新高考版数学高中总复习专题9.1直线方程与圆的方程(讲解练)教学讲练

考点清单知能拓展栏目索引专题九 平面解析几何9.1 直线方程与圆的方程高考数学高考数学考点清单知能拓展栏目索引考点一直线方程考点一直线方程1.直线的倾斜角(1)对于一条与x轴相交的直线,如果把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时,所转的最小正角记为,那么就叫做直线的倾斜角.(2)规定:当直线l与x轴平行或重合时,它的倾斜角为0.(3)范围:直线的倾斜角的取值范围是0,).2.直线的斜率(1)定义:当直线l的倾斜角时,其倾斜角的正切值tan叫做这条直线的斜率,斜率通常用小写字母k表示,则k=tan.考点考点清单清单考点清单知能拓展栏目索引.3.直线方程的几种形式(2)范围:全体实数R.(3)斜率公式:经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1x2)的直线的斜率公式为=名称方程说明适用条件斜截式y=kx+bk是斜率,与x轴不垂直的直线b是纵截距点斜式y-y0=k(x-x0)(x0,y0)是直线上的已知点,k是斜率两点式=(x1x2,y1y2)(x1,y1),(x2,y2)是直线上的两个已知点与两坐标轴均不垂直的直线考点清单知能拓展栏目索引截距式+=1a是直线的横截距,b是直线的纵截距不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线一般式Ax+By+C=0(A2+B20)当B=0时,-是直线的横截距所有直线当A0,B0时,-,-,-分别为直线的斜率、横截距、纵截距注意(1)当直线与x轴不垂直时,可设直线的方程为y=kx+b;当不确定直线的斜率是否存在时,可设直线的方程为ky+x+b=0.(2)特殊直线的方程,过P1(x1,y1)且垂直于x轴的直线方程为x=x1;过P1(x1,y1)且垂直于y轴的直线方程为y=y1.考点清单知能拓展栏目索引知识拓展知识拓展常见的直线系方程(1)过定点P(x0,y0)的直线系方程:A(x-x0)+B(y-y0)=0(A、B不同时为0),也可以表示为y-y0=k(x-x0)和x=x0;(2)平行于直线Ax+By+C=0(A2+B20)的直线系方程:Ax+By+C0=0(CC0);(3)垂直于直线Ax+By+C=0(A2+B20)的直线系方程:Bx-Ay+C0=0;(4)过两条已知直线l1:A1x+B1y+C1=0(+0)和l2:A2x+B2y+C2=0(+0)交点的直线系方程:A1x+B1y+C1+(A2x+B2y+C2)=0(R,这个直线系不包括直线l2:A2x+B2y+C2=0,解题时,注意检验l2的方程是否满足题意,以防丢解).考点清单知能拓展栏目索引考点二圆的方程考点二圆的方程圆的方程名称方程圆心半径标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2(r0)(a,b)r一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F0)-,-考点清单知能拓展栏目索引温馨提示(1)方程(x-a)2+(y-b)2=r2中,若没有给出r0,则圆的半径为|r|,实数r可以取负值.(2)方程x2+y2+Dx+Ey+F=0中,若D2+E2-4F=0,方程表示点;若D2+E2-4F0,方程不表示任何图形.(3)圆的一般方程的形式特点:(i)x2和y2的系数为1;(ii)没有含xy的二次项;(iii)A=C0且B=0是二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的必要不充分条件.(4)已知P(x1,y1),Q(x2,y2),则以PQ为直径的圆的方程为(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.考点清单知能拓展栏目索引考法一考法一求直线的倾斜角和斜率求直线的倾斜角和斜率知能拓展知能拓展例例1已知点(1,-2)和在直线l:ax-y-1=0(a0)的两侧,则直线l的倾斜角的取值范围是()A.B.C.D.考点清单知能拓展栏目索引解题导引解题导引解法一:对含一个参数的直线方程,要善于发现该直线过定点,然后数形结合,在坐标系中转动直线使点(1,-2)和在直线l的两侧,求出直线l的斜率的取值范围,从而可求倾斜角的取值范围.解法二:在坐标系中,位于直线Ax+By+C=0同侧的点(x0,y0),代入坐标后,Ax0+By0+C符号相同,而位于不同侧的点,代入坐标后符号相反,因此代入两点坐标,列不等关系式,求出直线l的斜率的取值范围,即可得倾斜角的取值范围.考点清单知能拓展栏目索引解析解析解法一:设直线l的倾斜角为,且0,),点A(1,-2),B.直线l:ax-y-1=0(a0)经过定点P(0,-1),则kPA=-1,kPB=.点(1,-2)和在直线l:ax-y-1=0(a0)的两侧,kPAakPB(a0),-1tan(tan0).解得0或.故选D.解法二:(1,-2),在直线l:ax-y-1=0的两侧,(a+2-1)0,解得-1a(a0),即倾斜角满足-1tan,且tan0,解得0或,故选D.答案答案D考点清单知能拓展栏目索引方法总结方法总结1.求倾斜角的取值范围(1)求出斜率k=tan的取值范围(若斜率不存在,倾斜角为90);(2)利用正切函数的单调性,借助图象或单位圆确定倾斜角的取值范围.2.求斜率的常用方法(1)当倾斜角不是90时,斜率k=tan;(2)经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线的斜率为k=(x1x2);(3)方程为Ax+By+C=0(B0)的直线的斜率为k=-;(4)依据方向向量求斜率,以a=(m,n)(m0)为方向向量的直线的斜率k=;(5)利用导数的几何意义求切线的斜率.考点清单知能拓展栏目索引考法二考法二求直线的方程求直线的方程例例2过点M(0,1)作直线,使它被两直线l1:x-3y+10=0,l2:2x+y-8=0所截得的线段恰好被M平分,求此直线方程.解题导引解题导引确定一条直线的要素是一个点和倾斜程度,或是两个不同的点,因此在已知直线过M(0,1)的条件下,再求出直线的斜率(先讨论斜率是否存在)或另一个点的坐标即可求出直线方程,无论设斜率k,还是设线段的一端点,建立方程的关键就是线段被M点平分.考点清单知能拓展栏目索引解析解析解法一:过点M且与x轴垂直的直线是y轴,它和两已知直线的交点分别是和(0,8),显然不满足中点是点M(0,1)的条件.故可设所求直线方程为y=kx+1,它与两已知直线l1、l2分别交于A、B两点.由解得xA=,由解得xB=,点M平分线段AB,xA+xB=2xM,即+=0.解得k=-,故所求直线方程为y=-x+1,即x+4y-4=0.解法二:设所求直线与已知直线l1、l2分别交于A、B两点.点B在直线l2:2x+y-8=0上,考点清单知能拓展栏目索引设B(t,8-2t).又M(0,1)是线段AB的中点,由中点坐标公式得A(-t,2t-6).点A在直线l1:x-3y+10=0上,(-t)-3(2t-6)+10=0,解得t=4,B(4,0),A(-4,2),故所求直线方程为=,即x+4y-4=0.考点清单知能拓展栏目索引例例3根据所给条件求直线的方程:(1)直线过点(-4,0),倾斜角的正弦值为;(2)直线过点(-3,4),且在两坐标轴上的截距之和为12;(3)直线过点(5,10),且原点到该直线的距离为5.解题导引解题导引(1)由倾斜角的正弦值,即可求出斜率,由点斜式写出直线方程,再化为一般式方程.(2)根据直线满足的条件,可设截距式方程为+=1,由直线过点(-3,4),可解得参数a,进而得出直线方程.(3)由直线过点(5,10),可设点斜式方程,但应讨论斜率k是否存在.因此分为两类情况:当k不存在时,验证是否符合题意,当k存在时,由条件求出k的值.考点清单知能拓展栏目索引解析解析(1)由题设知,该直线的斜率存在,故可采用点斜式.设倾斜角为,则sin=(00),则圆心(a,b)到直线x-y-3=0的距离d=,r2=+,即2r2=(a-b-3)2+3.所求圆与直线x-y=0相切,=r,(a-b)2=2r2.考点清单知能拓展栏目索引又圆心在直线x+y=0上,a+b=0.联立,解得故圆C的方程为(x-1)2+(y+1)2=2.解法二:所求圆的圆心在直线x+y=0上,设所求圆的圆心为(a,-a).考点清单知能拓展栏目索引又所求圆与直线x-y=0相切,半径r=|a|.又所求圆在直线x-y-3=0上截得的弦长为,圆心(a,-a)到直线x-y-3=0的距离d=,d2+=r2,即+=2a2,解得a=1,圆C的方程为(x-1)2+(y+1)2=2.解法三:设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,则圆心为,半径r=,圆心在直线x+y=0上,-=0,即D+E=0,又圆C与直线x-y=0相切,考点清单知能拓展栏目索引=,即(D-E)2=2(D2+E2-4F),D2+E2+2DE-8F=0.又知圆心到直线x-y-3=0的距离d=,由已知得d2+=r2,(D-E+6)2+12=2(D2+E2-4F),联立,解得故所求圆的方程为x2+y2-2x+2y=0,即(x-1)2+(y+1)2=2.答案答案(x-1)2+(y+1)2=2考点清单知能拓展栏目索引方法总结方法总结1.选择方程的原则(1)已知条件多与圆心、半径有关,或与切线、弦长、弧长、圆心角、距离等有关,则设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r0);(2)已知圆上的三个点的坐标时,设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F0).2.求圆的方程的方法(1)待定系数法:根据题意,选择方程形式(标准方程或一般方程);根据条件列出关于a,b,r或D,E,F的方程(组);解出a,b,r或D,E,F,代入所选的方程中即可.(2)几何法:在求圆的方程过程中,常利用圆的一些性质或定理直接求出圆心和半径,进而可写出标准方程.常用的几何性质有:圆心在过切点且与切线垂直的直线上;圆心在任一弦的中垂线上;两圆内切或外切时,切点与两圆圆心在一条直线上.