新课标版高中数学高考总复习专题2.2基本不等式与不等式的综合应用(讲解练)教学讲练

考点清单知能拓展实践探究栏目索引2.2 基本不等式与不等式的综合应用高考数学高考数学考点清单知能拓展实践探究栏目索引考点一基本不等式及其应用考点一基本不等式及其应用1.基本不等式其中为正数a,b的算术平均数,为正数a,b的几何平均数,基本不等式可叙述为:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.2.几个重要的不等式(1)a2+b22ab(a,bR).(2)+2(a,b同号).(3)ab(a,bR).基本不等式不等式成立的条件等号成立的条件a0,b0a=b考点考点清单清单考点清单知能拓展实践探究栏目索引(4)(a,bR+).3.利用基本不等式求最值已知x0,y0,(1)如果积xy是定值p,那么当且仅当x=y时,x+y有最小值2(简记:积定和最小).(2)如果x+y是定值s,那么当且仅当x=y时,xy有最大值(简记:和定积最大).考点清单知能拓展实践探究栏目索引注意(1)求最值时要注意三点:“一正”“二定”“三相等”.所谓“一正”是指正数,“二定”是指应用基本不等式求最值时,和或积为定值,“三相等”是指等号成立.(2)连续使用基本不等式时,等号要同时成立.考点清单知能拓展实践探究栏目索引考点二不等式的综合应用考点二不等式的综合应用不等式的恒成立、能成立、恰成立等问题(1)恒成立问题:若f(x)在区间D上存在最小值,则不等式f(x)A在区间D上恒成立f(x)minA(xD);若f(x)在区间D上存在最大值,则不等式f(x)B在区间D上恒成立f(x)maxA成立f(x)maxA(xD);若f(x)在区间D上存在最小值,则在区间D上存在实数x使不等式f(x)B成立f(x)minA恰在区间D上成立f(x)A的解集为D;不等式f(x)B恰在区间D上成立f(x)0,b0),则的最小值是()A.1B.8C.9D.16(2)(2018黑龙江哈尔滨三中一模)函数y=loga(x-3)+1(a0且a1)的图象恒过定点A,若点A在直线mx+ny-1=0上,其中m0,n0,则mn的最大值为()A.B.C.D.考点清单知能拓展实践探究栏目索引(3)(2019广东化州第一次模拟)若正数x,y满足x+3y=5xy,当3x+4y取得最小值时,x+2y的值为()A.B.2C.D.5解题导引解题导引(1)要求的最小值,需要找a与b之间满足的关系.如何找出这个关系?b用a表示之后,如何用基本不等式求最值?(2)与(1)有什么相似之处?函数图象所过定点如何求出?m与n之间的关系是什么?如何用m,n间的关系求mn的最大值?(3)与前两个小题有什么不同之处?要求3x+4y的最小值,如何使用x+3y=5xy这个条件?能否把x+3y=5xy化成一边为常数“1”的形式?如何构造“和定”或“积定”?考点清单知能拓展实践探究栏目索引解析解析(1)将P(a,b)代入y=2x+1得到b=2a+1,从而=4a+42+4=8,当且仅当4a=,即a=时取“=”,所以的最小值为8.故选B.(2)由x-3=1得x=4,函数y=loga(x-3)+1(a0且a1)的图象恒过定点A(4,1),点A在直线mx+ny-1=0上,4m+n=1,解法一:1=4m+n2,当且仅当4m=n时取等号,mn,mn的最大值为.解法二:mn=4mn=,当且仅当即m=,n=时取“=”.故选D.考点清单知能拓展实践探究栏目索引(3)x+3y=5xy,x0,y0,+=1,3x+4y=(3x+4y)=+3+2=5,当且仅当=,即x=2y=1时取等号,x+2y的值为2.故选B.答案答案(1)B(2)D(3)B方法总结方法总结利用基本不等式求最值应满足的三个条件(1)一正:各项或各因式均为正;(2)二定:和或积为定值;(3)三相等:各项或各因式能取到使等号成立的值.简记:一正、二定、三相等.如果解题过程中不满足上述条件,那么可进行拆分或配凑因式,以满足以上三个条件.考点清单知能拓展实践探究栏目索引考法二考法二一元二次不等式恒成立问题的解法一元二次不等式恒成立问题的解法例例2(2019山西吕梁第一次阶段性测试(改编)已知在R上单调递减的函数f(x)是奇函数.若对于任意的t-1,1,不等式f(t2-2)+f(2a-at)0恒成立,则实数a的取值范围是.解题导引解题导引第一步,先利用函数f(x)的奇偶性、单调性,找出t2-2与2a-at的大小关系;第二步,由t-1,1及恒成立条件明确主变量;第三步,将不等式恒成立问题转化为函数值恒非负问题,此处是一个关于t的二次函数,当t-1,1时恒小于或等于0的问题.考点清单知能拓展实践探究栏目索引解析解析f(t2-2)+f(2a-at)0,f(t2-2)-f(2a-at),又f(x)是奇函数,f(t2-2)f(at-2a),又f(x)为减函数,t2-2at-2a对任意的t-1,1恒成立.t2-at+2a-20对任意的t-1,1恒成立.令g(t)=t2-at+2a-2,则解得a.实数a的取值范围为.答案答案考点清单知能拓展实践探究栏目索引例例3(2018河南中原名校期中联考,18)已知不等式mx2-2x-m+10.(1)若对于所有的实数x,不等式恒成立,求m的取值范围;(2)设不等式对于满足|m|2的一切m的值都成立,求x的取值范围.解析解析(1)当m=0时,不等式mx2-2x-m+10可化为1-2x0,显然对所有的实数x,不等式不恒成立.m0.设f(x)=mx2-2x-m+1,f(x)0恒成立,解得m.综上可知,不存在使不等式恒成立的实数m.(2)由题意得,-2m2,设g(m)=(x2-1)m+(1-2x),则由题意可得g(m)0,故有即解得x0(或0)对于一切xR恒成立的条件是(2)f(x)0时,f(x)0在x,上恒成立或或f(x)0在x,上恒成立考点清单知能拓展实践探究栏目索引(4)当a0在x,上恒成立f(x)0在x,上恒成立或或2.对于参数易分离的一元二次不等式恒成立问题,可以分离参数转化为求具体函数的最值问题.同时一定要搞清谁是自变量,谁是参数,一般地,知道谁的范围,谁就是变量,求谁的范围,谁就是参数.考点清单知能拓展实践探究栏目索引例例(2019江苏盐城三模,20)某人承包了一块矩形土地ABCD用来种植草莓,其中AB=99m,AD=49.5m.现规划建造如图所示的半圆柱型塑料薄膜大棚n(nN*)个,每个半圆柱型大棚的两半圆形底面与侧面都需蒙上塑料薄膜(接头处忽略不计),塑料薄膜的价格为每平方米10元;另外,还需在每两个大棚之间留下1m宽的空地用于建造排水沟与行走小路(如图中EF=1m),这部分的建设造价为每平方米31.4元.(1)当n=20时,求蒙一个大棚所需塑料薄膜的面积;(结果保留)(2)试确定大棚的个数,使得上述两项费用的和最低.(取3.14)实践探究考点清单知能拓展实践探究栏目索引解题导引解题导引(1)主要是求半个圆柱的侧面积及两个半圆的面积之和,先求出每个半圆柱型大棚的底面半径,再求每个半圆柱型大棚的表面积(不含与地面接触的面).(2)设每个半圆柱型大棚的底面半径为rm,由已知条件知,n个半圆柱型大棚间有(n-1)个1米宽的空地,分析出n,r之间的关系,即2nr+(n-1)1=99,再把r用n表示出来,将总建设造价均用n表示,求出费用关于n的函数关系,再求其取最小值时n的值.考点清单知能拓展实践探究栏目索引解析解析设每个半圆柱型大棚的底面半径为rm.(1)当n=20时,共有19个空地,所以r=2,所以每个大棚的表面积(不含与地面接触的面)为r2+rAD=22+249.5=103(m2).(2)设两项费用的和为f(n)元.因为r=,所以每个半圆柱型大棚的表面积(不含与地面接触的面)S=r2+rAD=+49.5,则f(n)=10nS+31.4149.5(n-1)=10n+31.4149.5(n-1)考点清单知能拓展实践探究栏目索引=31.4=.因为+n2=20,所以,当且仅当=n,即n=10时,f(n)取得最小值90290.7.答:当大棚的个数为10时,上述两项费用的和最低.