二元一次方程(组)与一次函数(提高)知识讲解

二元一次方程（组）与一次函数（提高）二元一次方程（组）与一次函数（提高）【学习目标】【学习目标】1.理解二元一次方程与一次函数的关系；2.能根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解；3.能利用二元一次方程组确定一次函数的表达式.【要点梳理】【要点梳理】要点一、二元一次方程与一次函数的关系要点一、二元一次方程与一次函数的关系 1.任 何 一 个 二 元 一 次 方 程axby c(a、b 0,c为常数)都 可 以 变 形 为ac所以每个二元一次方程都对应一个一y -x(a、b 0,c为常数)即为一个一次函数，bb次函数.2.我们知道每个二元一次方程都有无数组解，例如：方程x y 5我们列举出它的几组整数解有x 0,x 5,y 5;y 0;x 2,，我们发现以这些整数解为坐标的点（0，5），（5，0），（2，y 33）恰好在一次函数y x5的图像上，反过来，在一次函数y 5 x的图像上任取一点，它的坐标也适合方程x y 5.要点诠释：要点诠释：1.以二元一次方程的解为坐标的点都在相应的函数图像上；2.一次函数图像上的点的坐标都适合相应的二元一次方程；3.以二元一次方程的解为坐标的所有点组成的图像与相应一次函数的图像相同.要点二、二元一次方程组与一次函数要点二、二元一次方程组与一次函数1.1.二元一次方程组与一次函数二元一次方程组与一次函数每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这时的函数为何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标.要点诠释：要点诠释：1.两个一次函数图象的交点与二元一次方程组的解的联系是：在同一直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解.反过来，以二元一次方程组的解为坐标的点一定是相应的两个一次函数的图象的交点.如一次函数y 5 x与y 2x1图象的交点为(2，3)，则x 2x y 5就是二元一次方程组的解.y 32x y 12.当二元一次方程组无解时，方程组中两方程未知数的系数对应成比例，相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线就没有交点，则两个一次函数的直线就平行.反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程组就无解.如二元一次方程组解，则一次函数y 3x5与y 3x1的图象就平行，反之也成立.3.当二元一次方程组有无数解时，则相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线重合，无反之也成立.2.2.图像法解二元一次方程组图像法解二元一次方程组求二元一次方程组的解，可以转化为求两条直线的交点的横纵坐标（即二元一次方程组的图像解法.）所以，解二元一次方程组的方法有：代入消元法、加减消元法和图像法三种.要点诠释：要点诠释：利用图像法求二元一次方程组的解是近似解，要得到准确解，一般还是用代入消元法和加减消元法解方程组.相反，求两条直线的交点坐标可以转化为求这两条直线对应的函数表达式联立的二元一次方程组的解.要点三、用二元一次方程组确定一次函数表达式要点三、用二元一次方程组确定一次函数表达式待定系数法：先设出函数表达式，再根据所给的条件确定表达式中未知数的系数，从而得到函数表达式的方法，叫做待定系数法.利用待定系数法解决问题的步骤：1.确定所求问题含有待定系数解析式.2.根据所给条件,列出一组含有待定系数的方程.3.解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决.【典型例题】【典型例题】类型一、二元一次方程与一次函数类型一、二元一次方程与一次函数1、已知关系 x，y 的二元一次方程 3ax+2by=0 和 5ax3by=19 化成的两个一次函数的图象的交点坐标为（1，1），则 a=_，b=_【答案】【答案】2；3；【解析】【解析】解：两个一次函数的图象的交点坐标为（1，1）则 x=1，y=1 同时满足两个方程，代入得：3a2b=0，5a+3b=19；联立两式则有：解得：；，所以 a=2，b=3【总结升华】【总结升华】一般地，每个二元一次方程组都对应着两个一次函数，也就是两条直线从“数”的角度看，解方程组就是求使两个函数值相等的自变量的值以及此时的函数值从“形”的角度看，解方程组就是相当于确定两条直线的交点坐标类型二、二元一次方程组与一次函数类型二、二元一次方程组与一次函数y=2x-1yx y2 0，2、用图象法解方程组：y 2x1【思路点拨】【思路点拨】画出图象，两条直线的交点就是方程组的解.【答案与解析】【答案与解析】-4-3-2-143211-1-2-3-4234y=x-2xy x2，解法一：将方程组化为y 2x1；在坐标系中画出直线y x2和y 2x1列表：-5x020y x220 x0.50y 2x11由图象知，它们的交点坐标为（1，3），并进行验证；，x 1可得原方程组的解为y 3解法二：令y 2x1(x2)，即y x1因为直线y x1与x轴（直线y0）的交点为（1，0），x y2 0，所以方程组中x 1，进而y 3y 2x1【总结升华】【总结升华】一般地，若两条直线y k1xb1和y k2xb2的交点坐标为（m，n），则y k1xb1，x m，方程组的解为其中k1k2 0y k xb；y n；22举一反三：举一反三：【变式】（2015杭州模拟）已知P（x，y）是平面直角坐标系上的一个点，且它的横、纵坐标是一次方程组过（）A第一象限（a 为任意实数）的解，则当a 变化时，点P 一定不会经B第二象限，C第三象限D第四象限【答案】【答案】解：解方程组得：当 x=3a+20 时，解得：a，此时 y=2a+40，当 x0 时 y0，点 P 一定不会经过第三象限，故选 C3、（2016 春临清市期末）直线l1：y=x+1 与直线 l2：y=mx+n 的交点 P 的横坐标为 1，则下列说法错误的是（）A点 P 的坐标为（1，2）B关于 x、y 的方程组的解为C直线 l1中，y 随 x 的增大而减小D直线 y=nx+m 也经过点 P【思路点拨】【思路点拨】把 x=1 代入 y=x+1，得出 y 的值，再判断即可【答案与解析】【答案与解析】解：把 x=1 代入 y=x+1，y=2，所以 A、点 P 的坐标为（1，2），正确；B、关于 x、y 的方程组的解为，正确；C、直线 l1中，y 随 x 的增大而增大，错误；D、直线 y=nx+m 也经过点 P，正确；故选 C.【总结升华】【总结升华】此题主要考查了两直线相交问题，解决本题的关键是求出直线经过的点的坐标类型三、用二元一次方程组确定一次函数表达式类型三、用二元一次方程组确定一次函数表达式4、（2015 荆门）在一次 800 米的长跑比赛中，甲、乙两人所跑的路程s（米）与各自所用时间（t 秒）之间的函数图象分别为线段OA 和折线 OBCD，则下列说法正确的是（）A甲的速度随时间的增加而增大B乙的平均速度比甲的平均速度大C在起跑后第 180 秒时，两人相遇D在起跑后第 50 秒时，乙在甲的前面【思路点拨】【思路点拨】A、由于线段OA 表示甲所跑的路程 S（米）与所用时间t（秒）之间的函数图象，由此可以确定甲的速度是没有变化的；B、甲比乙先到，由此可以确定甲的平均速度比乙的平均速度快；C、根据图象可以知道起跑后180 秒时，两人的路程确定是否相遇；D、根据图象知道起跑后50 秒时 OB 在 OA 的上面，由此可以确定乙是否在甲的前面【答案与解析】【答案与解析】解：A、线段OA 表示甲所跑的路程 S（米）与所用时间t（秒）之间的函数图象，甲的速度是没有变化的，故选项错误；B、甲比乙先到，乙的平均速度比甲的平均速度慢，故选项错误；C、起跑后 180 秒时，两人的路程不相等，他们没有相遇，故选项错误；D、起跑后 50 秒时 OB 在 OA 的上面，乙是在甲的前面，故选项正确故选 D【总结升华】【总结升华】本题主要考查函数图象的识图与一次函数图象关系式的解法，求函数关系式的一般方法是待定系数法，函数问题是中考的必考知识点，应引起足够重视举一反三：举一反三：【变式】甲、乙两个工程队分别同时开挖两段河渠，所挖河渠的长度y（m）与挖掘时间 x（h）之间的关系如图所示，请根据图象所提供的信息解答下列问题：（1）描述乙队在 06（h）内所挖河渠的长度变化情况；（2）请你求出：乙队在2x6 的时段内，y 与 x 之间的函数关系式；（3）当 x 为何值时，甲队在施工过程中所挖河渠的长度y 的值在 30 和 50 之间变化？【答案】【答案】解：（1）如图，乙队从挖河渠开始至2 时，长度由 0 米增加到 30 米，从第 2 时至 6 时，长度由 30 米增加到 60 米（2）设乙队在 2x6 的时段内 y 与 x 之间的函数关系式为 y=kx+b，由图可知，函数图象过点（2，30）、（6，50），解得，y=5x+20；（7 分）（3）设甲队在 0 x6 的时段内 y 与 x 之间的函数关系式 y=kx，由图可知，函数图象过点（6，60），6k=60，解得 k=10，y=10 x当 y=30 时，x=3；当 y=50 时，x=5当 3x5 时，甲队所挖河渠的长度y 的值在 30 和 50 之间变化