东南大学06-07学年第二学期《几何与代数》期终试卷

东南大学东南大学 06-0706-07 第二学期第二学期几何与代数期终考试试卷几何与代数期终考试试卷一一(30%)填空题（I表示单位矩阵）1.1.向量(1,0,1),(1,1,0),(1,1,k)共面时参数k的值为，此时，与这三个向量都正交的一个单位向量是；2.向量组 1 0 1 1 01111,2,3,4的秩等于，这个向量组的一极大线性 2 11 3 110 2无关组是；13.假设矩阵A(2,t)，若1是A的特征值，则参数t的值为；24.二次型f(x,y,z)x 2z 2xy的正、负惯性指数分别为，下列图形中，能表示二次曲面f(x,y,z)1的图形的标号为：22（A），（B），（C），（D）；z x25.由曲线绕z轴旋转所产生的旋转曲面方程为；y 06.若向量组1,2 与向量组1,2 等价，则参数a,b必定满足条件；111a121b213c007.若A 01b与B 010相似，则a,b,c。00a001二二（10%）已知向量组1,2,3,4线性无关，问：当参数p取何值时，向量组12 23,21 22,3324,4 p14也线性无关？三三（15%）假设p,q是参数，空间直角坐标系中平面1,2,3的方程分别如下：1:x y 2z 1，2:2x py z 2，3:3x5y 2z q（1 1）问：当p,q取何值时,这三个平面的公共点构成一直线？（2 2）当它们的公共点构成一直线时，求直线的方向向量，并给出该直线的对称方程。21210099四四（15%）设P 010，010，并且AP P，求A及A。001001222五五（15%）已知二次型f(x1,x2,x3)x1 x2 x34x1x2。（1 1）写出二次型f的矩阵；（2 2）求一个正交变换x Qy，把f化为标准形,并给出该标准形；（3 3）假设a 0，求t六六（15%）证明题：1.已知矩阵A角阵相似2.假设sn矩阵A的秩等于r，并且非齐次线性方程组Ax b（b）有解。证明：Ax b有并且只有nr 1个线性无关的解向量3.若A、B都是可逆的实对称矩阵，且A、B、A B都是正定矩阵，证明：B A也是正定矩阵112max22x1x2x3af(x1,x2,x3)的值ab I，其中，ad 2,ad bc 1。证明：A不与任何对cd