系统的能控、能观性：第3章 控制系统的能控性和能观性解：解：(1)三个行向量线性无关，系统是能控的。(2)三个列向量线性无关，系统是能观的。第3章 控制系统的能控性和能观性3.5 实现问题实现问题状态空间分析法是现代控制理论的基础，因此如何建立状态方程和输出方程是分析和综合系统首先要解决的问题。对于结构和参数已知的系统，可以通过对系统物理过程的深入研究后，按第1章的方法直接建立系统的状态空间方程。但是当系统的结构、参数或机理比较复杂，相互之间的数量关系又不太清楚时，要直接导出其状态空间方程显得比较困难。而一个可能的办法是用实验的方法确定系统输入输出描述，例如频率特性、传递函数和脉冲响应，然后推导出相应的状态方程和输出方程。这种由给定的传递函数(或脉冲响应)建立与输入输出特性等价的系统方程的问题，称为实现问题。第3章 控制系统的能控性和能观性设单输入单输出系统传递函数为(3-31)式中，通常分母的阶次应大于等于分子阶次，即nm。转换时由于状态方程的表示不是唯一的，因此传递函数到状态方程的转换也不是唯一的。一个传递函数可以对应多个状态方程。在实际应用中，常常根据所研究问题的需要，将传递函数化成相应的几种标准形式。下面通过举例说明几种变换方式。第3章 控制系统的能控性和能观性3.5.1 能控、能观标准形的实现能控、能观标准形的实现例例3-19 已知传递函数为试采用不同的转换方式得到不同标准形式的状态空间方程。解：解：(1)能控标准形。引入中间变量V(s)，使 设 第3章 控制系统的能控性和能观性得到：设x1=v，则 可得到如式(3-26)的能控标准形状态空间方程为第3章 控制系统的能控性和能观性(2)能观标准形。同样也可以通过设状态变量得到与能控标准形对偶的能观标准