导数10+大题（单调性）中下4-2022年全国一卷新高考数学题型细分汇编

导数——大题——单调性4： 1. （2022年山东临沂J15）已知函数为常数，是自然对数的底数），曲线在点,处的切线与轴平行． （1）求的值； （2）求的单调区间；（ 【答案】（1）； （2）在递增，在递减； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）由题设求导函数，再由求参数k值. （2）由（1）得且，构造函数，结合导数研究的符号，进而求的单调区间. （3）由题设只需证在上恒成立，由（2）易得，再构造并应用导数判断的大小关系，即可证结论. 【小问1详解】 由题设，，， 又在,处的切线与轴平行，即， . 【小问2详解】 由（1）得：，， 令，， 当时，，当时，，又， 时，，时，， 在递增，在递减； 【小问3详解】 由，即，， ，， 由（2），对于，， ，， 时，递增，,时，递减， ，即， 设，则， 时，递增，即，则， 综上，，故，，得证． 【点睛】关键点点睛：第三问，应用分析法转化为证明在上恒成立，结合（2）中的单调性得到，再判断的大小关系. ）（单调性，易；第三问，未；） （3）设，其中为的导函数．证明：对任意，． 2. （2022年山东威海三模J27）已知函数． （1）当时，求的单调区间；（ 【答案】（1）的单增区间为；单减区间为， （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）首先求函数的导数，根据导数与函数单调性的关系，即可求解； （2）若选①，不等式转化为证明，变形为证明，通过构造函数，即可证明； 若选②，首先根据函数有两个极值点，证得，，再变换为，通过构造函数，利用导数，即可证明. 【小问1详解】 ， 当时，， 令，解得；令，解得或， 所以的单增区间为；单减区间为，． 【小问2详解】 证明①：由题意知，是的两根，则， ， 将代入得，， 要证明， 只需证明， 即， 因为，所以， 只需证明， 令，则，只需证明，即， 令， ， 所以在上单调递减，可得， 所以， 综上可知，． 证明②： 设， 因为有两个极值点，所以， 解得， 因为， 所以， ， 由题意可知， 可得代入得，， 令， ， 当，所以在上单调递减， 当，所以在上单调速增， 因为，所以， 由， 可得，所以， 所以， 所以，即． ）（单调性，中下；第二问，未；） （2）若有两个极值点，且，从下面两个结论中选一个证明． ①； ②． 3. （2022年山东济宁三模J42）已知函数，. （1）当时，证明：；（ 【答案】（1）证明见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）构造函数，证得即可； （2）根据零点存在性定理结合导函数与单调性、最值等关系进行判定. 小问1详解】 证明：当时，设，，由，，可得在单调递减，在单调递增，所以，则，即； 【小问2详解】 函数，，若函数在内有零点，则函数在内至少有两个极值点，即在内至少有两个变号零点.，等价于在内至少有两个变号零点，，，当或时，或恒成立，则在上单调，不合题意；当时，由，，可得在单调递减，在上单调递增，所以当时，在内有两个变号零点且最多两个，即，令，，设，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以，即在上恒成立，所以.此时即有两个零点，设为，当和时，，单调递增，当时，，单调递减，所以，，则在上有零点，综上可得：. 【点睛】函数零点的求解与判断方法： (1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点． (2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点． (3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点． ） （2）若函数在内有零点，求实数的取值范围. （单调性，最值，中下；第二问，未；） 4. （2022年山东实验中学J46）已知函数. (1)求函数的单调区间；（ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）对函数求导，求增区间需要导函数大于等于0，求减区间需要导函数小于等于0，分别解不等式即可；（2）令，要使恒成立，只需当时，，对该函数求导，分类讨论研究函数单调性，进而得到结果；（3）求出函数过点的切线方程，各切点的横坐标满足，为函数和的交点的横坐标，这两个函数图像均关于点对称，则它们交点的横坐标也关于对称，从而所作的所有切线的切点的横坐标构成数列的项也关于成对出现，从而根据对称性得出结果. (1) ∵， 增区间应满足：， 减区间应该满足：， ∴的增区间为； 减区间为. (2) 令 要使恒成立，只需当时，， ∵ 令，则对恒成立， ∴在上是增函数，则， ①当时，恒成立，在上为增函数， ∴，∴满足题意； ②当时，在上有实根，在上是增函数， 则当时，，∴不符合题意； ③当时，恒成立，在上为减函数， ∴不符合题意，∴，即. (3) ∵∴， 设切点坐标为，则切线斜率为， 从而切线方程为， ∴， 令，，这两个函数的图象均关于点对称， 则它们交点的横坐标也关于对称， 从而所作的所有切线的切点的横坐标构成数列的项也关于成对出现， 又在共有1008对，每对和为. ∴. ） (2)如果对于任意的，恒成立，求实数的取值范围； (3)设函数.过点作函数的图象的所有切线，令各切点的横坐标构成数列，求数列的所有项之和S的值. （单调性，中下；第二问，未；） 1. （2022年广东韶关二模J06）(本小题满分12分) 已知f(x)=ex． (1)求证：当x>0时， fx>1+x+x22;（ ） (2)若不等式fx≥2xlnx+mx+1，（其中m∈R）恒成立时，实数m的取值范围为(-∞，t]， 求证：t>2320．（单调性，最值，切线放缩，中下；第二问，未；） 第 12 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司