2023届高三数学小题狂练——平面向量的线性运算2（含解析）

一、单选题 1．已知向量，，则“存在实数，使得”是“，共线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．设，是平面内两个不共线的向量，，，若A，B，C三点共线，则的最小值是（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 3．已知G是△ABC重心，若，，则的值为（      ） A．4 B．1 C． D．2 4．在中，点D满足，点E为线段的中点，则向量（    ） A． B． C． D． 5．已知为的重心，记，，则（    ） A． B． C． D． 6．已知点E是的中线上的一点（不包括端点）．若，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．9 7．过双曲线的右焦点作轴的垂线，与双曲线及其一条渐近线在第一象限分别交于两点，且为坐标原点），则该双曲线的离心率是(    ) A．2. B． C． D． 8．如图，在矩形ABCD中，O，F分别为CD，AB的中点，在下列选项中，使得点P位于内部（不含边界）的是（    ） A． B． C． D． 9．四边形为菱形，，，是菱形所在平面的任意一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 10．设，是平面内两个不共线的向量，，，，若A，B，C三点共线，则的最小值是（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 11．若向量（O，A，B，C互不重合），则（    ） A．2 B． C． D．3 12．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且，则（    ） A． B． C． D． 13．在矩形中，是的中点，是上靠近的三等分点，则向量=（    ） A． B． C． D． 14．如图，向量（    ） A． B． C． D． 15．由两个边长为的等边三角形构成的菱形ABCD中（BD为两个等边三角形的公共边），若点Q满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 16．下列关于平面向量的说法正确的是（    ） A．若共线，则点A，B，C，D必在同一直线上 B．若且，则 C．若G为的外心，则 D．若O为的垂心，则 17．已知是平面内不共线的三点，点满足为实常数，现有下述两个命题：（1）当时，满足条件的点存在且是唯一的；（2）当时，满足条件的点不存在.则说法正确的一项是（    ） A．命题（1）和（2）均为真命题 B．命题（1）为真命题，命题（2）为假命题 C．命题（1）和（2）均为假命题 D．命题（1）为假命题，命题（2）为真命题 18．已知向量和，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 二、填空题 19．已知非零向量不共线，若，，，且，，三点共线，则___________. 20．已知中，边上的高为2，H为上一动点，满足，则的最小值是__________． 21．已知向量，，若，则实数___________. 22．在等边△ABC中，，，则______． 23．在正三角形ABC中，D是边BC上的点．若，则 ___________． 24．在等边中，为边上的点且满足，且交于点，且交于点，若，则的值是___________. 25．已知点D为△ABC的边BC的中点，，，，，的夹角为，则______． 26．已知是边长为1的等边三角形，设向量满足，则__________． 试卷第3页，共4页 参考答案： 1．A 【分析】根据∥，则，使得，结合充分、必要条件判定． 【详解】由存在实数，使得，可得共线； 但当时，共线，此时不一定存在实数，使得． 故选：A． 2．A 【分析】先利用A，B，C三点共线，得到的关系式，再利用“1”的代换去求的最小值 【详解】，是平面内两个不共线的向量， ，， 由A，B，C三点共线，则，则 则有，则有 则 （当且仅当时等号成立） 故选：A 3．D 【分析】延长交于，则可得为的中点，再将用表示，然后求两向量的数量积，化简可求得答案 【详解】延长交于， 因为G是△ABC重心，所以为的中点， 所以， 因为, 所以, 故选：D 4．D 【分析】利用几何图形中各线段所代表的的向量，结合向量线性运算的几何关系，即可确定之间的线性关系. 【详解】 由E为线段的中点，则，又D满足， ∴， ∴. 故选：D. 5．A 【分析】因为为的重心，所以，表示出，则，代入即可得出答案. 【详解】因为为的重心，所以，所以，而. 故选：A. 6．C 【分析】先根据向量共线可知，表达出和的关系式后利用基本不等式的代“1”法解基本不等式即可. 【详解】解：由题意得： 点E是的中线上的一点（不包括端点）,则由共线向量定理可知： 设 当且仅当，即时取等号，故的最小值为. 故选：C 7．D 【分析】由题设条件求出点A，B的坐标，再由给定的向量等式建立关于a，b，c的关系式而得解. 【详解】设双曲线的半焦距为，由得到，由得到， 而，，即点A是线段FB的中点， 所以，所以. 故选：D 8．D 【分析】根据平面向量的线性运算依次判断选项即可. 【详解】在A选项中，的终点即为点F； 在B选项中，的终点在线段OF的右侧； 在C选项中，的终点在线段OA的左侧； 在D选项中，， 其终点位于内部． 故选：D 9．B 【分析】根据题意求得，连接和交于点，得到，，结合向量的数量积的运算公式，即可求解. 【详解】由题意，四边形为菱形，，可得， 在中，由余弦定理得到， 连接和交于点，则点为的中点， 连接，，，则，， 所以． 故选：B. 10．A 【分析】根据向量共线定理得到，再根据基本不等式可求出结果. 【详解】因为A，B，C三点共线，所以向量、共线， 所以存在，使得，即， 即， 因为、不共线，所以，消去，得， 因为，，所以，当且仅当，时，等号成立. 故选：A 11．D 【分析】由向量线性运算得出的关系，再由数乘的定义得结论． 【详解】，即，因为，所以， ． 故选：D． 12．C 【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得； 【详解】解：因为，所以， 所以. 故选：C. 13．B 【分析】根据平面向量的线性运算法则，准确化简，即可求解. 【详解】如图所示，根据平面向量的运算法则，可得 .   故选：B． 14．D 【分析】由图可得，，然后可得答案. 【详解】由图可得， 所以 故选：D 15．B 【分析】根据平面向量数量积的运算性质，结合平面向量减法的运算法则、圆的性质进行求解即可. 【详解】， 所以.故. 所以点Q在以点D为圆心，9为半径的圆上，又，所以 的最大值为；的最小值为， 故选：B. 16．D 【分析】A向量共线知向量所在直线平行或共线；B由零向量与任意向量都平行；C由向量相加不可能等于标量；D利用向量减法的几何含义，结合垂心的性质，即可判断各选项的正误. 【详解】A：若共线，则A，B，C，D在同一直线上或，错误； B：若为零向量，由任意向量都与零向量平行知，此时不一定平行，错误； C：若G为的外心，有，且不可能等于标量0，错误； D：O为的垂心，由，又，所以，同理有，，即有，正确. 故选：D. 17．A 【分析】时，题干条件变形得到，由向量基本定理得到满足条件的点存在且是唯一；当时，条件变形得到，得到三点共线，与已知矛盾，故（2）为真命题. 【详解】当时，， 所以， 所以， 因为不共线，由向量的基本定理得：满足条件的点存在且是唯一，①正确； 当时，，即，所以∥， 因为，有公共点，所以三点共线， 这与题干条件是平面内不共线的三点相矛盾，故满足条件的点不存在， （2）为真命题. 故选：A 18．C 【分析】从充分性和必要性的角度，结合题意，即可判断和选择. 【详解】显然当时，成立，满足必要性； 当成立，若向量和其中有一个为零向量满足题意， 此时和不一定相等，充分性不满足； 故“”是“”的必要不充分条件. 故选：C． 19． 【分析】根据三点共线，则对应向量共线，则存在非零实数，使得，即可求得参数. 【详解】因为，，三点共线，故可得//， 则存在非零实数，使得， 又，， 故可得，又非零向量不共线， 故可得，解得. 故答案为：. 20．8 【分析】利用共点的三个向量，终点共线的充要条件得，再用直角三角形边角关系化角为边，最后借助“1”的妙用即可得解. 【详解】因为，H为上一动点，即B，H，C三点共线， 由共点的三个向量，终点共线的充要条件得， 中，边上的高AD=2，如图： 令AB=c，AC=b，则，则， 所以，当且仅当时取“=”， 所以当时，取最小值8． 故答案为：8． 21．0 【分析】先求出的坐标，再利用向量共线的坐标形式可求的值. 【详解】, 因为，故，解得， 故答案为：0. 22． 【分析】根据已知条件，利用向量的线性运算求得，然后利用向量数量积的运算求得结论. 【详解】由得， 所以， ∴, 故答案为： 23．6 【分析】由题意可得D是BC的三等分点，从而可得，进而可求出的值， 【详解】因为正三角形ABC中，D是边BC上的点，， 所以D是BC的三等分点， 所以， 所以, 所以． 故答案为：6 24． 【分析】根据锐角三角函数定义、平行线的性质，结合平面共线的性质、平面向量减法的几何意义进行求解即可. 【详解】因为是等边三角形，所以，， 因为，所以， ， 因为，所以， ，代入可得， ， 所以， 故答案为：. 25． 【分析】根据向量加法的平行四边形法则可得，两边同时平方即可代入求模长. 【详解】因为，所以， 所以， 所以． 故答案为：. 26． 【分析】方法一：由题意可知，所以，由可得，再计算的值即可； 方法二：由计算即可. 【详解】法一，则，而， 两边平方，可得，， 所以． 故答案为：. 法二：因为， 所以． 故答案为：. 答案第11页，共12页