武汉大学868线性代数专业课基础班次讲义(1)

武汉大学 868线性代数 （基础课程内部讲义） 海文考研专业课教研中心 目 录 第一部分 前言 1 第二部分 专业与就业解析 2 2.1数学专业综合介绍 2 2.2数学专业就业分析 6 2.3武汉大学数学专业就业情况 7 第三部分 武汉大学数学专业内部信息深度解析 8 3.1报考数据分析 8 3.2复试信息分析 9 3.3导师信息分析 11 第四部分 武汉大学数学专业初试专业课复习资料分析 12 4.1线性代数参考书目 12 4.2海文专业课标准课程内部讲义—海文专业课学员享有 12 4.3考前三套模拟试题及其解析 12 4.4典型与重点题及其解析 12 4.5真题及其解析 12 5.1真题分析 13 5.2参考书目知识点分析 13 5.3重点知识点汇总分析（大纲） 14 第六部分 武汉大学数学专业初试专业课整体复习规划 23 第七部分 武汉大学数学专业基础知识点框架梳理及其解析 24 第一章 多项式 24 第二章 行列式 24 第三章 线性方程组 27 第四章 矩阵 31 第五章二次型 39 第六章线性空间 42 第七章线性变换 48 第八章入-矩阵与约当标准型 52 第九章欧几里得空间 53 第十章双线性函数与辛空间 56 第八部分 结束语（祝福语） 17 《804高等代数》 海文专业课基础课程讲义 第一部分 前言 从2009年开始，国家教育部正式将硕士学位分为学术型和专业型两种类型的硕士学位，并且，在3月中旬公布的国家复试分数线中，第一次分学术型和专业型进行复试划线。这一现象深刻反映了研究生招生单位对考生专业能力的真实需求，也充分说明了专业课对每一个考研人的重大意义。从重要性角度来讲，在考研竞争中，专业课对于考生的重要性远远大于任何一门公共课，专业课在初试和最终录取时的权重：最终录取时高达51%（考数学）、72%（不考数学）；考研考试与录取规则发生根本变化：专业课统考趋势加强、复试更加看重专业课，毕竟老师所看重的一定是学生的专业知识储备和科研能力。 从专业课本身特点考虑，专业课学习起来相比公共课要复杂得多。 首先没有明确的学习范围，不容易确定复习的范围和重难点，也就说考生在学习的时候没有明确的学习范围，也不知道老师的命题范围和命题要求是什么，这对专业课学习来说，非常致命。每年很多同学都会遭遇专业课的黑洞效应，公共课只要多学一点，就能考好一点，只是程度不同而已，但专业课却经常会出现学的越多，却考的越差的怪现象。 其次考研基本上都是跨档次考，因而专业课复习更难，几乎所有参加考研的学生都是以本校本专业为逻辑起点，要么选择更好的学校，要么选择更好的专业，要么选择更好的地区。因此，对考生来说，考研的专业课就一定比考生原来本科所学的专业课要难，哪怕他是考本校本专业，他的竞争对手也是来自全国各地，不再是同班同学的竞争，他的竞争环境变得更为复杂，专业课复习也变得更难。 最后专业课的复习资源比公共课的复习资源稀缺，如果让考生自己搜集，不一定能收集齐全，并且还不一定能收集的准确和真实，更何况还浪费了考研复习的宝贵时间。 综上所述，考研专业课重要性、复杂性及在复习过程中出现的黑洞效应均增加了考研专业课复习的难度。在该基础讲义中，从第二部分到第七部分，依次深入剖析了专业课对应的专业就业、内部信息、复习资料、必考知识点和现阶段学习内容等，其目的就是帮助考生降低考研专业课的复习难度。建议考生在使用本讲义时要多动脑，通过对题目的练习、比较、思考，并发现题目设置和解答的规律性，掌握题目对应的知识点和熟悉解题的金钥匙，从而迅速提高基础阶段知识水平和为下一阶段的强化学习做好储备与铺垫。 第二部分 专业与就业解析 2.1数学专业综合介绍 1专业内涵分析 0701 数学 070101 基础 数学 070102 计算 数学 070103 概率论与数理统计 070104 应用 数学 070105 运筹学与控制论 数学一共包括5个二级学科。 数学是一门在非常广泛的意义下研究自然现象和社会现象中的数量关系和空间形式的科学。它的根本特点是从各种自然现象和社会现象的量的侧面抽象出一般性的规律，预见事物的发展并指导人们能动地认识和改造世界。数学是各门科学的基础，在自然科学、社会科学、工程技术等方面起着思想库的作用；作为20世纪中影响最为深远的科技成就，电子计算机发明的本身就是抽象数学成果对人类文明的最辉煌的贡献之一。电子计算机与数学的关系一直处于一种相互依存、相互促进的良性循环之中。从计算机的发明直到它的最新的进展，无不有数学在起着关键性的作用；同时，在计算机的设计、制造、改进和使用过程中，也向数学提出了大量带有挑战性的间题，推动着数学本身的发展。计算机和软件技术已成为数学研究的新的强大手段，其飞速进步正在改变传统意义下的数学研究模式，并将为数学的发展带来难以预料的深刻变化。数值模拟、理论分析和科学实验鼎足而立，已成为当代科学研究的三大支柱。  数学科学是一个范围广阔、分支众多、应用广泛的科学体系，一般分成如下五个紧密联系的二级学科。   （1）基础数学，又称纯粹数学，是数学的核心和灵魂。它的思想、方法和结论是整个数学科学的基础，是自然科学、社会科学、工程技术等方面的思想库。基础数学包含数理逻辑、数论、代数、几何、拓扑、函数论、泛函分析、微分方程等众多的分支学科，并还在源源不断地产生新的研究领域，范围异常广泛，就总体而言，远远超出了一般意义下的一个“二级学科”的研究范畴。 学科研究范围  数理逻辑与数学基础，组合数学，数论，代数（群论、环、格与代数、同调代数），李群、李代数及其表示，微分几何，代数几何，拓扑学（代数拓扑、微分拓扑、一般拓扑），动力系统，复分析和复几何，实分析（调和分析、位势论），几何分析，微分方程（常微分方程、偏微分方程），泛函分析（算子论与算子代数、非线性泛函分析、无限维分析），非线性分析，计算机科学中的数学，数学史等。 （2）计算数学是研究用电子计算机数值求解科学和工程问题的理论和算法，其目标是高效、稳定地求解各类科学技术领域中产生的数学问题。研究高效的计算方法与发展高速的计算机处于同等重要的地位；此外，数值模拟已能够用来减少乃至代替耗资巨大甚至难以实现的某些大型实验。近年来，随着电子计算机的飞速发展，产生了符号演算、机器证明、计算机辅助设计、数学软件等新的学科分支，并与其它领域结合形成了计算力学、计算物理、计算化学、计算生物学等交叉学科。 学科研究范围  数值代数（矩阵计算、非线性方程数值解法），微分方程数值解法（常微分，方程数值分析、偏微分方程数值分析、有限元、积分方程数值分析），数值逼近与函数逼近，算法设计与分析，数学规划算法，小波分析及其应用，概率统计计算，控制系统计算，计算复杂性，新型算法（并行算法、区域分解法、多格子方法等），符号计算与机器证明，科学工程计算及软件，计算机图形学等。 （3）应用数学是联系数学与现实世界的重要桥梁，主要研究自然科学、工程技术、信息、经济、金融、管理、社会与人文科学中的数学问题，包括建立相应的数学模型，利用数学方法解决实际问题，研究具有实际背景和应用前景的数学理论等。第二次世界大战以来，应用数学得到了迅猛的发展，其思想和方法深刻地影响着其它科学的发展，并促进了某些重要的综合性学科（如非线性科学）的诞生和成长。同时，在研究解决实际问题的过程中，新的重要的数学问题不断产生，有力地推动着数学本身的发展。 学科研究范围  凡对有实际背景或应用前景的数学理论或方法开展研究，或是具体针  对自然科学、工程技术、经济、金融、信息、管理、社会和人文等领域中的某些实际问题用数  学方法进行研究，均可认为属于应用数学的研究方向，例如数学物理、计算几何、应用偏微分  方程、生物数学、组合数学、数理经济学、数学金融学、数理语言学、现代力学中的数学问题、计算机科学中的数学问题、工程中的数学问题、神经网络的数学方法等。 （4）概率论与数理统计是研究随机现象内在规律性的学科。概率论旨在从理论上研究随机现象的数量规律，是数理统计的基础。数理统计是研究如何有效地收集、分析和使用随机性数据的学科，为概率论的实际应用提供了广阔的天地。概率论和数理统计相互依存，相互推动，借助计算机技术，正在科学技术、工农业生产、经济金融、人口健康、环境保护等方面发挥重要的作用。概率统计思想渗人各个学科已成为近代科学发展的明显特征之一。 学科研究范围  马氏过程，平稳过程，鞅论与独立增量过程（点过程），随机分析，随机场，概率极限理论（大偏差理论），巴氏空间上的概率论，应用概率，时间序列分析，多元分析（多元离散数据分析），回归分析与方差分析，试验设计，序贯分析，非参数统计（半参数统计），数据处理与统计建模，随机过程统计，抽样调查（重抽样方法），统计计算，统计决策，生物统计与生存分析，质量管理与可靠性分析，数理金融等。 （5）运筹学和控制论以数学和计算机为主要工具，从系统和信息处理的观点出发，研究解决社会、经济、金融、军事、生产管理、计划决策等各种系统的建模、分析、规划、设计、控制及优化问题，是一个包括众多分支的学科。运筹学结合数学、计算机科学、管理科学，通过对建模方法和最优化方法的研究，为各类系统的规划设计、管理运行和优化决策提供理论依据。控制理论目前处于数学、计算机科学、工程学等学科交叉发展的前沿，是以自动化、机器人、计算机和航天技术为代表的新技术革命的一个理论基础。学科研究范围  线性及非线性优化，网络优化，组合优化，大系统优化，随机优化，半定规划，多层规划，互补规划，图论与网络，排队论，排序论，可靠性理论，对策论，决策论，线性和非线性系统控制，最优控制，随机控制，分布参数控制，控制系统的稳定性和稳健性，辨识和适应控制，控制中的计算方法，智能控制，离散事件动态系统等。 2武汉大学数学专业的专业结构设置 武汉大学现设基础数学系、应用数学系、信息与计算科学系、统计与概率系、数学公共课部等教学科研机构。现有三个本科专业：数学与应用数学、信息与计算科学、统计学，并设有国家理科基础科学研究与教学人才培养基地数学基地班，学院现是国家数学一级学科博士点，有四个二级学科具有博士和硕士学位授予权：基础数学、概率统计、应用数学、计算数学，其中基础数学是国家重点学科，。学院共有教师139人，其中教授42人(含博士生导师15人)，副教授66人，现有各类学生1791人。在武汉大学数学与统计学院学习的学生如果想继续深造，或出国留学的话是很容易的。在武大基础数学师资是最好的，但其他几个方向就业相对来说好一点。 3武汉大学学数学专业培养体系 武汉大学研究生现在任然是两年制的报考武汉大学的研究生基础知识一定要学好，在初试的时候会考数学分析和线性代数，这两门课是学习数学的基础课程，一定要掌握好，但出于对武大有史以来重视分析而不是非常重视代数的传统，在初试和复试中对数学分析的要求会比线性代数高一点。只要是数学分析和线性代数学的很好，考基础的再看一下常微分方程，考概率的看一下概率论与数理统计，考计算的看一下数值分析和程序设计，考应用的看一下线性规划或常微分方程，考武大是没问题的，但是毕竟考上研究生还是要学习的所以考生还是应该多看一些别的专业书籍，为以后的学习打下基础。 专业课程一览表 课程编号 课 程 名 称 课内学时 学分 任课老师 开课学期 （春/秋） 备 注 科学社会主义理论与实践 20 1 秋 公共必修课 自然辩证法概论 36 1.5 春 硕士英语精读翻译与写作 144 4