2 0 2 2 届新高考数学精准冲刺复习平面向量【本节知识切片】模块题型拆分难度是否掌握-.平面向量的线性运算1.对向量定义的理解 V2.向量的线性运算 V3.利用向量的运算判断图形的形状 V二.平面向量的坐标运算及基本定理1.共线向量基本定理 V2.平面向量基本定理 V3.平面向量的坐标运算 X三.平面向量的数量积1.对数量积定义的认识 V2.数量积的模长与夹角 V3.平行与垂直问题 X4.数量积的几何意义 X四.平面向量的应用1.判断平面图形的形状及简单应用 V2.三角形中的四心问题 V3.平面向量中的最值与取值范围问题 V【本节考情分析】年份/考查形式月考期中期末高考、选择题2-31-21-2填空题111解答题平面向量是每年高考的必考的内容，一般考查数量积的运算及性质，难度不大，复习时重点关注常规概念、基本运算及性质，重点是数量积的运算及性质，难点是向量的线性运算及三角形中常见的四心的结论，另外向量经常会与其他知识作为一个载体出现各种题型均会出现，单独考查时一般出现在小题中，难度中低档，属于可得分点，与其他知识结合时会在解答题中出现，总约 占7%-10%o【教材正文】模块一平面向量的线性运算【知识点】1.向量的定义及模长Q）向 量 的 定 义 及 表 示 既 有 大 小 又 有 方 向 的 量 叫 做 向 量 以 力 为 起 点、8为 终 点 的 向 量 记 作 笳,也可用黑体的单个小写字母a,b,c,来 表 示 向 量.（2）向量的长度（模）：向 量 晶 的 大 小 即 向 量 录 的 长 度（模），记为|瓯.2.几种特殊向量名称定义备注零向量长 度 为0的向量零向量记作0,其方向是任意的单位向量长 度 等 于1个单位的向量单位 向 量 记 作I,还 言平行向量方 向 相 同 或 相 反 的 非 零 向 量（也叫共线向量）0与任意向量共线相等向量长度相等且方向相同的向量相 等 向 量 一 定 是 平 行 向 量，平行向量不一定是相等向量相反向量长度相等且方向相反的两个向量若3,占为相反向量，贝注：单 位 向 量 有 无 数 个，它 们 大 小 相 等，但 方 向 不 一 定 相 同；与 向 量”平 行 的 单 位 向 量 有 两 个,即 向 量 卷 和-prH kl【题 型 一：对向量定义的理解】例 1:关于零向量，下列说法中错误的是（)A.零向量是没有方向的B.零向量的长度为0C.零向量与任一向量平行D.零向量的方向是任意的【答案】A【解析】解：零向量的方向是任意的、其长度为0,与任意向量共线，因此8,C ,D ,正 确，A错 误.故 选：A.练习1:以下给出了 4个命题(1)两个长度相等的向量一定相等；(2)相等的向量起点必相同；(3)若a*b=ac，且&力。
则8=5;(4)若向量1的模小于B的 模，则&石.其中正确命题的个数共有()A.3个 B.2个 C.1个 D.0个【答案】D【解析】解：(1)长度相等方向相同的两个向量相等，故(1)错；(2)两个向量长度相等方向相同就相等，起点不一定相同；(3)a*b-a*c,JJI!|a|coa=|a|c|cos,故 得 出 方 不 正 确；(4)向量不能比较大小，因为向量既有大小又有方向，故 不 正 确.故 选：练习2.(多 选)下列命题不正确的是()A.同=同=6 B .|a|=a C.同=网=上/8 D.a=Oa=6【答案】A BC【解析】解：A不 对，因为这两个向量的模相等时，他们的方向不一定相同，故这两个向量不一定相等.8不 对，两个向量的模可以比较大小，但两个向量不能比较大小，因为还要考虑向量的方向.C不 对，两个向量的模相等，不能得出他们的方向相同或相反，因 此，不能的出两个向量共 线.正 确，因为当向量的模等于0时，此向量必定是零向量，其方向是任意的.故 选：A BC.【题型二：向量的线性运算】例题1.(2021.春海淀区期中)MB-BA+BO+OM=()A .AB B.BA C.MB D.BM答 案：A.解 析：因 为：M B-BA+BO+OM=OM+MB+BO-BA=AB,练习1.(2 0 2 1春凉山州期末)在平行四边形ABCD中，觉-/+而=()A .DB B.BD C.CA D.AC答 案：A.解 析：平行四边形 ABC。
中，D C-A C +AB=DC+CA+AB=DA+AB=DB,练习2.(2 0 2 1春大荔县期末)下列各式中不能化简为通的是()A .(A B-D C)-C B B.AD-(,CD+DC)C.-(B +MC)-(DA+BM)D.-BM -D A+MB答 案：O.解 析：A.AB-DC)-CB=AB+CD+BC)=AB+BD=A D，二 A 错 误；BAD-(CD+DC)=AD,.一 错 误；C X +MC)-(DA+BM)=CB+M C+Ab+M B=2MB+AD,正 确；D.BM-DA+MB=(BM+MB)+AD=AD,错 误.例题2.如图所小，向量月=6,A,B,C在一条直线上且43围,则（）A.c=-a+b B.c=a-b C.c=-a+2b D.c=a+2b2 2 2 2【答案】A【解析】解：由 AC=-3CB 彳 导 0 C-0/=-3(08-0C；),:.2OC=-OA+3OB,i 3S P 2c=-a+3b,c=一 一 日 十 二 5,故 选：A.2 2练习1.如图1,e；为互相垂直的单位向量，向量d+5+m可表示为()A.3q 2 e,B.3q 3 e,C.3q+2 e,D.2q+3 e)【答案】c【解 析】解：观 察 图 形 知：M =q+2，5=0-2/,c=e1+2e2,+Z?+c=(q+2e,)+(q 2e,)+(q+)=31+2.故 选：C.I Z I I I I_ _ 曰二_ _ I_练习2.已 知 是 AABC的 BC边上的中点，若向量A月=a,A C =b,则向量AM，等于()A.(a b)B.-(/?-)C.(a+b)D.(a+b)2 2 2 2【答案】C【解 析】解：根 据 平 行 四 边 形 法 则 以 及 平 行 四 边 形 的 性 质，有A M=-(AB +AC)=-(a+b).故 选：C .2 2【题型三：利用向量的运算判断图形的形状】咦例题1.设四边形 W)中，有 觉=!而且I 方|=|8Cj,则 这 个 四 边 形 是()2A.平行四边形 B.矩形 C.等腰梯形 D.菱形【答案】【解析】解：D C =-AB ,:.D C/AB ,且 DCxAB.又 I通 1=1.四边形为等腰2梯 形.故 选：C.练习1.在四边形A8CD中，AB =a+2 b,B C=-4d-b,CD =-5 a-3 b,其中 出不共线，则四边形钻 8是()A.梯形 B.矩形 C.菱形 D.正方形【答案】A【解析】解：A D =AB +B C +C D =a+2 h+-4a-b+-5 d-3 b=-Sa-2 b.B C=-4a-b A D =2 B C:.AD/B C,A D =2 B C,.四边形 A B S 是梯形，故 选：A.【小节回顾】模块题型拆分难度是否掌握-.平面向量的线性运算1.对向量定义的理解 V2.向量的线性运算 V3.利用向量的运算判断图形的形状 V教 师 建 议：模块二向量的坐标运算及基本定理【知识点】1.共线向量定理向量*可与B共 线，当且仅当有唯个 实 数4 ,使 得 后 力 只 有(*6)才 保 证 实 数2的存在性和唯一性.2.平面向量的基本定理：如 果、I是 同 一 平 面 内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一 向 量2，有且只有一对实数4、4，使2 =4 1+4，其 中，；、可是一组基底.3 .几 个 重 要 结 论：(1)若“、坂为不共线向量，则“+M a-B为 以*坂为邻边的平行四边形的对角线向量；(2)归+甲+|1 =2忖+时);若P为 线 段4 8的 中 点，。
为 平 面 内 任 一 点，则 而=；(丽+丽).(4 )=4访+/就,若 点4 8,C三 点 共 线，贝+=1 .:4.平面向量的坐标表示：基 底：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量：，j作为基底.!(2)坐 标：对于平面内的一个向量d,有且只有一对实数、y,使得”=,我们把有序实：数对(*,)，)叫做向量a的坐标，记作=(x,y)，其中x叫做向量“在x轴上的坐标，y叫做向量在.v轴上的坐标.;(3)坐标表示：3 =(x,y)就叫做向量的坐标表示.:(4)特殊向量的坐标：7=(1,0),J=(0,1),0 =(0,0)|5.平面向量的坐标运算(1)若d=(%,),t =(x2,y2)，贝!)万=(X2，%士力)；i (2 )若 A(0 x),B(x2,y2),则而=(%-yj；(3 )若d=(x,y),A.eR,则 发=(2 x,4 y).：8.向量平行的坐标表示(1 )如果2 =(药,乂),石=(%,%)(3 x0)，贝！I/：的充要条件为%-巧M=0 ；(2)三点 A(3,yJ ,B(x2,y2),三,外)共线的充要条件为(x2-芭)(.刃-乂)-(.七-)(%-%)=0 .【题型一：共线向量基本定理】例题1 .设=4 ,OB =b,O C =c，当 E=EC,若 而=,/=石 则 荏=（）1-1-2-1 -2-I-A.-a +b B.-a +-b C.a+b D.-a +b3 2 3 2 3 3【答 案】A【解析】解：回顾平面向量基本定理，强调基底(两个不共线向量)，平面上任意向量表示的 存 在 性 和 唯 一 性(有 且 仅 有).先 确 定 基 底，再 根 据 中 点 结 论 得 到通 前+!而，前+1(2福 尸)+上.2 2 2 2 3 3 2练习2.(2021春广东期中)在4 R。
所在平面内，是 3c延长线上一点且比 =4CD,E 是 AC的中点.设“=d,B C =b,则 加=()AA.2a_ 4 1h Bd .1 a_+5h r 1 r I 1rC.-a+-b D.a+b3 6 2 6 6 3 6 6答 案：B .解 析：因为B D =4CD ,所以3c=3 8 ,贝！1丽=反+丽 蓝+4比 (而+而)+4 而=，+*5.2 3 2 3 2 6【题型三：平面向量的坐标运算】例题 1 .若 d,是一组基底，向量斤=+.y/?(x,ye/?),则称(x,y)为向量y在基底心下的坐标，现已知向量a 在基底户=(1,T),4=(2,1)下的坐标为(-2,2),则无在另一组基底量=(-1,1),为=(1,2)下的坐标为()A.(2,0)B.(0,-2)C.(-2,0)D.(0,2)【答案】D【解析】解:由已知a=-2户+%=(-2,2)+(4,2)=(2,4),设2沆+=2(-1+,2)=(-2+,2+2)则由二，=历+2万，在基底论万下的坐标为(0,2).故X+2/z =4 =2选：.练习1.已知向量有,1),6=(0,-2).若实数A与向量c-满足值+力=布,贝心可以是()A.(M-l)B.(-1,-)C.(-,-1)D.(-1,6)【答案】D【解析】解:向量=(后 1),5=(0,-2).；25=(6,-3),若存在实数”与向量C满足1+沙=笈，设5=(?,)则5=(km,k)=(币,-3),可得 n=J?m再观察A、B、C、。
各项中的向量坐标，只有项满足=-后故 选：D.练习2.(2 0 2 1春温州期末)已知 =(0,1),6=(1,0),c=(2,4),则下列各组向量中，不可以作为平面内所有向量的一个基底的是()A.a,b-c B.a,b+c C.a,2b-c D.a,2b+c里 奈,C解 析:A:/?-c =(-l,-4),v0 x(-4)?f：l x(-l)，值与一5不共线，.A错 误，B:b+c=(3A),.,0 x(4)w lx 3，.二行与+1 不共线，.8错 误,C:2/?-c=(0,-4),.,0 x(-4)=0 xl,，与2 5-5共 线，.C正 确，2力+守=(4,4。