2.7 弧长及扇形面积 同步练习题2022-2023学年苏科版九年级数学上册(含答案)

2022-2023学年苏科版九年级数学上册《2.7弧长及扇形面积》同步练习题（附答案） 一．选择题 1．如图，在△ABC中，CA＝CB＝4，∠BAC＝α，将△ABC绕点A逆时针旋转2α，得到△AB′C′，连接B′C并延长交AB于点D，当B′D⊥AB时，的长是（　　） A．π B．π C．π D．π 2．如图，一条公路（公路的宽度忽略不计）的转弯处是一段圆弧（），点O是这段弧所在圆的圆心，半径OA＝90m，圆心角∠AOB＝80°，则这段弯路（）的长度为（　　） A．20πm B．30πm C．40πm D．50πm 3．如图，若半径为2cm的定滑轮边缘上一点A绕中心O逆时针转动150°（绳索与滑轮之间没有滑动），则重物上升的高度为（　　） A．5πcm B． C． D． 4．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝，以点B为圆心，BA长为半径画弧，交CD于点E，连接BE，则扇形BAE的面积为（　　） A． B． C． D． 5．如图，在边长为6的正方形ABCD中，以BC为直径画半圆，则阴影部分的面积是（　　） A．9 B．6 C．3 D．12 6．如图，Rt△BCO中，∠BCO＝90°，∠CBO＝30°，BO＝2cm，将△BCO绕点O逆时针旋转至△B'C'O，点C'在BO的延长线上，则边BC扫过区域（图中阴影部分）的面积为（　　） A．πcm2 B． C．2πcm2 D． 7．如图，在边长为4的等边△ABC中，D是BC边上的中点，以点A为圆心，AD为半径作圆与AB，AC分别交于E，F两点，求的长为（　　） A． B． C． D． 二．填空题 8．如图，用一个半径为6cm的定滑轮拉动重物上升，滑轮旋转了120°，假设绳索粗细不计，且与轮滑之间没有滑动，则重物上升了 　 　cm．（结果保留π） 9．如图，传送带的一个转动轮的半径为18cm，如果转动轮绕着它的轴心转n°时，传送带上的物品A被传送15πcm（在传送过程中物品A无滑动），则n＝　 　． 10．如图，D是以AB为直径的半圆O的中点，＝2，E是直径AB上一个动点，已知AB＝2cm，则图中阴影部分周长的最小值是 　 　cm． 11．如图，将⊙O沿弦AB折叠，恰好经过圆心O，若⊙O的半径为3，则重叠部分（即阴影部分）的面积为 　 　． 12．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作DF⊥AC，垂足为点F，若⊙O的半径为，∠CDF＝15°，则阴影部分的面积为 　 　． 13．已知一个扇形的半径为2cm，弧长是，则它的面积为 　 　cm2． 14．如图，边长为4的正方形ABCD的对角线交于点O，以OC为半径的扇形的圆心角∠FOH＝90°．则图中阴影部分面积是 　 　． 15．如图，在△ABC中，AB＝AC，点O在边AC上，以O为圆心，4为半径的圆恰好过点C，且与边AB相切于点D，交BC于点E，则劣弧的长是 　 　．（结果保留π） 16．如图，将扇形AOB沿OB方向平移，使点O移到OB的中点O′处，得到扇形A′O′B′．若∠O＝90°，OA＝2，则阴影部分的面积为 　 　． 17．如图，在扇形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝1，若以点C为圆心，CA为半径画弧，与交于点D，则图中阴影部分的面积和是 　 　． 三．解答题 18．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至D，使得DC＝CB，延长DA与⊙O交于点E，连接AC，CE． （1）求证：∠D＝∠E； （2）若AB＝4，的长度为π，求阴影部分的面积． 19．已知四边形ABCD内接于⊙O，过点A作⊙O的直径AE交BC于点F，已知AD∥BC，AF＝AB． （1）求证：AE∥CD； （2）∠BAE＝45°，CD＝，求弧AC的长． 20．平行四边形的对角线AC⊥AB，以AC为直径的⊙O交AD于点E． （1）如图1，若＝2，求的值． （2）如图2，若AC＝10，∠ACB＝15°，把边BC下方的弧以BC为对称轴向上翻折，与对角线AC交于点F，求CF的值． 21．如图，C是圆O被直径AB分成的半圆上一点，过点C的圆O的切线交AB的延长线于点P，连接CA，CO，CB． （1）求证：∠ACO＝∠BCP； （2）若∠ABC＝2∠BCP，求∠P的度数； （3）在（2）的条件下，若AB＝4，求图中阴影部分的面积（结果保留π和根号）． 22．如图，一只小羊被主人用绳子拴在长为5米，宽为2米的长方形水泥台的一个顶点上，水泥台的周围都是草地． （1）若绳子长为4米，求这只羊能吃到草的区域的最大面积．（结果保留π） （2）为了增加小羊吃草的范围，现决定把绳子的长度增加到6米，求这只羊现在能吃到草的区域的最大面积．（结果保留π） 参考答案 一．选择题 1．解：∵CA＝CB，CD⊥AB， ∴AD＝DB＝AB′． ∴∠AB′D＝30°， ∴α＝30°， ∵AC＝4， ∴AD＝2， ∴， ∴的长度l＝＝π． 故选：B． 2．解：∵半径OA＝90m，圆心角∠AOB＝80°， ∴这段弯路（）的长度为：＝40π（m）， 故选：C． 3．解：根据题意得：l＝＝（cm）， 则重物上升了cm， 故选：C． 4．解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝∠C＝90°， ∵BA＝BE＝2，BC＝， ∴∠CBE＝30°， ∴∠ABE＝90°﹣30°＝60°， ∴S扇形BAE＝＝， 故选：C． 5．解：设AC与半圆交于点E，半圆的圆心为O，连接BE，OE， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠OCE＝45°， ∵OE＝OC， ∴∠OEC＝∠OCE＝45°， ∴∠EOC＝90°， ∴OE垂直平分BC， ∴BE＝CE， ∴弓形BE的面积＝弓形CE的面积， ∴， 故选：A． 6．解：∵将△BCO绕点O逆时针旋转至△B'C'O，∠OBC＝30°， ∴OC＝OC′，∠C′OB′＝∠COB，OB＝OB′＝2cm，S△COB＝S△C′OB′， ∵∠BCO＝90°，OBC＝30°，BO＝2cm， ∴∠COB＝90°﹣∠OBC＝60°，OC＝OB＝1cm， ∴∠COC′＝120°， ∴∠BOB′＝∠COB′＝120°﹣∠C′OB′＝120°﹣60°＝60°， ∴阴影部分的面积S＝S扇形BOB′+S△C′OB′﹣S扇形COC′﹣S△COB ＝S扇形BOB′﹣S扇形COC′ ＝﹣ ＝﹣ ＝π（cm2）， 故选：A． 7．解：连接AD， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝60°，AB＝AC＝BC＝4， ∵D为BC的中点， ∴BD＝CD＝2，AD⊥BC， ∴AD＝＝＝2， ∴的长为＝， 故选：A． 二．填空题 8．解：由题意得，重物上升的距离是半径为6cm，圆心角为120°所对应的弧长， 即＝4π， 故答案为：4π． 9．解：由题意得，＝15π， 解得n＝150， 故答案为：150． 10．解：连接DO，延长DO至F，使得DO＝OF，连接OC、CF、EF、CD， ∵D是以AB为直径的半圆O的中点， ∴∠AOD＝∠BOD＝90°， ∴点D、点E关于AB对称， ∴CE＝EF， ∴CE+DE＝CE+EF≥CF， 当点C、E、F三点依次在同一直线上时，CE+DE＝CF的值最小， ∵＝2， ∴∠COD＝2∠BOC＝60°， ∵CO＝OD＝OF＝1， ∴△OCD为等边三角形，∠F＝∠OCF＝30°，∠OCD＝60°， ∴∠DCF＝90°，DC＝OD＝1， ∴CF＝， ∴CE+DE的最小值为， ∵， ∴图中阴影部分周长的最小值是（+）cm． 故答案为：（+）． 11．解：过O作OD⊥AB于D，交劣弧AB于E，如图： ∵把半径为3的⊙O沿弦AB折叠，恰好经过圆心O， ∴OD＝DE＝，OA＝3， 在Rt△ODA中，sin∠OAD＝＝， ∴∠A＝30°， ∴∠AOE＝60°， 同理∠BOE＝60°， ∴∠AOB＝60°+60°＝120°， 在Rt△ODA中，由勾股定理得：AD＝＝＝， ∵OD⊥AB，OD过O， ∴AB＝2AD＝3， ∴阴影部分的面积S＝S扇形AOB﹣S△AOB＝﹣×3×＝3π﹣， 故答案为：3π﹣． 12．解：连接AD，OE ∵AB为直径， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°， ∴∠ADF+∠CDF＝90°， ∵DF⊥AC， ∴∠AFD＝90°， ∴∠ADF+∠DAF＝90°， ∴∠CDF＝∠DAC， ∵∠CDF＝15°， ∴∠DAC＝15°， ∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴∠BAC＝2∠DAC＝30°， ∵OA＝OE， ∴∠OAE＝∠OEA＝30°， ∴∠AOE＝120°， 作OH⊥AE于H， 在Rt△AOH中，OA＝4， ∴OH＝sin30°×OA＝2， AH＝cos30°×OA＝6， ∴AE＝2AH＝12， ∴S阴影＝S扇形OAE﹣S△AOE＝﹣＝16π﹣12． 故答案为：16π﹣12． 13．解：扇形的面积＝××2＝（cm2）． 故答案为：． 14．解：如图，∵四边形ABCD是正方形， ∴AC⊥BD，OA＝OC＝OB＝OD，∠OBE＝∠OCG＝45°，S△OBC＝S四边形ABCD＝4， ∵∠BOC＝∠EOG＝90°， ∴∠BOE＝∠COG， 在△BOE和△COG中， ， ∴△OBE≌△OCG（SAS）， ∴S△OBE＝S△OCG， ∴S四边形OECG＝S△OBC＝4， ∵△OBC是等腰直角三角形，BC＝4， ∴OB＝OC＝2， ∴S阴＝S扇形OFH﹣S四边形OECG ＝﹣4 ＝2π﹣4， 故答案为：2π﹣4． 15．解：连接OD，OE， ∵OC＝OE， ∴∠OCE＝∠OEC， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∵∠A+∠ABC+∠ACB＝∠COE+∠OCE+∠OEC， ∴∠A＝∠COE， ∵圆O与边AB相切于点D， ∴∠ADO＝90°， ∴∠A+∠AOD＝90°， ∴∠COE+∠AOD＝90°， ∴∠DOE＝180°﹣（∠COE+∠AOD）＝90°， ∴劣弧的长是＝2π． 故答案为：2π． 16．解：如图，设O′A′交于点T，连接OT． ∵OT＝OB，OO′＝O′B， ∴OT＝2OO′， ∵∠OO′T＝90°， ∴∠O′TO＝30°，∠TOO′＝60°， ∴S阴＝S扇形O′A′B′﹣（S扇形OTB﹣S△OTO′） ＝﹣（﹣×1×） ＝+． 故答案为：+． 17．解：连接AD， ∵以点C为圆心，CA为半径画弧，与交于点D，AB＝1， ∴AD＝AC＝CD＝1， ∴△ADC是等边三角形， ∴∠DCA＝∠DAC＝60°， ∵∠BAC＝90°， ∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝90°﹣60°＝30°， ∴阴影部分的面积＝S扇形BAD＝＝π， 故答案为：π． 三．解答题 18．解：（1）∵AB是圆O直径， ∴AC⊥BD； 又∵DC＝BC， ∴AC⊥BD，且平分BD， ∴AD＝AB， ∴∠D＝∠B； ∵∠B＝∠E ∴∠D＝∠E． （2）如图，连接OC，过点O作OF⊥BC于点F． 设∠AOC＝α度，由弧长公式得： ， ∴α＝60，即∠AOC＝60°； ∵OB＝OC， ∴∠OBC＝∠OCB，而∠AOC＝∠OBC+∠OCB， ∴∠B＝30°，AC＝AB＝2；OF＝OB＝1； ∴BC＝2； S阴影＝S扇形AOC+S△BOC ＝＝． 19．（1）证明：∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠ABC+∠D＝180°， ∵AD∥BC，