3.3 垂径定理 同步练习题2022-2023学年浙教版九年级数学上册(含答案)

2022-2023学年浙教版九年级数学上册《3.3垂径定理》同步练习题（附答案） 一．选择题 1．如图，在⊙O中，弦AB＝5，点C在AB上移动，连结OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大值为（　　） A．5 B．2.5 C．3 D．2 2．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，若BE＝CD＝8，则⊙O的半径的长是（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 3．如图，正方形ABCD和正方形BEFG的顶点分别在半圆O的直径和圆周上，若BG＝4，则半圆O的半径是（　　） A．4+ B．9 C．4 D．6 4．如图，在⊙O中，点C为弦AB上一点，AB＝1，CD⊥OC交⊙O于点D，则线段CD的最大值是（　　） A． B．1 C． D．2 5．如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点E，若AE＝5，EB＝1，∠AEC＝30°，则CD的长为（　　） A．5 B．2 C．4 D． 6．如图，AB为圆O的一弦，且C点在AB上．若AC＝6，BC＝2，AB的弦心距为3，则OC的长度为何？（　　） A．3 B．4 C． D． 7．如图，在⊙O中，直径AB＝8，弦DE⊥AB于点C，若AD＝DE，则BC的长为（　　） A． B． C．1 D．2 8．如图，CD是⊙O的直径，AB是弦，CD⊥AB于E，DE＝2，AB＝8，则AC的长为（　　） A．8 B．10 C．4 D．4 9．如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，连接BC，过点O作OF⊥BC于F，若BD＝8，OF＝，则OE的长为（　　） A．3 B．4 C．2 D．5 二．填空题 10．如图，在⊙O中，弦AB⊥OC于E点，C在圆上，AB＝8，CE＝2，则⊙O的半径AO＝　 　． 11．如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，如果C是⊙O中弦AB的中点，CD经过圆心O交⊙O于点D，并且AB＝4m，CD＝6m，则⊙O的半径长为 　 　m． 12．⊙O的直径CD＝10，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM：OC＝3：5，则AC的长为 　 　． 13．如图，A、B、C是⊙O上的点，OC⊥AB，垂足为点D，且D为OC的中点，若OA＝7，则BC的长为 　 　． 14．已知⊙O的半径为13cm，AB，CD是⊙O的两条弦，且AB∥CD，AB＝24cm，CD＝10cm，则弦AB与CD之间的距离为 　 　cm． 15．如图，矩形ABCD与圆心在AB上的⊙O交于点G，B，F，E，GB＝5，EF＝4，那么AD＝　 　． 16．如图，CD是⊙O的直径，AB是弦，CD⊥AB，若OB＝10，AB＝12，则AC的长为 　 　． 17．如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点，若CD＝10，AB＝18，小圆半径为13，则大圆半径OA＝　 　． 18．AB，CD是⊙O的两条平行弦，⊙O的直径为10cm，AB＝8cm，CD＝6cm，则AB，CD间的距离为 　 　． 19．AC是⊙O的直径，弦BD⊥AC于点E，连接BC，过点O作OF⊥BC于点F，若BD＝12cm，OE＝cm，则OF＝　 　cm． 20．如图，定长弦CD在以AB为直径的⊙O上滑动（点C、D与点A、B不重合），M是CD的中点，过点C作CP⊥AB于点P，若CD＝3，AB＝8，PM＝l，则l的最大值是　 　． 三．解答题 21．如图，在⊙O中，AB，AC为弦，CD为直径，AB⊥CD于E，BF⊥AC于F，BF与CD相交于G． （1）求证：ED＝EG； （2）若AB＝8，OG＝1，求⊙O的半径． 22．石拱桥是我国古代入民勤劳和智慧的结晶（如图1），隋代建造的赵州桥距今约有1400年历史，是我国古代石拱桥的代表．如图2是根据某石拱桥的实物图画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，表示为．桥的跨度（弧所对的弦长）AB＝26m，设所在圆的圆心为O，半径OC⊥AB，垂足为D．拱高（弧的中点到弦的距离）CD＝5m．连接OB． （1）直接判断AD与BD的数量关系； （2）求这座石拱桥主桥拱的半径（精确到1m）． 23．如图，在⊙O中，AB、AC是互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D、E． （1）求证：四边形ADOE是正方形； （2）若AC＝2cm，求⊙O的半径． 24．如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为F，AO⊥BC，垂足为E，连接AC． （1）求∠B的度数； （2）若CE＝4，求圆O的半径． 25．如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC，若AB＝24，CD＝8，求⊙O的半径及EC的长． 26．如图，在一座圆弧形拱桥，它的跨度AB为60m，拱高PM为18m，当洪水泛滥到跨度只有30m时，就要采取紧急措施，若某次洪水中，拱顶离水面只有4m，即PN＝4m时，试通过计算说明是否需要采取紧急措施． 27．如图是某蔬菜基地搭建一座圆弧型蔬菜棚，跨度AB＝3.2米，拱高CD＝0.8米（C为AB的中点，D为弧AB的中点）． （1）求该圆弧所在圆的半径； （2）在距蔬菜棚的一端0.4米处竖立支撑杆EF，求支撑杆EF的高度． 参考答案 一．选择题 1．解：连接OD，如图， ∵CD⊥OC， ∴∠DCO＝90°， ∴CD＝， 当OC的值最小时，CD的值最大， 而OC⊥AB时，OC最小，此时D、B两点重合， ∴CD＝CB＝AB＝×5＝2.5， 即CD的最大值为2.5， 故选：B． 2．解：连接OC， 设⊙O的半径为R，则OE＝8﹣R， ∵CD⊥AB，AB过圆心O，CD＝8， ∴∠OEC＝90°，CE＝DE＝4， 由勾股定理得：OC2＝CE2+OE2， R2＝42+（8﹣R）2， 解得：R＝5， 即⊙O的半径长是5， 故选：A． 3．解：连接OC，OF， 设OB＝x， ∵四边形ABCD是正方形且顶点D和C在圆上， ∴AB＝BC＝2x，∠OBC＝90°， ∵BG＝4，四边形BEFG是正方形， ∴OE＝x+4，EF＝BE＝BG＝4，∠FEB＝90°， 在Rt△BCO中，OC＝， 在Rt△FEO中，OF＝， ∵OF＝OC， ∴5x2＝x2+8x+32， 解得x＝4或x＝﹣2（舍去） 当x＝4时，OC＝4， 则半圆O的半径是4． 故选：C． 4．解：连接OD， ∵CD⊥OC交⊙O于点D， ∴△OCD是直角三角形， 根据勾股定理得CD＝， ∵半径OD是定值， ∴当OC⊥AB时，线段OC最小，此时D与B重合，CD＝， ∵OC⊥AB， ∴AC＝BC＝AB＝， ∴CD＝＝BC＝． 故选：A． 5．解：过点O作OF⊥CD于F，连接CO， ∵AE＝5，BE＝1， ∴AB＝6， ∴⊙O的半径为3， ∴OE＝3﹣1＝2． ∵∠AEC＝30°， ∴OF＝1， ∴CF＝2， ∴CD＝2CF＝4， 故选：C． 6．解：作OD⊥AB于点D，如图所示， 由题意可知：AC＝6，BC＝2，OD＝3， ∴AB＝8， ∴AD＝BD＝4， ∴CD＝2， ∴OC＝＝＝， 故选：D． 7．解：∵DE⊥AB，AB过圆心O， ∴DC＝CE＝DE，∠ACD＝∠BCD＝90°， ∵AD＝DE， ∴DC＝AD， ∴∠DAC＝30°， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∴BD＝AB＝＝4， ∵∠ADB＝90°，∠DAB＝30°， ∴∠ABD＝60°， ∵∠DCB＝90°， ∴∠CDB＝30°， ∴BC＝BD＝， 故选：D． 8．解：连接OA，设⊙O的半径为R，则OA＝R，OE＝R﹣2， ∵CD⊥AB，CD过圆心O，AB＝8， ∴AE＝BE＝4，∠AEC＝90°， 由勾股定理得：OA2＝OE2+AE2， 即R2＝（R﹣2）2+42， 解得：R＝5， 即OA＝OC＝5，OE＝5﹣2＝3， ∴CE＝OC+OE＝5+3＝8， ∴AC＝＝＝4， 故选：C． 9．解：连接OB、AB， ∵BD⊥AO，BD＝8， ∴BE＝ED＝BD＝4， ∵OF⊥BC， ∴CF＝FB， ∵CO＝OA，OF＝， ∴AB＝2OF＝2， 由勾股定理得：AE＝＝2， 在Rt△BOE中，OB2＝OE2+BE2， 即OA2＝（OA﹣2）2+42， 解得：OA＝5， ∴OE＝OA﹣AE＝5﹣2＝3． 故选：A． 二．填空题 10．解：设OA＝OC＝r， ∵OC⊥AB，OC是半径， ∴AE＝EB＝4， 在Rt△AEO中，OA2＝AE2+OE2， ∴r2＝42+（r﹣2）2， ∴r＝5． 故答案为：5． 11．解：连接OA，如图，设⊙O的半径为rm， ∵C是⊙O中弦AB的中点，CD过圆心， ∴CD⊥AB，AC＝BC＝AB＝2m， 在Rt△AOC中，∵OA＝rcm，OC＝（6﹣r）m， ∴22+（6﹣r）2＝r2， 解得r＝， 即⊙O的半径长为m． 故答案为：． 12．解：连接OA， ∵OM：OC＝3：5， 设OC＝5x，OM＝3x，则DM＝2x， ∵CD＝10， ∴OM＝3，OA＝OC＝5， ∵AB⊥CD， ∴AM＝BM＝AB， 在Rt△OAM中，OA＝5， AM＝， 当如图1时，CM＝OC+OM＝5+3＝8， 在Rt△ACM中，AC＝； 当如图2时，CM＝OC﹣OM＝5﹣3＝2， 在Rt△ACM中，AC＝． 综上所述，AC的长为4或2． 故答案为：4或2． 13．解：∵OA＝OC＝7，且D为OC的中点， ∴OD＝CD， ∵OC⊥AB， ∴∠ODA＝∠CDB＝90°，AD＝BD， 在△AOD和△BCD中， ∴△AOD≌△BCD（SAS）， ∴BC＝OA＝7． 故答案为：7． 14．解：过点O作OE⊥AB于E，直线OE交CD于F，连接OA、OC， 如图： ∵AB∥CD， ∴OF⊥CD， ∴AB＝BE＝AB＝12，CF＝DF＝CD＝5， 在Rt△OAE中，OE＝＝5， 在Rt△OCF中，OF＝＝12， 当弦AB和CD在圆心同侧时，如图1，EF＝OF﹣OE＝12﹣5＝7（cm）， 当弦AB和CD在圆心异侧时，如图2，EF＝OF+OE＝12+5＝17（cm）， 综上所述，弦AB和CD之间的距离为7cm或17cm． 15．解：过O作OM⊥EF于M，连接OE，则∠OMD＝90°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠D＝90°， ∴四边形AOMD是矩形， ∴OM＝AD， ∵OM⊥EF，OM过圆心O，EF＝4， ∴EM＝FM＝2， ∵OG＝OB，BG＝5， ∴OB＝OG＝2.5＝OE， 在Rt△OME中，由勾股定理得：OM＝＝＝1.5， ∴AD＝OM＝1.5， 故答案为：1.5． 16．解：设AB和CD交于E， ∵CD⊥AB，CD过圆心O，AB＝12， ∴AE＝BE＝6，∠OEB＝∠CEA＝90°， 由勾股定理得：OE＝＝＝8， ∴CE＝OC+OE＝10+8＝18， 由勾股定理得：AC＝＝＝6， 故答案为：6． 17．解：过O点作OH⊥AB于H，连接OC，如图，则CH＝DH＝CD＝5，AH＝BH＝AB＝9， 在Rt△OCH中，OH＝＝＝12， 在Rt△OAH中，OA＝＝＝15． 故答案为：15． 18．解：作OE⊥AB于E，延长EO交CD于F，连接OA、OC，如图， ∵AB∥CD，OE⊥AB， ∴OF⊥CD， ∴AE＝BE＝AB＝4cm，CF＝DF＝CD＝3cm， 在Rt△OAE中，OE＝＝＝3cm， 在Rt△OCF中，OF＝＝＝4cm，