高三数学一轮复习基础过关9.6双曲线课件

要点梳理要点梳理1.1.双曲线的概念双曲线的概念 平面内动点平面内动点P P与两个定点与两个定点F1 1、F2 2（|F1 1F2 2|=2|=2c c0 0）的距离之差的绝对值为常数的距离之差的绝对值为常数2 2a a（2 2a a2 2c c），则点），则点 P P的轨迹叫的轨迹叫 .这两个定点叫双曲线的这两个定点叫双曲线的 ，两焦点间的距离叫两焦点间的距离叫 .集合集合P P=M|MF1 1|-|-|MF2 2|=2|=2a a，|F1 1F2 2|=2|=2c c，其中其中a a、c c为常数且为常数且a a0,0,c c0 0：9.6 双曲双曲线线 基础知识基础知识 自主学习自主学习双曲线双曲线焦距焦距（1 1）当）当 时，时，P P点的轨迹是点的轨迹是 ；（2 2）当）当 时，时，P P点的轨迹是点的轨迹是 ；（3 3）当）当 时，时，P P点不存在点不存在.a ac ca a=c ca ac c焦点焦点双曲线双曲线两条射线两条射线2.2.双曲线的标准方程和几何性质双曲线的标准方程和几何性质标准标准方程方程图形图形性质性质范围范围对称性对称性对称轴：坐标轴对称轴：坐标轴对称中心：原点对称中心：原点对称轴：坐标轴对称轴：坐标轴对称中心：原点对称中心：原点顶点顶点顶点坐标：顶点坐标：A A1 1（-a a,0,0）,A A2 2(a a,0),0)顶点坐标：顶点坐标：A A1 1（0,-0,-a a）,A A2 2(0,(0,a a)渐近线渐近线离心率离心率实虚轴实虚轴线段线段A A1 1A A2 2叫做双曲线的实轴，它的长叫做双曲线的实轴，它的长|A A1 1A A2 2|=2|=2a a；线段；线段B1 1B2 2叫做双曲线的虚轴，叫做双曲线的虚轴，它的长它的长|B1 1B2 2|=2|=2b b；a a叫做双曲线的实半叫做双曲线的实半轴长，轴长，b b叫做双曲线的虚半轴长叫做双曲线的虚半轴长.a a、b b、c c的关系的关系基础自测基础自测1.1.双曲线方程：双曲线方程：那么那么k的范围是的范围是 （）A.A.k5 B.25 B.2k 5 5 C.-2 C.-2k2 D.-22 D.-2k2 2或或k5 5 解析解析 由题意知（由题意知（|k|-2|-2）（）（5-5-k）0 0，解得解得-2-2k2 2或或k5.5.DC3.3.过双曲线过双曲线x x2 2-y2 2=8=8的左焦点的左焦点F1 1有一条弦有一条弦P PQ在左支在左支 上，若上，若|P PQ|=7,|=7,F2 2是双曲线的右焦点是双曲线的右焦点,则则P PF2 2Q 的周长是的周长是 （）A.28A.28 B.14-8 C.14+8 D.8 B.14-8 C.14+8 D.8 解析解析|P PF2 2|+|+|P PQ|+|+|QF2 2|=（2 2a a+|+|P PF1 1|）+|+|P PQ|+|+（2 2a a+|+|QF1 1|）=4=4a a+2|+2|P PQ|=8 +14.|=8 +14.C4.4.下列曲线中离心率为下列曲线中离心率为 的是的是 （）A.A.B.B.C.C.D.D.解析解析 e=,=,e2 2=.=.即即 故故B B选项正确选项正确.B5.5.若若m m0,0,点点 在双曲线在双曲线 上，则上，则点点P P到该双曲线左焦点的距离为到该双曲线左焦点的距离为 .解析解析 在双曲线在双曲线 上上,且且m m0,0,代入双曲线方程解得代入双曲线方程解得m m=3,=3,双曲线左焦点双曲线左焦点F1 1(-3,0),(-3,0),故故|P PF1 1|=|=题型一题型一 双曲线的定义双曲线的定义【例例1 1】已知动圆已知动圆M与圆与圆C1 1：(x x+4)+4)2 2+y2 2=2=2外切，与外切，与 圆圆C2 2：（：（x x-4-4）2 2+y2 2=2=2内切，求动圆圆心内切，求动圆圆心M的轨的轨 迹方程迹方程.利用两利用两圆圆内内、外切外切的的充充要要条件找条件找出出M 点点满满足足的几的几何条件何条件，结，结合双曲合双曲线线定定义求解义求解.思维启迪思维启迪题型分类题型分类 深度剖析深度剖析解解 设动圆设动圆M的半径为的半径为r，则由已知则由已知|MC1 1|=|=r+，|MC2 2|=|=r-，|MC1 1|-|-|MC2 2|=2 .|=2 .又又C1 1（-4-4，0 0），），C2 2（4 4，0 0），），|C1 1C2 2|=8|=8，2 2|C1 1C2 2|.|.根据双曲线定义知，点根据双曲线定义知，点M的轨迹是以的轨迹是以C1 1(-4(-4，0)0)、C2 2（4 4，0 0）为焦点的双曲线的右支）为焦点的双曲线的右支.a a=，c c=4=4，b b2 2=c c2 2-a a2 2=14=14，点点M的轨迹方程是的轨迹方程是 =1=1（x x ）.探究提高探究提高 求求曲曲线线的的轨轨迹迹方方程程时时,应应尽尽量量地地利用几利用几 何条件探何条件探求求轨轨迹迹的的曲曲线线类类型型,从而从而再用再用待待定定系系数数 法法求出求出轨轨迹迹的方的方程程，这样，这样可可以以减少运算减少运算量量,提提高高 解题解题速速度度与与质质量量.在在运运用用双曲双曲线线的的定定义时义时,应特应特别别 注注意意定定义中的义中的条件条件“差的差的绝绝对对值值”,弄清弄清所求所求轨轨 迹迹是是整条双曲整条双曲线线，还还是是双曲双曲线线的一的一支支，若是一，若是一 支支，是，是哪哪一一支支，以确保，以确保轨轨迹迹的的纯纯粹性粹性和和完完备备性性.知能迁移知能迁移1 1 已知点已知点P P是是 双曲线双曲线 =1=1上除顶点外上除顶点外 的任意一点，的任意一点，F1 1、F2 2分别为左、分别为左、右焦点，右焦点，c c为半焦距，为半焦距，P PF1 1F2 2 的内切圆与的内切圆与F1 1F2 2切于点切于点M，则，则|F1 1M|F2 2M|=|=.解析解析 根据从圆外一点向圆所引的两条切线长相等根据从圆外一点向圆所引的两条切线长相等,|F1 1M|-|-|F2 2M|=|=|P PF1 1|-|-|P PF2 2|=2|=2a a，又又|F1 1M|+|+|F2 2M|=2|=2c c，解得，解得|F1 1M|=|=a a+c c，|F2 2M|=|=c c-a a，从而，从而|F1 1M|F2 2M|=|=c c2 2-a a2 2=b b2 2.答案答案 b b2 2 题型二题型二 双曲线的标准方程双曲线的标准方程【例例2 2】已知双曲线的渐近线方程为已知双曲线的渐近线方程为2 2x x3 3y=0.=0.（1 1）若双曲线经过）若双曲线经过P P（,2,2）,求双曲线方程；求双曲线方程；（2 2）若双曲线的焦距是）若双曲线的焦距是2 2 ，求双曲线方程；，求双曲线方程；（3 3）若双曲线顶点间的距离是）若双曲线顶点间的距离是6 6，求双曲线方程，求双曲线方程.用用定定义义法法或待或待定定系系数数法法求方求方程程.解解 方法一方法一 由双曲线的渐近线方程由双曲线的渐近线方程y=x x，可设双曲线方程为可设双曲线方程为思维启迪思维启迪（1 1）双曲线过点双曲线过点P P（，2 2），），故所求双曲线方程为故所求双曲线方程为（2 2）若）若 0 0，则，则a a2 2=9 ,=9 ,b b2 2=4 .=4 .c c2 2=a a2 2+b b2 2=13 .=13 .由题设由题设2 2c c=2 ,=1,=2 ,=1,所求双曲线方程为所求双曲线方程为若若 0 0，则，则a a2 2=-4 ,=-4 ,b b2 2=-9 ,=-9 ,c c2 2=a a2 2+b b2 2=-13 .=-13 .由由2 2c c=2 ,=-1,=2 ,=-1,所求双曲线方程为所求双曲线方程为所求双曲线方程为所求双曲线方程为（3 3）若）若 0 0，则，则a a2 2=9 ,=9 ,由题设由题设2 2a a=6,=1.=6,=1.所求双曲线方程为所求双曲线方程为若若 0 0，则，则a a2 2=-4 ,=-4 ,由题设由题设2 2a a=6,=-=6,=-，所求双曲线方程为所求双曲线方程为故所求双曲线方程为故所求双曲线方程为方法二方法二 （1 1）由双曲线渐近线的方程）由双曲线渐近线的方程y=x x,可设双曲线方程为可设双曲线方程为 （mnmn0 0）.双曲线过点双曲线过点P P（，2 2），），m m0,0,n n0.0.又渐近线斜率又渐近线斜率k=,故所求双曲线方程为故所求双曲线方程为（2 2）设双曲线方程为）设双曲线方程为c c2 2=a a2 2+b b2 2，13=13=a a2 2+b b2 2,由渐近线斜率得由渐近线斜率得所求双曲线方程为所求双曲线方程为（3 3）由（）由（2 2）所设方程）所设方程故所求双曲线方程为故所求双曲线方程为探究提高探究提高 待待定定系系数数法法是求是求曲曲线线方方程最常程最常用的方用的方法法之一之一.（1 1）与）与双曲双曲线线 有有共同共同渐渐近近线线的的双曲双曲线线方方程可程可表示为表示为（2 2）若）若双曲双曲线线的的渐渐近近线线方方程程是是y=x x,则则双曲双曲线线的方的方程可程可表示为表示为（3 3）与）与双曲双曲线线 共焦共焦点的点的双曲双曲线线方方程可程可表示为表示为（4）过两个）过两个已已知知点的点的双曲双曲线线的标准方的标准方程程表示为表示为（5）与）与椭圆椭圆 有有共同焦共同焦点的点的双曲双曲线线方方程程表示为表示为利用上述结论求关于利用上述结论求关于双曲双曲线线的标准方的标准方程程，可可简简化化解题过解题过程程，提提高解题高解题速速度度.知能迁移知能迁移2 2 根据下列条件，求双曲线的标准方程根据下列条件，求双曲线的标准方程.（1 1）与双曲线）与双曲线 有共同的渐近线，且过点有共同的渐近线，且过点（-3-3，2 2 ）；）；（2 2）与双曲线）与双曲线 有公共焦点，且过点有公共焦点，且过点（3 3 ，2 2）.解解 （1 1）设所求双曲线方程为）设所求双曲线方程为将点（将点（-3,2 -3,2 ）代入得）代入得所以双曲线方程为所以双曲线方程为(2)(2)设双曲线方程为设双曲线方程为由题意易求由题意易求c c=2 .=2 .又双曲线过点（又双曲线过点（3 3 ，2 2）,又又a a2 2+b b2 2=（2 2 ）2 2，a a2 2=12=12，b b2 2=8.=8.故所求双曲线的方程为故所求双曲线的方程为题型三题型三 双曲线的性质双曲线的性质【例例3 3】中心在原点，焦点在中心在原点，焦点在x x轴上的一椭圆与一轴上的一椭圆与一 双曲线有共同的焦点双曲线有共同的焦点F1 1，F2 2，且，且|F1 1F2 2|=2|=2 ，椭圆的长半轴与双曲线实半轴之差为椭圆的长半轴与双曲线实半轴之差为4 4，离心率，离心率 之比为之比为37.37.（1 1）求这两曲线方程；）求这两曲线方程；（2 2）若）若P P为这两曲线的一个交点为这两曲线的一个交点,求求coscosF1 1P PF2 2 的值的值.思维启迪思维启迪设椭圆设椭圆方方程程为为双曲双曲线线方方程程为为分分别别求求a a，b b，m m，n n的的值值利用利用椭圆椭圆与与双曲双曲线线定定义及义及余弦余弦定定理求得理求得c cos F1 1P PF2 2解解 （1 1）由已知：）由已知：c c=,=,设椭圆长、短半轴长分设椭圆长、短半轴长分别为别为a a、b b，双曲线实半轴、虚半轴长分别为，双曲线实半轴、虚半轴长分别为m m、n n，解得解得a a=7,=7,m m=3.=3.b b=6=6，n n=2.=2.椭圆方程为椭圆方程为 双曲线方程为双曲线方程为（2 2）不妨设）不妨设F1 1、F2 2分别为左、右焦点，分别为左、右焦点，P P是第一象是第一象限的一个交点，则限的一个交点，则|P PF1 1|+|+|P PF2 2|=14|=14，|P PF1 1|-|-|P PF2 2|=6,