江苏省南京市高二上学期数学期中考试试卷附答案

高二上学期高二上学期数数学期中考学期中考试试试试卷卷 一、一、单选题单选题 1．直线的倾斜角是（） A．B．C．D． 2．在平面直角坐标系中，双曲线的渐近线方程为（） A．B．C．D． 3．已知向量 ，满足，，且 与的夹角为，则的值为（） A．B．1C．D．2 4．在平面直角坐标系中，点关于直线的对称点为（） A．B．C．D． 5．在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，点在抛物线上，则的长为（） A．2B．3C．4D．5 6．平面直角坐标系中，为圆：上的动点，过点引圆：的切 线，切点为，则满足的点有（） A．4 个B．3 个C．2 个D．1 个 7．已知 A，B，C，D 是球表面上的四点，其中，，若点到平面距离的最大 值为 3，则球的表面积为（） A．B．C．D． 8．哥特式建筑是 1140 年左右产生于法国的欧洲建筑风格，它的特点是尖塔高耸、尖形拱门、大窗户及绘有故 事的花窗玻璃，如图所示的几何图形，在哥特式建筑的尖形拱门与大窗户中较为常见，它是由线段 AB 和两个 圆弧 AC，弧 BC 围成，其中一个圆弧的圆心为 A，另一个圆弧的圆心为 B，圆与线段 AB 及两个圆弧均相 切，则 tan∠AOB 的值是（） A．B．C．D． 二、多二、多选题选题 9．已知复数，其中 为虚数单位，则（） A．B． C． 的共轭复数为D． 的虚部为 1 10.抛掷一颗骰子，将“结果向上的点数大于 3”记为事件，“结果向上的点数小于 4”记为事件 的点数是 3 的倍数”记为事件，则（） A.与对立B．与互斥 ，“结果向上 C．与相互独立D． 11．在平面直角坐标系中，圆经过点， ，则（） A．圆的半径大于 2 B.圆心不可能在第一象限 C.当圆心在 轴上时，圆的周长为 D.当圆心在第四象限时，圆截轴所得的弦长大于 8 12.在平面直角坐标系中，方程对应的曲线为，则（ A.曲线是封闭图形，其围成的面积大于 B.曲线关于原点中心对称 C.曲线上的点到原点距离的最小值为 ） D．曲线上的点到直线距离的最小值为 三、填空三、填空题题 13．200 辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示，则时速在的汽车大约有 辆. 14．已知，，则的值为 ． 15．在平面直角坐标系中，直线与曲线有两个不同的公共点，则实数的 取值范围是 ． 16．已知椭圆的两个焦点分别为，，点为椭圆上一点，且，，则椭 圆的离心率为 ． 四、解答四、解答题题  17．某位射击运动员射击 1 次，命中环数的概率如下表所示： 命中环数环6 环7 环8 环9 环10 环 概率0.050.10.150.250.30.15 （1）若规定射击 1 次，命中 8 环及以上为“成绩合格”，求该运动员射击 1 次“成绩合格”的概率； （2）假设该运动员每次射击互不影响，求该名运动员射击 2 次，共命中 18 环的概率． 18．在平面直角坐标系中，圆经过，，三点． （1）求圆的方程； （2）若经过点的直线 与圆相交于，两点，且，求直线 的方程． 19．在平面直角坐标系中，椭圆：的左顶点到右焦点的距离是 3，离心率为． 1求椭圆的标准方程； 2斜率为的直线 经过椭圆 的值． 20．如图，在四棱锥中， 的右焦点，且与椭圆相交于，两点．已知点，求 ． 1若，为的中点，求证： 2若是边长为 的正三角形，平面 平面； 平面，直线与平面所成角的正切值 为，且，求四棱锥的体积． 21．请在①，②，③这三个条件中任选一个，补 充在下面问题中，并作答． 在中，角，，的对边分别为 1若，求角； 2若是线段上一点， ， ， ， 记的面积为．已知 ，． ，且，求的值． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 22．在平面直角坐标系中，已知双曲线：的右焦点为，且经过点 ． 1求双曲线的标准方程； 2已知，是双曲线上关于原点对称的两点，垂直于的直线 与双曲线有且仅有一个公共点 ．当点位于第一象限，且被 轴分割为面积比为的两部分时，求直线 答案解析部答案解析部分分 的方程． 1． 【答案】C 【解析】【解答】解：直线的斜率为﹣，倾斜角是， 故选：C． 【分析】求出直线的斜率，即可得到直线的倾斜角． 2． 【答案】A 【解析】【解答】因为双曲线的方程为， 所以其渐近线方程为， 故答案为：A． 【分析】首先由双曲线的简单性质，计算出结果即可。 3． 【答案】B 【解析】【解答】由题意可知，，解得. 故答案为：B． 【分析】由已知条件结合数量积公式，代入数值计算出结果即可。 4． 【答案】B 【解析】【解答】设对称点为， 由题意可得，解得，即对称点为， 故答案为：B. 【分析】结合题意由点关于直线对称的性质，结合中点公式以及线线垂直的斜率之间的关系，代入数值计算  出 m、n 的取值，从而对称点的坐标。 5． 【答案】D 【解析】【解答】抛物线的焦半径求解，由题意可知，点在抛物线上， 则，解得，即，且， 所以. 故答案为：D． 【分析】由已知条件把点的坐标代入到抛物线上，整理化简计算出 m 的取值，由此得出点 P 的坐标，结合两 点间的距离公式计算出结果即可。 6． 【答案】C 【解析】【解答】由题意可设，由可得，即得到 ，化简为，即圆心为，半径为的圆，则 ，故圆与圆相交，故有 2 个交点，因此满足的点 P 有 2 个， 故答案为：C． 【分析】首先设出点的坐标，再由两点间的距离公式整理化简即可得出点 P 的轨迹方程，再由两点间的距离 公式，结合两圆的位置关系，计算出结果即可。 7 ． 【答案】C 【解析】【解答】由题意可设外接球的半径为 则，且满足 ， ，解得 的外接圆半径为 ， ， 所以球的表面积为， 故答案为：C． 【分析】由球的内结圆的几何性质，设出球和圆的半径结合勾股定理，计算出 R 的取值并代入到球的表面积 公式计算出结果即可。 8． 【答案】A 【解析】【解答】如图所示，过点作 设，圆的半径为 ，由题意知 ，交于点， ，，， 因为，得，解得， 因此， 故. 故答案为：A. 【分析】根据题意把数学问题转化为数学问题，并作出辅助线结合圆的几何性质由三角形中的几何计算关系 计算出半径，再由正切函数的定义以及二倍角的正切公式，代入数值计算出结果即可。 9． 【答案】B,C,D 【解析】【解答】由题意可知，， 对于 A，，A 不符合题意； 对于 B，，B 符合题意； 对于 C，的共轭复数为，C 符合题意； 对于 D， 的虚部为 1，D 符合题意； 故答案为：BCD． 【分析】由复数代数形式的运算性质整理化简，再由共轭复数以及向量模的定义即可得出答案。 10．【答案】A,C 【解析】【解答】独立事件、互斥事件的理解考查 由题意可知，事件 A 表示结果向上点数为 4，5，6； 事件表示结果向上点数为 1，2，3； 事件表示结果向上点数为 3，6； 对于 A，事件 A 与事件 B 对立，A 符合题意； 对于 B，事件与事件有相同的点数可能，不互斥，  B 不符合题意；意； 对于 C，，，，对于 B，因为点，点均满足方程，则可得到曲线关于原点中心对称，所以 B 符合题意； 可得， 则事件 A 与事件相互独立，C 符合题意； 对于 D，，D 不符合题意. 故答案为：AC． 【分析】根据题意由对立事件、互斥事件以及相互独立事件概率公式，由此对选项逐一判断即可得出答案。 11． 【答案】B,D 【解析】【解答】由题意可设，， 对于 A， 对于 B，的中垂线方程为 ，则圆的半径，A 不符合题意； ，可知该直线不过第一象限，且圆心 在该直线上，所以圆心 不可能在第一象限，B 符合题意； 对于 C，当圆心在轴上时，可令直线中的，解得，即，则 其半径为，所以周长为，C 不符合题意； 对于 D，因为直线过定点 截轴所得的弦长大于 8，D 符合题意； ，且圆心在第四象限，所以圆心的纵坐标小于-2，则圆 故答案为：BD． 1 4．【答案】 【分析】首先由两点间的距离公式计算出圆的半径，由此得出圆的标准方程，结合题意由圆心坐标计算出半 径的取值，从而得出圆的周长，同理由圆心位置结合圆的几何性质以及点到直线的距离公式，计算出弦长， 由此对选项逐一判断即可得出答案。 12． 【答案】A,B,D 【解析】【解答】对于 A，作出曲线的图象，即可判断为封闭图形，再作出 由图可知曲线围成的面积大于曲线围成的面积，且曲线 标为，与轴正半轴的交点坐标为，所以围成的面积为 的图象， 与 轴正半轴的交点坐 ，所以 A 符合题 对于 C，设曲线 E 上任意一点为，则其到原点的距离的平方为，且 ，即曲线上的点到原点距离的最小值为，C 不符 合题意； 对于 D，曲线上任意一点为，则其到直线距离为 ，D 符合题意； 故答案为：ABD 【分析】首先由绝对值的几何意义整理化简曲线的方程，然后作出图象结合面积公式计算出结果，再由点到 直线的距离公式即可得出最小值，由此对选项逐一判断即可得出答案。 13． 【答案】60 【解析】【解答】由已知可得样本容量为 200， 又数据落在区间的频率为 时速在的汽车大约有 故答案为：60 【分析】先求得区间的频率，由此求得时速在的汽车的数量. 【解析】【解答】由题意可知，因为，所以， 所以， 则 ．  故答案为：. 【分析】首先由 的取值范围即可得出的取值范围，结合正弦函数的单调性以及同角三角函数的基本关 系式计算出 cos的取值，并代入到两角和的正弦公式由此计算出结果即可。 15． 【答案】 【解析】【解答】由题意可知，曲线 则直线与曲线 表示圆心为，半径为 1 的圆的上半部分（含端点） ， 有两个不同的公共点时，且直线过定点， 可考虑临界状态，即直线与半圆相切时或直线经过点， 当过点时，，即， 当直线与圆相切时，，解得， 数形结合可知有两个不同的公共点时实数的取值范围为． 故答案为：. 【分析】根据题意整理化简曲线的方程，结合圆与直线的位置关系，由点到直线的距离公式代入计算出 m 的 取值，再由直线与圆的位置关系即可得出交点个数以及 m 的取值范围。 16． 【答案】 【解析】【解答】由题意可知，因为，所以， 又，所以， 则 ， 解得， 则在中，由正弦定理可得， ，则， 所以离心率 ． 故答案为：. 【分析】首先根据题意由同角三角函数的基本关系式，计算出三角函数值并代入到正弦定理，再由离心率公 式结合整体思想计算出结果即可。 17． 【答案】（1）解：记“运动员射击 1 次，成绩合格”为事件； 记“射击 1 次，命中 环”为事件， （，且） ， 则，且事件两两互斥． 由题意知，，，， 所以 ． 答：该名运动员射击 1 次，成绩合格的概率为 0.7． （2）解：记“该名运动员射击 2 次，共命中 18 环”为事件； 记“第一次射击，命中 环”为事件， （，且） ； “第二次射击，命中 环”为事件， （，且） ，则与 事件，，两两互斥，， 相互独立． 所以 ， 该名运动员射击 2 次，共命中 18 环的概率为 0.165．  【解析】【分析】(1)由已知条件结合互相独立以及互斥事件的概率公式，代入数值计算出结果即可。 (2)根据题意由概率乘法以及加法公式，结合已知条件计算出结果即可。 18． 【答案】（1）解：设圆方程为． 因为圆经过，，三点， 所以，解得． 所以圆方程为 （2）解：圆方程可化为 因为，设 ． ，所以圆的圆心为，半径为 5． 中点为，则，，从而． 即点到直线 的距离为． 直线 经过点． 当直线 与轴垂直时，直线 的方程为，点到直线 的距离为， 满足题意； 当直线 与轴不垂直时，设直线 的方程为，即． 所以，解得， 此时直线 的方程为． 因此，满足题意的直线 的方程为和． 【解析】【分析】(1)首先把点的坐标代入到圆的一般方程，由此计算出 D、E、F 的取值，从而得出圆的方程。 (2)根据题意把圆的方程化为标准式，由此得出圆心坐标以及半径再由点到直线的距离公式，对直线的斜率分 情况讨论即可计算出 k 的取值，从而得出直线的方程。 1 9．【答案】（1）解：因为椭圆的左顶点到右焦点的距离是 3，所以 又椭圆的离心率是，所以，解得，，从而 ． ． 所以椭圆的标准方程． （2）解：因为直线 的斜率为，且过右焦点，所以直线 的方程为． 联立直线 的方程与椭圆方程， 消去，得，其中． 设，，则，． 因为，所以 ． 因此的值是． 【解析】【分析】(1)根据题意由已知条件结合椭圆的简单性质计算出 a 与 c 的取值，再由椭圆的 a、b 、c 三 者的关系计算出 b 的取值，从而得出椭圆的方程。 (2)根据题意由点斜式设出直线的方程，再联立直线与椭圆的方程消元后得到关于 x 的方程，由韦达定理计算 出两根之和与两根之积，并代入到数量积的坐标公式计算出结果即可。 2 0．【答案】（1）证明：取中点，连接， 因为、分别为、的中点，所以，且 在底面中，因为，且，则 因此且，从而四边形是平行四边形，所以 又因为平面，平面，所以平面． （2）解：取中点，连、． 因为是正三角形，为中点，所以， ， 且， ． 因为平面平面，面平面，平面 所以平面，从而为直线与平面所成的角． ， 在正三角形中，因为，所以． 则在直角中，，所以．  在直角中，， 所以，因此． 四边形的面积． 又因为，所以四棱锥的体积． 【解析】【分析】(1)首先由中点的性质即可得出线线平行，由此得出四边形为平行四边形，从而得出线线平 行，然后由线面平行的判定定理即可得证出结论。 (2)根据题意作出辅助线由中点的性质即可得出线线垂直，然后由三角形的几何性质计算出边的大小，并代入 到四棱锥的体积公式，计算出结果即可。 2 1．【答案】（1）解：选① 在中，因为 由正弦定理 又因为，所以 ， ，得． ． 所以．因为，所以． 因为，所以． 因为，，由正弦定理，得，解得． 因为，所以角为锐角，故． 选② 在中，因为 由正弦定理 因为，所以 因为，所以 ，且，所以． ，得． ，所以． ，因此， 所以，则， 所以． 因为，，由正弦定理，得，解得． 因为，所以角为锐角，故． 选③ 在中，因为，由余弦定理，得， 所以． 又因为，所以． 因为，所以， 因为，，由正弦定理，得，解得． 因为，所以角为锐角，故 （2）解：解法一：因为 因为， ． ，故可设，． 所以，． 在中，由余弦定理，得， 解得，所以． 所以． 在中，因为，，， 所以，所以． 因此． 解法二：因为，故可设，．  因为，故在中，因为，， 所以，． 在中，因为，，，，， 由余弦定理，得，解得． 所以． 【解析】【分析】(1) 选① ，由已知条件结合正弦定理以及两角和的正弦公式整理化简，计算出 cosA 的值由 此得出交 A 的大小，再由同角三角函数的基本关系式计算出 sinA 的值，并代入到正弦定理计算出 sinB 的取值 从而得出角 A 的大小； 选② 由三角形内角和的性质结合正弦定理整理化简计算出，再由同角三 角函数的基本关系式以及二倍角的正弦公式计算出 sinB 的取值，从而得出角 B 的大小； 选③ 首先由余弦定 理整理化简已知条件再由同角三角函数的基本关系式，计算出 sinA 的取值并代入到正弦定理计算出 sinB 的取 值，从而得出角 B 的大小。 (2) 解法一 ：由线段成比例的性质即可得出线线垂直，结合诱导公式以及余弦定理整理化简计算出 m 的取 值，并代入到三角形的面积公式，由此计算出结果即可。 解法二： 首先由边的比例关系结合三角形中的几 何计算关系，计算出边的大小并代入到余弦定理计算出 m 的取值，并代入到三角形的面积公式，计算出结果 即可。 22． 【答案】（1）解：因为的右焦点为，且经过点， 所以，解得． 故双曲线的标准方程为． （2）解：由题意知，直线的斜率存在且不为 0，设的方程为． 联立消去，得． 由得且， 解得． 因为 与垂直，所以设 的方程为． 联立消去，化简得． 由且，得． 因为 与双曲线有且仅有一个公共点， 所以，即， 化简得，且点． 因为点位于第一象限，所以，． 与 轴的交点为． 与面积相等，因为 不妨设，分别位于双曲线的左、右两支上，记 被 轴分割为面积比为的两部分，且 所以与的面积比为，由此可得． 因此，即． 又因为，所以，解得． 因为，所以， 故直线的方程为． 【解析】【分析】(1)由已知条件由双曲线的简单性质以及方程计算出 a 与 b 的取值，从而得出椭圆的方程。 (2)根据题意设出直线的方程，再联立直线与双曲线的方程消元后得到关于 x 的方程，结合方程根的情况即可 得出 k 的取值范围，同理得出满足题意的 k 的取值，由此得出直线的方程。