18.2 18.2 特殊的平行四边形特殊的平行四边形18.2.318.2.3正方形正方形 正方形的性质正方形的性质 除了矩形和菱形外，还有什么特殊的平行四边形呢？除了矩形和菱形外，还有什么特殊的平行四边形呢？正方形正方形怎样研究这类图形？怎样研究这类图形？想一想我们是怎样研究矩形和菱形的想一想我们是怎样研究矩形和菱形的.导入新知导入新知平行四边形平行四边形情境一：情境一：观察体会观察体会探究新知探究新知知识点 1正方形的定义正方形的定义正方形的定义正方形的定义探究新知探究新知探究新知探究新知有一个直角有一个直角探究新知探究新知有一个直角有一个直角矩形矩形探究新知探究新知有一个直角有一个直角矩形矩形探究新知探究新知有一个直角有一个直角一组邻边相等一组邻边相等矩形矩形菱形菱形探究新知探究新知有一个直角有一个直角一组邻边相等一组邻边相等矩形矩形菱形菱形平行四边形平行四边形探究新知探究新知有一个直角有一个直角一组邻边相等一组邻边相等矩形矩形菱形菱形平行四边形平行四边形探究新知探究新知有一个直角有一个直角一组邻边相等一组邻边相等矩形矩形菱形菱形平行四边形平行四边形探究新知探究新知有一个直角有一个直角一组邻边相等一组邻边相等矩形矩形菱形菱形一组邻边相等一组邻边相等平行四边形平行四边形探究新知探究新知有一个直角有一个直角一组邻边相等一组邻边相等矩形矩形菱形菱形一组邻边相等一组邻边相等平行四边形平行四边形探究新知探究新知有一个直角有一个直角一组邻边相等一组邻边相等矩形矩形菱形菱形一组邻边相等一组邻边相等有一个直角有一个直角正方形正方形平行四边形平行四边形 你能给正方形下你能给正方形下一个定义吗？一个定义吗？探究新知探究新知问题问题1 1：图中：图中CDCD在平移时，这个图形始终是怎样的图形？在平移时，这个图形始终是怎样的图形？问题问题2 2：当：当CDCD移动到移动到C C D D 位置，此时位置，此时ADAD ABAB，四边形，四边形ABCDABCD还是矩形吗？还是矩形吗？ABCDABC D 正方形是特殊的矩形正方形是特殊的矩形情景二：两组互相垂直的平行线围成矩形情景二：两组互相垂直的平行线围成矩形ABCDABCD探究新知探究新知矩矩 形形正方形正方形【思考思考】1.探究新知探究新知矩形一组邻边相等时变成怎样的图形呢矩形一组邻边相等时变成怎样的图形呢?菱 形正方形正方形【思考思考】2.菱菱形有一个角是形有一个角是直角时变成怎直角时变成怎样的图形呢样的图形呢?探究新知探究新知小结：小结：矩矩 形形正方形正方形邻边邻边相等相等发现：发现：一组邻边相等的矩一组邻边相等的矩形叫正方形形叫正方形.菱菱 形形一个角一个角是直角是直角正方形正方形发现：发现：一个角为直角的一个角为直角的菱形叫正方形菱形叫正方形.如何来给正方形下定义？如何来给正方形下定义？探究新知探究新知有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫正方形有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫正方形.请同学们拿出准备好的正方形纸片请同学们拿出准备好的正方形纸片,折一折折一折,观察并思考观察并思考.正方形是不是轴对称图形正方形是不是轴对称图形?如果是如果是,那么对称轴有几条那么对称轴有几条?对称性：对称性：.对称轴：对称轴：.轴对称图形轴对称图形4条条ABCD探究新知探究新知知识点 2正方形的性质正方形的性质正方形的性质正方形的性质总结：平行四边形、矩形、菱形、正方形的对称性总结：平行四边形、矩形、菱形、正方形的对称性平行四平行四边形边形 中心对称图形中心对称图形（对角线的交点）（对角线的交点）即是中心对称图形，即是中心对称图形，又是轴对称图形（两条）又是轴对称图形（两条）即是中心对称图形，即是中心对称图形，又是轴对称图形（两条）又是轴对称图形（两条）即是中心对称图形，即是中心对称图形，又是轴对称图形（四条）又是轴对称图形（四条）探究新知探究新知矩形矩形菱形菱形正方形正方形有一个角有一个角是直角是直角有一组邻有一组邻边相等边相等有一组邻有一组邻边相等边相等有一个角是有一个角是直角直角有一组邻边相等且有一组邻边相等且有一个角是直角有一个角是直角(1)(1)(2)(2)(3)(3)(4)(4)探究新知探究新知平行四平行四边形边形平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系：平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系：矩形矩形菱形菱形正方形正方形矩形矩形菱形菱形正方形平行四边形平行四边形 正方形是特殊的平行四边形正方形是特殊的平行四边形,也是特殊的矩形也是特殊的矩形,也是特殊的也是特殊的菱形菱形.所以矩形、菱形有的性质所以矩形、菱形有的性质,正方形都有正方形都有.平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系：平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系：探究新知探究新知性质：性质：1.1.正方形的四个角都是直角正方形的四个角都是直角,四条边相等四条边相等.2.2.正方形的对角线相等且互相垂直平分正方形的对角线相等且互相垂直平分.已知：如图已知：如图,四边形四边形ABCDABCD是正方形是正方形.求证：正方形求证：正方形ABCDABCD四边都相等四边都相等,四个角都是直角四个角都是直角.ABCD证明：证明：四边形四边形ABCDABCD是正方形是正方形.A=90,AB=BC A=90,AB=BC（正方形的定义）（正方形的定义）.又又正方形是平行四边形正方形是平行四边形.正方形是矩形（矩形的定义）正方形是矩形（矩形的定义）,正方形是菱形正方形是菱形(菱形的定义菱形的定义).).A=B=C=D=90,A=B=C=D=90,AB=BC=CD=AD.AB=BC=CD=AD.探究新知探究新知已知：如图已知：如图,四边形四边形ABCDABCD是正方形是正方形.对角线对角线ACAC、BDBD相交于点相交于点O.O.求证：求证：AO=BO=CO=DO,ACBD.AO=BO=CO=DO,ACBD.ABCDO证明：证明：正方形正方形ABCDABCD是矩形是矩形,AO=BO=CO=DO.AO=BO=CO=DO.正方形正方形ABCDABCD是菱形是菱形.ACBD.ACBD.探究新知探究新知例例1 1 求证求证:正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形等腰直角三角形.ADCBO已知已知:如图如图,四边形四边形ABCDABCD是正方形是正方形,对角线对角线ACAC、BDBD相交于点相交于点O.O.求证求证:ABO:ABO、BCOBCO、CDOCDO、DAODAO是全等的等腰直角三角形是全等的等腰直角三角形.证明证明:四边形四边形ABCDABCD是正方形是正方形,AC=BD,ACBD,AO=BO=CO=DO.AC=BD,ACBD,AO=BO=CO=DO.ABO ABO、BCOBCO、CDOCDO、DAODAO都都是等腰直角三角形是等腰直角三角形,并且并且ABO BCO CDO DAO.ABO BCO CDO DAO.素素养养考考点点 1探究新知探究新知利用正方形的性质求线段相等利用正方形的性质求线段相等1.已知正方形已知正方形ABCD，若，若E为对角线上一点，连接为对角线上一点，连接EA、EC.EA=EC吗？说说你的理由吗？说说你的理由.EABCD12？巩固练习巩固练习解：解：EA=EC.EA=EC.理由如下：理由如下：四边形四边形ABCDABCD是正方形，是正方形，AB=BCAB=BC，1=2=451=2=45，又又BE=BEBE=BEABECBEABECBEAE=CE.AE=CE.例例2 2 如图，在正方形如图，在正方形ABCDABCD中，中，BECBEC是等边三角形，是等边三角形，求证：求证：EADEADEDAEDA15.15.证明：证明：BECBEC是等边三角形，是等边三角形，BE=CE=BC,EBC=ECB=60BE=CE=BC,EBC=ECB=60，四边形四边形ABCDABCD是正方形，是正方形，AB=BC=CD,ABC=DCB=90AB=BC=CD,ABC=DCB=90，AB=BE=CE=CD,ABE=DCE=30AB=BE=CE=CD,ABE=DCE=30，ABEABE，DCEDCE是等腰三角形，是等腰三角形，BAE=BEA=CDE=CED=75BAE=BEA=CDE=CED=75，EAD=EDA=90-75=15.EAD=EDA=90-75=15.探究新知探究新知素素养养考考点点 2利用正方形的性质求角度利用正方形的性质求角度2.已知：如图，在正方形已知：如图，在正方形ABCD中，中，F为为CD延长线上一点，延长线上一点，CEAF于于E，交，交AD于于M，求证：求证：MFD45证明：证明：CEAFCEAF，ADCADCAEMAEM9090 又又CMDCMDAMEAME，1 12 2 又又CDCDADAD，ADFADFMDCMDC RtCDMRtADFRtCDMRtADF(ASA)(ASA)DM=DF.DM=DF.DMF=DFM DMF=DFM ADF=90 ADF=90，MFD=45.MFD=45.巩固练习巩固练习例例3 3 如图四边形如图四边形ABCDABCD和和DEFGDEFG都是正方形，都是正方形，试说明试说明AE=CG.AE=CG.解：解：四边形四边形ABCD是正方形是正方形AD=CD又又四边形四边形DEFGDEFG也是正方形也是正方形DE=DG又又正方形的每个内角为正方形的每个内角为9090ADEEDCCDGEDC，ADECDGAEDCGD.AE=CGABCDEFG素素养养考考点点 3利用正方形的性质求线段相等利用正方形的性质求线段相等探究新知探究新知3.已知：如图，点已知：如图，点E是正方形是正方形ABCD的边的边CD上一点，点上一点，点F是是CB的延长线上一点，且的延长线上一点，且DE=BF求证：（求证：（1）AE=AF；（；（2）EAAF123巩固练习巩固练习证明：（证明：（1 1）ABCDABCD是正方形是正方形AD=ABAD=AB，ADE=ABF=90ADE=ABF=90在在ABFABF与与ADEADE中，中，AD=AB,AD=AB,ADE=ABF=90ADE=ABF=90，DE=BFDE=BF ABFADE ABFADE（SASSAS）AE=AF,1=3AE=AF,1=3（2 2）2+3=90 2+3=90 1+2=90 1+2=90，EAFA EAFA（2018吉林）如图，在正方形吉林）如图，在正方形ABCD中，点中，点E，F分别在分别在BC，CD上，且上，且BE=CF，求证：，求证：ABEBCF巩固练习巩固练习连连 接接 中中 考考证明：证明：四边形四边形ABCDABCD是正方形，是正方形，AB=BCAB=BC，ABE=BCF=90ABE=BCF=90，在在ABEABE和和BCFBCF中，中，ABEBCFABEBCFAB=BCABE=BCFBE=CFADBCEF1.正方形具有而矩形不一定具有的性质是正方形具有而矩形不一定具有的性质是()A.四个角相等四个角相等 B.对角线互相垂直平分对角线互相垂直平分 C.对角互补对角互补 D.对角线相等对角线相等2.正方形具有而菱形不一定具有的性质（正方形具有而菱形不一定具有的性质（）A.四条边相等四条边相等 B.对角线互相垂直平分对角线互相垂直平分 C.对角线平分一组对角对角线平分一组对角 D.对角线相等对角线相等BD课堂检测课堂检测基基 础础 巩巩 固固 题题3在正方形在正方形ABC中中,ADB=,DAC=,BOC=.4.在正方形在正方形ABCD中，中，E是对角线是对角线AC上一点，且上一点，且AE=AB，则，则EBC的度数是的度数是.ADBCOADBCOE459022.5第第3题图题图第第4题图题图45课堂检测课堂检测基基 础础 巩巩 固固 题题5.如图，四边形如图，四边形ABCD是正方形，对角线是正方形，对角线AC与与BD相交于点相交于点O，AO2，求正方形的周长与面积，求正方形的周长与面积四边形四边形ABCDABCD是正方形，是正方形，ACBDACBD，OAOAODOD2.2.。