计信081《数值分析》试卷A及答案

题：答号序准：名不姓内：级班线业专订：系装院数值分析考试试卷 A适用专业：计信 081考试日期：2021 年 6 月试卷所需时间：2 小时闭卷试卷总分100一、一、填填空题：空题：（6 小题共 10 空每空 2 分，共 20 分）1、近似数x 0.231关于精确值x 0.229有位有效数字.线32、设f(x)xx 1，则差商（均差）f0,1,2,3 _,f0,1,2,3,4_.4、求方程xf(x)根的牛顿迭代格式是 .5、设矩阵A1 234，计算矩阵A 的各种范数，A1 _,A _，AF _,A2 _.6、解线性方程组 Ax=b 的雅可比迭代法收敛的充要条件是，其中迭代矩阵为.订二、判断题二、判断题：（对的打“”，错的打“”，每题 2 分，共 20 分）1、解对数据的微小变化高度敏感是病态的().2、高精度运算可以改善问题的病态性().3、两个相近数相减必然会使有效数字损失().4、对给定的数据作插值，插值函数的个数可以有许多().5、高次拉格朗日插值是常用的().6、如果被积函数在区间a,b上连续，则它的黎曼积分一定存在().7、n+1 个点的插值型求积公式的代数精度至少是 n 次，最多可达到 2n+1 次().装8、范数为零的矩阵一定是零矩阵().9、奇异矩阵的范数一定是零().10、雅可比迭代也高斯塞德尔迭代同时收敛且后者比前者收敛快().三、三、（1010 分）分）已给 sin0.32=0.314 567，sin0.34=0.333 487,sin0.36=0.352 274,用线性插值及抛物插值计算 sin0.3367 的值并估计截断误差.四、四、（1010 分）分）求次数小于等于 3 的多项式 P(x)，使其满足条件 P(0)=0，P(0)=1,P(1)=1,P(1)=2.五、五、（1010 分）分）确定求积公式hhf(x)dxA1f(h)A0f(0)A1f(h)中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指明说构造出的求积公式具有的代数精度.六、六、（1010 分）分）用直接三角分解（Doolittle 分解）求线性方程组14x115x21x3 961x3114x215x3 81x21x2 2x3 8七、七、（1010 分）分）设线性方程组x1 0.4x2 0.4x3 10.4x1x2 0.8x3 20.4x1 0.8x2x3 3考察解此线性方程组的雅可比迭代及高斯塞德尔迭代法的收敛性.八、八、（1010 分）分）求方程x3x2 1 0在x0 1.5附近的一个根，设将方程改写成下列等价形式，并建立相应的迭代公式.（1）x 1 11x2，迭代公式xk1 1 x2；k（2）x3x2 1，迭代公式xk31x2k 1；（3）x21x，迭代公式xk11 1xk 1；试分析每种迭代公式的收敛性.1题：答号序准：名不姓内：级班线业专订：系装院数值分析试卷 A 答案10、雅可比迭代也高斯塞德尔迭代同时收敛且后者比前者收敛快().适用专业：计信 081考试日期：2021 年 6 月三、三、（1010 分）分）已给 sin0.32=0.314 567，sin0.34=0.333 487,sin0.36=0.352 274,用试卷所需时间：2 小时闭卷试卷总分100线性插值 及抛物插值计算 sin0.3367 的值并估计截断误差.一、填空题：一、填空题：（6 小题共 10 空每空 2 分，共 20 分）解：用线性插值计算：sin 0.3367 Ly1y01(0.3367)y0 xx(0.3367 x0)1、近似数x 0.231关于真值x 0.229有 2位有效数字.10线2、设f(x)x3x1，则差商（均差）f0,1,2,3 _,f0,1,2,3,4_.(1,0)0.314567 0.018920.02 0.0167 0.3303654、求方程xf(x)根的牛顿迭代格式是 .(xxxnf(xn)截断误差：R)sin 0.3367 Ln1n1(0.33671(0.3367)0.92 105.1 f(x)n)用抛物插值计算：Sin0.3367=0.330 374；5、设矩阵A1 234，计算矩阵A 的各种范数，A1 _,A _，误差：R12(0.3367)0.9493 0.0167 0.033 0.0233 2.0132 1066AF _,A2 _.(6;7;5.477;5.46)6、解线性方程组 Ax=b 的雅可比迭代法收敛的充要条件是四四、（1010 分分）求次数小于等于 3 的多项式 P(x)，使其满足条件 P(0)=0，其中迭代矩订阵为.（(J)1,JD1(LU),ADLU）P(0)=1,P(1)=1,P(1)=2.二、判断题二、判断题：（对的打“”，错的打“”，每题 2 分，共 20 分）解：本题是标准的埃尔米特插值问题，可直接套用公式，利用两点的埃尔米1、解对数据的微小变化高度敏感是病态的().特插值公式，2、高精度运算可以改善问题的病态性().1(x)(1 2xx1xx)(xx0)2x2(3 2x),01x1x03、两个相近数相减必然会使有效数字损失().xx10(x)(xx0)()2x(x 1)2x,0 x14、对给定的数据作插值，插值函数的个数可以有许多().x01(x)(xx1)(xx)2(x 1)x2,5、高次拉格朗日插值是常用的().1x0装P(x)x2(3 2x)x(x 1)2 2x2(x 1)x3x2x6、如果被积函数在区间a,b上连续，则它的黎曼积分一定存在().五、五、（1010 分）分）确定求积公式hhf(x)dxA1f(h)A0f(0)A1f(h)中的待定参数，7、n+1个点的插值型求积公式的代数精度至少是n次，最多可达到2n+1次().使其代数精度尽量高，并指明说构造出的求积公式具有的代数精度.8、范数为零的矩阵一定是零矩阵().解：hhhf(x)dx3f(h)4h3f(0)h3f(h)9、奇异矩阵的范数一定是零().具有 3 次代数精度.2六、六、（1010 分）分）用直接三角分解（Doolittle 分解）求线性方程组1114x15x2x3 961x11314x25x3 81x21x2 2x3 8解：111 100A456LU410011,32 3616045 130015Lyby1 9,y24,y3154;Uxyx3177.69,x2 476.92,x1227.08七、七、（1010 分）分）设线性方程组x1 0.4x2 0.4x3 10.4x1x2 0.8x3 2，0.4x1 0.8x2x3 3考察解此线性方程组的雅可比迭代及高斯塞德尔迭代法的收敛性.解：（1）雅可比迭代法的迭代矩阵0 0.4 0.4BJD1(LU)0.40 0.8 0.4 0.80IB0.8)(2 0.8 0.32)J(BJ)1.0928203 1所以，雅可比迭代法不收敛.(2)高斯塞德尔迭代法的迭代矩阵0 0.4 0.4 Bs(DL)1U00.16 0.640 0.0320.672 所以，高斯赛德尔迭代法收敛.(Bs)B 0.8 1八、八、（1010 分）分）求方程x3x2 1 0在x0 1.5附近的一个根，设将方程改写成下列等价形式，并建立相应的迭代公式.（1）x 1 1x2，迭代公式xk1 1 1x2；k（2）x3x2 1，迭代公式xk31x2k 1；（3）x21x，迭代公式xk11 1xk 1；试分析每种迭代公式的收敛性.解：考虑x0 1.5的邻域1.3,1.6.(1)当x 1.3,1.6时，(x)1 1x2 1.3,1.6,，(x)22x31.32 0.910 L 1，故迭代x1k1 1 x2在1.3,1.6上整体收敛.k1(2)当x 1.3,1.6时，(x)(1 x2)3 1.3,1.6,，(x)2x21.6332.522L 1，故迭代xk1x2k1在1.3,1.6整体收敛(1x2)33(11.3)2 03(3)当x 1.3,1.6时，(x)1x 1.3,1.6,1，(x)1112(x 1)32(1.6 1)1，故迭代xk12xk 1在1.3,1.6上整体发散.3