2022年新高考数学基础考点专练第06讲 函数的应用(基础训练)(解析版)

第06讲 函数的应用 【基础训练】 一、单选题 1．某服装店开张第一周进店消费的人数每天都在变化，设第天进店消费的人数为y，且y与(表示不大于t的最大整数)成正比，第1天有10人进店消费，则第4天进店消费的人数为（ ） A．74 B．76 C．78 D．80 【答案】C 【分析】 由题可设，然后根据题意可求出，再把代入可求得答案 【详解】 解：由题可设， 当时，代入可得，解得， 所以， 令，则， 故选：C 2．关于函数，下列说法正确的是（ ） A．函数有2个零点 B．函数有4个零点 C．是函数的一个零点 D．是函数的一个零点 【答案】A 【分析】 直接令，求方程的实数根，确定零点个数. 【详解】 令，解得：或， 所以函数有2个零点. 故选：A 3．已知，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 利用“分段法”，结合零点存在性定理确定正确选项. 【详解】 ， 因为在R上单调递增，且，， 所以，所以. 故选：C 4．我们要检测视力时会发现对数视力表中有两列数据，分别是小数记录与五分记录，如图所示(已隐去数据)，其部分数据如表： 小数记录 0.1 0.12 0.15 0.2 … ？ … 1.0 1.2 1.5 2.0 五分记录 4.0 4.1 4.2 4.3 … 4.7 … 5.0 5.1 5.2 5.3 现有如下函数模型：①，②，表示小数记录数据，表示五分记录数据，请选择最合适的模型解决如下问题：小明同学检测视力时，医生告诉他的视力为4.7，则小明同学的小数记录数据为（ ）(附：) A．0.3 B．0.5 C．0.7 D．0.8 【答案】B 【分析】 通过表格中的数据进行模型验证，可得选模型①更合适，然后令解出的值即为答案. 【详解】 由数据可知，当时，，两个都符合， 但当时，由，得，与表中的数据符合， 而，与表中的数据不符合， 所以选择模型更合适，此时令，则， 所以. 故选：B. 5．已知定义在R上的函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表：那么函数f(x)一定存在零点的区间是（ ） x 1 2 3 4 f(x) 6.1 2.9 ﹣3.5 ﹣1 A．(﹣∞，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，4) 【答案】C 【分析】 利用零点存在性定理即可判断. 【详解】 解：由题意可知：f（3）=﹣3.5<0，f（2）=2.9>0， 所以f（2）f（3）<0. 函数f(x)一定存在零点的区间是(2，3). 故选：C. 6．若是二次函数的两个零点，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 解方程可得，代入运算即可得解. 【详解】 由题意，令，解得或， 不妨设，代入可得. 故选：D. 7．定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)，且在区间[2，4)上则函数的零点的个数为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】 画出和的图象，根据图象确定正确选项. 【详解】 因为f(x＋4)＝f(x)，可得f(x)是周期为4的奇函数，先画出函数f(x)在区间[2，4)上的图象，根据奇函数和周期为4，可以画出f(x)在R上的图象，由y＝f(x)－log5| x|＝0，得f(x)＝log5| x|，分别画出y＝f(x)和y＝log5|x|的图象，如下图，由f(5)＝f(1)＝1，而log55＝1，f(－3)＝f(1)＝1，log5|－3|<1，而f(－7)＝f(1)＝1，而log5|－7|＝log57>1，可以得到两个图象有5个交点，所以零点的个数为5. 故选：C 8．已知函数，若方程有四个不同的解且，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 画出的图象，根据图象将表示为只含的形式，结合函数的单调性求得的取值范围. 【详解】 . 先作图象，由图象可得 因此为， ， 从而. 故选：A 9．已知函数若方程有且仅有两个不等实根，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 画出函数图像，通过图像得出答案. 【详解】 已知，作出函数图像， 通过函数图像可以看出，当，函数无限趋近于1，但不等于1，当，函数无限趋近于0，但不等于0，所以有且仅有两个不等实根，可以得到. 故选：B. 10．把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是．那么后物体的温（单位：℃）可由公式求得，其中k是一个随着物体与空气的接触情况而定的常数．现有46℃的物体，放在10℃的空气中冷却，以后物体的温度是38℃，则k的值约为（ ） A．0.25 B． C．0.89 D． 【答案】A 【详解】 由题意可知： 当，，时，， 代入公式得：即， 则. 故选：A. 【点睛】 本题主要考查指数对数函数的运算，属于简单题. 11．果农采摘水果，采摘下来的水果会慢慢失去新鲜度．已知某种水果失去新鲜度h与其采摘后时间t（天）满足的函数关系式为．若采摘后10天，这种水果失去的新鲜度为10%，采摘后20天，这种水果失去的新鲜度为20%．那么采摘下来的这种水果在多长时间后失去50%新鲜度（已知，结果取整数）（ ） A．23天 B．33天 C．43天 D．50天 【答案】B 【分析】 根据题设条件先求出、，从而得到，据此可求失去50%新鲜度对应的时间. 【详解】 ，故，故， 令，∴，故， 故选：B. 12．函数零点所在的整区间是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 直接利用零点存在性定理求解即可. 【详解】 因为函数为单调递增函数， 且， 所以零点所在的区间是， 故选：C． 13．把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，那么分钟后物体的温度（单位：）满足等式，其中为常数.现有62℃的物体放到22℃的空气中冷却2分钟后，物体的温度为42℃，再经过4分钟冷却，该物体的温度可以冷却到（ ） A．22 B．24.5 C．25 D．27 【答案】D 【分析】 根据已知条件求得，进而求得正确结论. 【详解】 依题意，， 故再经过4分钟冷却，该物体的温度可以冷却到 故选：D 14．下列函数中，存在零点且零点能用二分法求解的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 首先说明选项A,B,C不能利用二分法求解，再说明选项D能够利用二分法求解. 【详解】 由于，所以选项A,B,C的函数不能用二分法求解. 由于函数是存在零点的连续函数，且函数的值域为，所以能够利用二分法求解. 故选：D 15．若函数的零点所在区间为，则的值是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】 根据函数在R上递增，利用零点存在定理判断零点所在区间即可. 【详解】 因为函数在R上递增， 且， 所以函数的零点在区间内， 又因为函数的零点在区间内， 所以的值是1 故选：A 16．函数的零点所在区间是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 先判断的单调性，然后根据零点存在性定理判断出正确答案. 【详解】 的定义域为，且为定义域上的增函数， ， ，故零点所在区间是. 故选：B 17．已知函数有一个零点所在的区间为，则可能等于（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】 根据零点存在性定理可得答案. 【详解】 因为，，，， 所以，且函数的图象连续不断， 所以函数有一个零点所在的区间为，故可能等于1. 故选：B 18．方程的根所在的区间为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 构造函数，利用零点存在定理可得出结论. 【详解】 构造函数，则函数为上的增函数， ，，则， 因此，方程的根所在的区间为. 故选：B. 19．从2015年到2020年，某企业通过持续的技术革新来降低其能源消耗，到了2020年该企业单位生产总值能耗降低了20%.如果这五年平均每年降低的百分率为x，那么x满足的方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据题设逐年列出生产总值能耗后可得正确的选择. 【详解】 设2015年该企业单位生产总值能耗为，则2016年该企业单位生产总值能耗， 2017年该企业单位生产总值能耗，2018年该企业单位生产总值能耗， 2019年该企业单位生产总值能耗，2020年该企业单位生产总值能耗， 由题设可得即， 故选：D. 20．已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 利用零点存在定理，分别计算判断的正负，即可判断零点所在区间. 【详解】 因为函数在上是减函数，且，，，所以，由零点存在定理可知，函数的零点所在区间为 故选：C 21．函数的零点所在的区间是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 计算出的值，由零点存在性定理即得解. 【详解】 由题得， ， 所以， 又因为函数是连续函数， 所以零点所在的区间为. 故选：C 【点睛】 方法点睛：判断连续函数零点所在的区间，一般利用零点存在性定理，若，则函数在区间上至少有一个零点. 22．函数的零点所在的区间为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 利用零点存在定理可得出结论. 【详解】 易知函数在上为减函数， ，，则， 因此，函数的零点所在的区间为. 故选：C. 23．sigmoid函数是描述在资源有限的条件下种群增长规律的一个最佳数学模型.某研究所根据试验数据建立了一种病毒的sigmoid函数模型，当时，病毒增长达到最大，则约为（ ） A．90 B．83 C．74 D．63 【答案】C 【分析】 根据题意，列出方程，结合指数幂和对数的运算性质，即可求解. 【详解】 由题意得，整理得，即， 可得，所以. 故选：C. 24．函数的一个零点所在的区间为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 由单调性结合零点存在性定理可判断. 【详解】 在单调递增， 且，， 在有唯一零点. 故选：A. 25．函数的零点所在的区间为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据零点存在定理判断． 【详解】 ，，， 所以零点在上． 故选：D． 26．视力检测结果有两种记录方式，分别是小数记录与五分记录，其部分数据如下表： 小数记录 五分记录 现有如下函数模型：①，②，表示小数记录数据，表示五分记录数据，请选择最合适的模型解决如下问题：小明同学检测视力时，医生告诉他的视力为，则小明同学的小数记录数据为（附，，）（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 根据表格中可知函数的单调性，可选择合适的函数模型，然后令，解方程即可得解. 【详解】 由表格中的数据可知，函数单调递增，故合适的函数模型为， 令，解得. 故选：B. 27．已知声音强弱的等级 (单位：dB)由声音强度(单位：)决定．科学研究发现，与成线性关系，如喷气式飞机起飞时，声音强度为声音强弱的等级为；某动物发出的鸣叫，声音强度为，声音强弱的等级为．若某声音强弱等级为90dB，则声音强度为（ ） A．0.001 B．0.01 C．0.1 D．1 【答案】A 【分析】 设，代入两点坐