拓扑泛函分析抽象代数课件

08 十月 2022拓扑泛函分析抽象代数拓扑泛函分析抽象代数序序 萌芽于19世纪末，奠基于20 世纪初，成长于两次世界大战之间的拓扑、泛函分析、抽象代数拓扑、泛函分析、抽象代数 是现代数学发展的理论基础是现代数学发展的理论基础。一个数学工作者，要想站在数学研究的前沿，必须有拓扑、泛函分析、抽象代数的雄厚基底。正因为如此，我国所有的大学数学系均把它们列入教学计划，并称之为“新三高”（“老三高”指数学分析、高等代数、高等几何）。、拓扑学（位置几何学）拓扑学最早起源与1736年欧拉研究的“哥尼斯堡七桥问题”。18世纪东普鲁士首都哥尼斯堡是一个著名的大学城。它位于布勒尔河的两条支流之间，那里有七座桥联接着一个岛和一个半岛，如图。是将实际问题转化为数学问题，并借助是将实际问题转化为数学问题，并借助数学理论来解释现实问题的方法数学理论来解释现实问题的方法 抽象分析法大学生的请教欧拉采用了抽象分析法，他用点代表两岸、岛和半岛，用线代表桥。如图。“一笔画”问题“七桥问题”可归结为“一笔画”问题。“一笔画”的条件要么没有奇点，要么最多只有两个奇点，但是这个图形的四个点均为奇点，所以无解。这个问题和1751年欧拉证明的另一条定理：“任何一个凸多面体的顶点V、棱数E和面数F之间有关系V-E+F=2”成为拓扑学的最早起点。拓扑学的“拓扑”（Topology）一词最早在1847年由利斯亭（J.B.Listing）所采用。拓扑学的研究（1）系统的拓扑学研究开始于庞加莱。他研究微分方程的积分曲线的形状和奇异点的性质，基本上属于拓扑学的范围。1895年，他出版了位置分析一书，第一次系统地论述了拓扑学的内容。这也是拓扑学过去很长时间叫“位置分析”的原因。拓扑学又称“橡皮几何学”，是因为拓扑学研究几何图形的这样一种性质：在图形被弯曲、拉大、缩小或连续变形下保持不变的性质。“点不变，线不断，面不烂”！拓扑学的研究（2）由于连续性在数学中的表现方式与研究方法的多样性，拓扑学又分成研究对象和方法各异的若干分支。在拓扑学的孕育阶段，19世纪末，就出现点集拓点集拓扑学扑学和组合拓扑学组合拓扑学两个方向。现在前者已演化成一般拓扑学，后者则成为代数拓扑学。后来又相继出现了微分拓扑学、几何拓扑学等分支。拓扑学主要是由于分析学和几何学的需要而发展起来的，它自20世纪30年代以来的大发展，尤其是它的成果与方法对于数学的各个领域的不断渗透，是是20世纪理论数学发展中的一个明显特征世纪理论数学发展中的一个明显特征。拓扑学的研究（3）点集拓扑点集拓扑是在康托点集和弗雷歇（M.Fre-chet,1878-1973,法国）的函数点集(函数空间)基础上开创的。1908年，德国的熊福莱斯提出了点集拓扑学的概念。1914年豪斯道夫在他的集合论纲要中建立了抽象空间的完整理论，第一次抽象地使用了点集、和邻域的概念，标志着点集拓扑学的正式形成。拓扑学的研究（4）组合拓扑学的奠基人是H.庞加莱。组合拓扑开始于庞加莱18851904年间发表的一系列论文。流形、单形、复形、边缘、链、贝蒂（Betti）数、挠系数、示性数等概念，都在这些论文中提出。-拓扑学在20世纪20-30年代获得重大进展。首先是出现复形的同调群，它由亚历山大罗夫等人完成。-1937年，美国的惠特尼证明了微分流形的嵌入定理，正式创建了微分拓扑学。2、泛函分析泛函分析是综合运用函数论、几何学、代数学的观点来研究无限维向量空间上的函数（也称泛函）、算子和极限的数学学科。它可以看作是无限维向量空间的解析几何及数学分析。产生泛函分析的背景是变分法、集合论、积分方程的发展。泛函分析的名称是阿达玛首先使用的。泛函分析是在20世纪发端，而于20年代30年代基本完成的。泛函分析的发展（1）在建立函数空间和泛函的抽象理论中，第一个卓越成果，属于法国的著名数学家弗雷歇，他在1906年的博士论文中，用抽象形式表达了函数空间；空间中每一点是函数，函数的极限可以看作空间中点列的极限，这是他的一个深刻的思想。1907年，施密特把希尔伯特研究积分方程时使函数等同于傅氏系数集的思想，抽象为一般的L2，并导出正交系，希尔伯特空间的名称也由此产生。泛函分析的发展（2）作为泛函分析核心的抽象算子理论的一个良好的开端，由黎兹1910年发表在数学年刊的文章所做出。巴拿赫在黎兹的基础上，提出了完整的赋范空间（巴拿赫空间）概念，并为函数空间上的线性算子理论提出了一系列重要定理，对近代泛函分析的发展起了重要的作用。勇于开始，才能找到成功的路泛函分析的发展（3）巴拿赫巴拿赫巴拿赫（S.Banach,Stefan,1892.3.30-1945.8.31）生于波兰的克拉科夫，卒于苏联乌克兰加盟共和国的利沃夫。是当时波兰利沃夫学派的领导人。巴拿赫的童年过着清苦的生活。14岁那年他就不得不到私人家里讲课以养活自己。泛函分析的发展（4）巴拿赫（续一）巴拿赫（续一）1910年巴拿赫中学毕业后曾自修数学，并到雅各龙大学听过一个短时期的课。后来就读于利沃夫学院。第一次世界大战使中断了学业，但仍不断钻研数学。他靠自学和同数学家交谈获得许多数学知识。1917年巴拿赫和斯泰因豪斯联名写了一篇关于傅立叶级数收敛性的论文，两年后发表，这也是巴拿赫的第一篇论文。1920年被破格聘为助教，同年，提交博士论文关于抽象集合上的运算及其在积分方程上的应用，由此取得了博士学位。人们有时把该论文作为泛函分析学科形成的标志之一，为泛函分析奠定了基础。泛函分析的发展（5）巴拿赫（续二）巴拿赫（续二）1932年，巴拿赫又发表名著线性算子理论，至此，泛函分析已臻于成熟。二次世界大战时，他在一个预防伤寒的研究所里喂养虱子度日。1945年波兰解放后不久，他身染重病，死于肺癌。1960年在波兰召开的泛函分析国际会议上，举行了纪念巴拿赫的仪式。1967年出版了巴拿赫全集。1972年1月13日，华沙成立了巴拿赫国际数学中心（S.Banach International Mathematical Center）。巴拿赫不仅自己在科学上作出了巨大贡献，而且培育了一大批青年数学家，为形成强大的利沃夫泛函分析学派奠定了基础。泛函分析的发展（6）算子理论更光辉的成就属于冯.诺依曼，1929-1930年，他提出希尔伯特空间及希尔伯特空间的算子的公理方法，并且很幸运地发现，量子力学合用的数学工具，恰恰是这种算子的谱理论。至此，泛函分析基本上得到确立。3、抽象代数学（近世代数学）以讨论群、环、域、格、向量空间等的性质和结构为内容的数学分支称为抽象代数学（近世代数学）。19世纪拉格朗日和阿贝尔在研究五次及五次以上代数方程的根式解的过程中，给群论打下了良好的基础；“伽罗华理论”为群论的创立做出了杰出的贡献，在群论史上永垂不朽。勇于开始，才能找到成功的路伽罗华伽罗华（18111832.5.31）伽罗华出生在巴黎附近一个小城的家庭，家境本很优裕。但自18岁后，各种不幸接踵而至。先是父亲因与天主教保守势力冲突而自杀；高考又遭失败；后虽考入高等师范学校，却又因参与革命两次被捕；出狱后不久，因爱情的纠葛死于决斗，时年尚不到21 岁。伽罗华的遗嘱伽罗华的遗嘱在决斗前夜，伽罗华通宵达旦整理在决斗前夜，伽罗华通宵达旦整理自己的手稿，并在遗书中嘱咐朋友：自己的手稿，并在遗书中嘱咐朋友：“请求雅可比请求雅可比 或高斯不是就这些定或高斯不是就这些定理的正确性而是关于它们的重要性理的正确性而是关于它们的重要性公开发表他们的意见公开发表他们的意见”。对伽罗华的评价对伽罗华的评价“凡是谴责伽罗华的政治活动，或者干脆不考虑他的政治活动的人，都不能认清他在科学上所作的贡献的价值。”伽罗华伽罗华不仅是一个伟大的数学家，而且是一个积极的革命者。追求科学理想和追求社会理想在他身上得到了统一。伽罗华在一次政治的诉讼上宣布：“我们是小孩，但是，我们精力充沛，勇往直前。”“妨碍我成为科学家的，恰好是我不光是个科学家”。他坚信自己“不可能弄错。”“人们曾经想出一种特殊的解释：说伽罗华过分年轻，说他过激了，但同时却忘记了他的头脑是惊人的清醒的”。记取此点，有助全面认识伽罗华。群论的研究1846年伽罗华死后14年，刘维尔把他的遗稿刊印在他创办的数学杂志上，其中最重要的论文是论方程可以用开方法求解的条件。1849年凯莱提出了抽象群的概念；1878年他又写出了抽象群的4篇论文。1874年挪威数学家李在研究微分方程时，发现某些微分方程解对一些连续变换群是不变的，一下子接触到连续群。1882年，英国载克把群论三个重要来源方程式论、数论和无限变换群纳入统一的抽象群概念之中，并提出“生成元”概念。20世纪初年亨廷顿（Huntington,1874-1952）等人给出了群的抽象公理体系。同时群论的研究沿着各个不同方向展开。环论（1）环是元素之间具有两种代数运算（通常分别称为加法和乘法）的集，其中加法满足结合律及交换律，乘法满足结合律及关于对加法的分配律；这集还有零元素，它与集里任何元素相加的结果仍是该元素；并且每个元素都有负元素，任何元素与其负元素相加是零元素。环论是系统研究环的性质和应用的学科。环论（2）19世纪戴德金和克罗内克已熟知并利用过环的构造，但抽象理论却完全是20世纪的产物。克罗内克把环叫做“序”，“环”这个词是希尔伯特引进的。1907年韦得伯恩在论超复数中，研究了线性结合代数，这种代数实际上是环。环的系统理论是德国女数学家诺特给出的，她1921年的经典性论文环中的理想论标志着环论现代化的开端。勇于开始，才能找到成功的路诺特诺特（Emmy Noether,1882-1935）诺特诺特出生于德国一个数学家族，父亲是爱尔朗根大学数学教授，对代数几何有卓越的贡献。弟弟是一位应用数学家。诺特本人早年师从有“不变量之王”之称的果尔丹。后经希尔伯特、克莱因等大力举荐，诺特在1919年取得哥廷根大学无薪讲师资格。诺特父母都是犹太人，1933年她因希特勒排犹移居美国，先后在普林斯顿高等研究院和布林莫尔学院任教。1935年因肿瘤手术去世。爱因斯坦还特地为她写了悼念文章,称“诺特女士是自从妇女开始受到高等教育以来最重要的富于创造性的天才”。（图为诺特离开图为诺特离开哥廷根时在火车站候车）哥廷根时在火车站候车）对诺特的评价对诺特的评价诺特是一位卓越的的学者诺特是一位卓越的的学者，除环论外，在积分方，除环论外，在积分方程的解析理论、黎曼面理论、相对论、联络空程的解析理论、黎曼面理论、相对论、联络空间微分几何学、群表示论及其在量子力学上的应间微分几何学、群表示论及其在量子力学上的应用等方面都有贡献。用等方面都有贡献。她热爱数学教育，热爱学生她热爱数学教育，热爱学生，培养了一大批数学，培养了一大批数学人才，其中包括我国的曾炯之（以完成近世代数人才，其中包括我国的曾炯之（以完成近世代数上的上的“曾炯之定理曾炯之定理”闻名于世）闻名于世）她敦厚温良她敦厚温良,又思路敏捷又思路敏捷,深得各国学生们的爱戴深得各国学生们的爱戴,著名的科学家爱因斯坦、著名的科学家爱因斯坦、H.韦尔、亚历山大罗夫韦尔、亚历山大罗夫对诺特都有很高评价。诺特在数学上的光辉成就对诺特都有很高评价。诺特在数学上的光辉成就及优秀品质应该成为我们，更应该成为每一位女及优秀品质应该成为我们，更应该成为每一位女性向科学进军的力量源泉。性向科学进军的力量源泉。诺特生前共发表三十七篇论文，但任何数诺特生前共发表三十七篇论文，但任何数字也无法表达她留给后代的科学思想。字也无法表达她留给后代的科学思想。更何况他为占人类半数的女性树立了妇女更何况他为占人类半数的女性树立了妇女同样能攀上抽象学科高峰的又一个光辉榜同样能攀上抽象学科高峰的又一个光辉榜样。样。美神虽然没有光顾她的摇篮，美神虽然没有光顾她的摇篮，她的美德和业绩早已使美神黯然失色！她的美德和业绩早已使美神黯然失色！环论和域论（1）诺特的环论后来由她的学生范德瓦尔登（Van der Waerden,1903.2.2-1996.?.?,荷兰）及拉斯克（E.Lasker,1868.12.24-1941.1.13,德国）继续发展,成为