初二数学竞赛辅导资料共讲)讲义

初二年级秋季数学竞赛讲义 目 录 本内容适合八年级学生竞赛拔高使用。重点落实在奥赛方面的基础知识和基本技能培训和提高。本内容难度适中，讲练结合，由浅入深，讲解与练习同步，重在提高学生的数学分析能力与解题能力。另外，在本次培训中，内容的编排和讲解可以根据学生的具体状况由任课教师适当的调整顺序和增删内容。其中《因式分解》为初二下册内容，但是考虑到它的重要性和工具性，将在本次培训进行具体解读。 注：有(*) 标注的为选做内容。 本次培训具体计划如下，以供参考： 第一讲 实数（一） 第二讲 实数（二） 第三讲 平面直角坐标系、函数 第四讲 一次函数（一） 第五讲 一次函数（二） 第六讲 全等三角形 第七讲 直角三角形与勾股定理 第八讲 株洲市初二数学竞赛模拟卷（未装订在内，另发） 第九讲 竞赛中整数性质的运用 第十讲 不定方程与应用 第十一讲 因式分解的方法 第十二讲 因式分解的应用 第十三讲 考试（未装订在内，另发） 第十四讲 试卷讲评 第1讲 实数（一） 【知识梳理】 一、非负数：正数和零统称为非负数 1、几种常见的非负数 （1）实数的绝对值是非负数，即|a|≥0 在数轴上，表示实数a的点到原点的距离叫做实数a的绝对值，用|a|来表示 设a为实数，则 绝对值的性质： ①绝对值最小的实数是0 ②若a与b互为相反数，则|a|＝|b|；若|a|＝|b|，则a＝±b ③对任意实数a，则|a|≥a， |a|≥－a ④|a·b|＝|a|·|b|，(b≠0) ⑤||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b| （2）实数的偶次幂是非负数 如果a为任意实数，则≥0（n为自然数），当n＝1时，≥0 （3）算术平方根是非负数，即 ≥0，其中a≥0. 算术平方根的性质： （a≥0） ＝ 2、非负数的性质 （1）有限个非负数的和、积、商（除数不为零）是非负数 （2）若干个非负数的和等于零，则每个加数都为零 （3）若非负数不大于零，则此非负数必为零 3、对于形如的式子，被开方数必须为非负数； 4、推广到的化简； 5、利用配方法来解题：开平方或开立方时，将被开方数配成完全平方式或完全立方。 【例题精讲】 ◆专题一：利用非负数的性质解题： 【例1】已知实数x、y、z满足，求x＋y＋z的平方根。 【巩固】 1、已知，则的值为______________； 2、若， 的值 【拓展】 设a、b、c是实数，若，求a、b、c的值 ◆专题二：对于 的应用 【例2】已知x、y是实数，且 ； 【例3】 已知、、适合关系式：，求的值。 【巩固】 1、已知b＝，且的算术平方根是，的立方根是，试求的平方根和立方根。 2、已知，则 ； 【拓展】在实数范围内，设＝，求的个位数字。 ◆专题三：，的化简及应用 常用方法：利用配方法将被开方数配成完全平方式或者立方式 【例4】化简： 【例5】若实数x满足方程 ，那么 ； 【巩固】 1、若，，且，则 ； 2、已知实数a满足a＋＝0，那么 ； 3、设 （1）求y的最小值 （2）求使6＜y＜7的x的取值范围。 【拓展】若，求的值。 【课后练习】 1、如果a < 0 ，那么 。 2、已知和是数的平方根，则求的值 。 3、设a、b、c是△ABC的三边的长，则＝ 。 4、已知x、y是实数，且则＝ 。 5、若0< a <1 ，且，则为 。 6、代数式的最小值是 。 7、已知实数满足 ＝，则＝ 。 8、已知△ABC的三边长为、、，和满足，求的取值范围。 9、已知，求、、的值。 10、实数、、、满足，，求 的值。 第2讲 实数（二） 【知识梳理】 一、实数的性质 1、设x为有理数，y为无理数，则x＋y，x－y都为无理数；当x≠0时，xy，都是无理数；当x＝0时，xy， 就是有理数了； 2、若x、y都是有理数，是无理数，则要使＝0成立，须使x＝y＝0; 3、若x、y、m、n都是有理数，都是无理数，则要使成立，须使x＝y，m＝n 二、实数大小的比较 常用方法：直接法、利用数轴比较、平方法、同次根式下比较被开方数法、作差法、作商法 三、证明一个数是有理数的方法： 证明这个数是一个有限小数或无限循环小数，或可表示成几个有理数的和、差、积、商的形式。 【例题精讲】 ◆例1：比较下列两数的大小： （1） （2） （3） （4） （5） （6） 【巩固】设？ ◆例2：若 的小数部分为，的小数部分为，则的值为 。 【巩固】 1、已知为 的整数部分，是9的平方根，且，求的值。 2、设的整数部分为，小数部分为，试求的值。 【拓展】已知：的整数部分为m，小数部分为n，的整数部分为a，小数部分为b， 试计算：的值。 ◆例3：已知、是有理数，且 ，求、的值。 【巩固】 1、已知a、b是有理数，且，求a、b的值 2、已知、是有理数，并且、满足，求的值。 ◆例4：设，，试用、的代数式表示 【巩固】：已知，，试用、的代数式表示 ◆例5：求证是有理数 (*) ◆例6：a与b是两个不相等的有理数，试判断实数是有理数还是无理数，并说明理由。(*) 【拓展】：证明是无理数。(*) ◆例5：若a、b满足的取值范围。 【巩固】：已知，求x和y的取值范围； 【课后练习】 1、比较大小： 2、设a、b是正有理数，且满足，求ab的值。 3、设的整数部分为，小数部分为，试求的值。 4、已知与的小数部分分别是a、b，求ab－3a＋4b＋8的值。 5、已知a、b为有理数，x、y分别表示的整数部分和小数部分，且，求a＋b的值。 6、证明是无理数。(*) 第3讲 平面直角坐标系、函数 【知识梳理】 1、平面直角坐标系：是在数轴的基础上，为了实际问题的需要而建立起来的。是学习函数的基础，数形结合是本节最显著的特点。 2、坐标平面内任意一点P，都有唯一的一对有序实数（x，y）和它对应；反过来，对于任何一对有序实数（x，y），在平面内都有唯一的点P和它对应。与点P相对应的有序实数对（x，y）叫做点P的坐标。 3、平面直角坐标系内的点的特征 （1）若点P（x，y）在第一象限内；（2）若点P（x，y）在第二象限内 （3）若点P（x，y）在第三象限内 ；（4）若点P（x，y）在第四象限内 （5）若点P（x，y）在x轴上 ；（6）若点P（x，y）在y轴上 4、对称点的坐标特征 （1）点P（x，y）关于x轴对称（或成轴反射）的点的坐标为P（x，－y） （2）点P（x，y）关于y轴对称（或成轴反射）的点的坐标为P（－x，y） （3）点P（x，y）关于原点对称的点的坐标为P（－x，－y） 5、函数的有关定义 （1）函数的定义、在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于每一个x确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，则x是自变量，y是的函数。 （2）函数关系式、用来表示函数关系的等式叫函数关系式，也称函数解析式。 6、函数自变量的取值范围、自变量的取值范围必须使含自变量的代数式都有意义所以 （1）使分母不为零； （2）开平方时被开方数为非负数； （3）为整式时其自变量的范围是全体实数； 另外，当函数关系表示实际问题时，自变量的取值必须使实际问题有意义。 【例题精讲】 ◆例1：若点M（1＋a，2b－1）在第二象限，则点N(a－1，1－2b)在第 象限； 【巩固】 1、点Q（3－a，5－a）在第二象限，则＝ ； 2、若点P（2a＋4，3－a）关于y的对称点在第三象限，求a的取值范围为 ； ◆例2：方程组的解在平面直角坐标系中对应的点在第一象限内，求m的取值范围 【巩固】已知点M（a、b）在第四象限，且a、b是二元一次方程组的解，求点M关于坐标原点的对称点的坐标。 ◆例3：在直角坐标系中，已知A（1，1），在轴上确定点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P共有（ ）个。 A、1 B、2 C、3 D、4 【拓展】在平面直角坐标系中有一个正方形ABCD，它的4个顶点为A（10，0）、B(0，10)、 C(－10，0)、D(0，－10)，则该正方形内及边界上共有_______个整点（即横纵坐标都是整数的点） ◆例4：求下列函数中自变量的取值范围、 ◆例5：如图，在靠墙（墙长为18m）的地方围建一个矩形的养鸡场，另三边用竹篱笆围成，如果竹篱笆总长为35m，求鸡场的一边长y （m）与另一边长x （m）的函数关系式，并求自变量的取值范围。 x y 【巩固】 1、求下列函数中，自变量的取值范围： ①； ②； ③ 2、周长为10cm的等腰三角形，腰长y(cm)与底边长x(cm)之间的函数关系式是______________；自变量x的取值范围为_________________． 【拓展】若函数y＝的自变量x的取值范围为一切实数，求c的取值范围。 ◆例6：已知函数的图像如图所示，求点A、B的坐标。 【巩固】若点P（，）在函数的图象上，那么点P应在平面直角坐标系中的（ ） A．第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限 ◆例7：一个装有进出水管的水池，单位时间内进、出水量都是一定的．已知水池的容积为　升，又知单开进水管20分钟可把空水池注满；若同时打开进、出水管，20分钟可把满水池的水放完，现已知水池内有水升，先打开进水管分钟，再打开出水管，两管同时开放，直至把水池中的水放完，则能确定反映这一过程中水池的水量（升）随时间（分钟）变化的函数图象是（　　） 320 200 Ｏ 3 8 （升） （分钟） Ａ． 320 200 Ｏ 3 11 （升） （分钟） Ｂ． 200 Ｏ 3 11 （升） （分钟） Ｃ． 320 200 Ｏ 3 11 （升） （分钟） Ｄ．