山东省临沂市2022年高三上学期数学期中考试试卷附答案

高三上学期数学期中考试试卷 高三上学期数学期中考试试卷一、单选题一、单选题1已知集合，则、间的关系为（）ABCD2若复数（为虚数单位），则复数在复平面直角坐标系内对应的点在（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3已知函数是定义在上的奇函数，当时，则（）A-3B-2C2D34设命题甲：，是真命题；命题乙：函数在上单调递减是真命题，那么甲是乙的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件5若，则（）ABCD6已知，则 a，b，c 的大小关系是（）ABCD7如图，等腰梯形 ABCD 中，点 E 为线段 CD 上靠近 D 的三等分点，点 F 为线段BC 的中点，则（）ABCD8设函数在区间 D 上的导函数为，在区间 D 上的导函数为，若在区间 D 上，恒成立，则称函数在区间 D 上为“凸函数”.已知实数 m 为常数，若对满足的任何一个实数 m，函数在区间上都为“凸函数”，则的最大值为（）A4B3C2D1二、多选题二、多选题9在等比数列中，公比，是数列的前 n 项和，若，则下列结论正确的是（）ABC数列是等比数列D数列是公差为 2 的等差数列10已知正数，满足，以下四个结论正确的是（）AB的最小值为 4C的最小值为 2D的最小值为 811函数，其图象的一个最高点是，距离点最近的对称中心为，则（）AB时，函数单调递增C是函数图象的一条对称轴D图象向右平移个单位后得到的图象，若是奇函数，则的最小值是12法国数学家柯西（A.Cauchy.1789-1857）研究了函数的相关性质，并证明了在处的各阶导数均为 0.对于函数，下列结论正确的是（）A是偶函数B在上单调递增CD若恒成立，则的最小值为 1三、填空题三、填空题13已知向量，则 .14函数在上存在零点，则 m 的取值范围是 .15一艘渔船航行到 A 处看灯塔 B 在 A 的北偏东 75，距离为海里，灯塔 C 在 A 的北偏西 45，距离为 海里，该船由 A 沿正北方向继续航行到 D 处时再看灯塔 B 在其南偏东 45方向，则 海里.16已知递增的等比数列中，成等差数列，前 5 项和，则 ；数列，的前 100 项和为 .四、解答题四、解答题17已知函数.（1）求的最小正周期；（2）若关于 x 的不等式对恒成立，求 m 的取值范围.18在，成等比数列；这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.问题：已知是递增的等差数列，前 n 项和为，且_.（1）求数列的通项公式；（2）设，是否存在，使得取得最大值？若存在，求出 m 的值；若不存在，说明理由.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.19已知函数在处的切线与直线平行.（1）求 a；（2）设，若函数存在单调递减区间，求 b 的取值范围.20记的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知，点 M 在 AC 上，且，.（1）求 B；（2）若，求的面积.21为净化空气，某科研单位根据实验得出，在一定范围内，每喷洒个单位的净化剂，空气中该净化剂释放的浓度 y（单位：毫克/立方米）随着时间 x（单位：小时）变化的函数关系式近似为，其中，若多次喷洒，则某一时刻空气中净化剂浓度为每次喷洒的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和.由实验知，当空气中净化剂的浓度不低于 4（毫克/立方米）时，它才能起到净化空气的作用.（1）若一次喷洒 4 个单位的净化剂，则净化时间约达几小时？（2）若第一次喷洒 4 个单位的净化剂，6 小时后再喷洒 2 个单位的净化剂，问能否使接下来的 4 个小时内起到持续净化空气的作用？请说明理由.22已知函数，.（1）当时，求的值域；（2）讨论极值点的个数.答案解析部分答案解析部分1【答案】D【解析】【解答】因为，故.故答案为：D.【分析】用列举法表示集合 A，结合集合 B 判断集合 A、B 间的关系.2【答案】A【解析】【解答】因为，所以，故复数在复平面直角坐标系内对应的点为，从而复数在复平面直角坐标系内对应的点在第一象限.故答案为：A.【分析】利用复数的除法和复数的几何意义即可求解。3【答案】C【解析】【解答】由已知可得，故.故答案为：C.【分析】根据题意，由函数的解析式求出 f(-1)的值，进而由函数的奇偶性计算可得答案.4【答案】B【解析】【解答】对于命题甲：因为是开口向上的二次函数，所以对于，是真命题，则与轴无交点，从而，解得；对于命题乙：函数在上单调递减是真命题，由对数函数单调性可知，解得，因为，所以甲是乙的必要不充分条件.故答案为：B.【分析】根据复合命题真假之间的关系，分别求出甲乙的等价条件，根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可.5【答案】D【解析】【解答】由二倍角公式可知，从而，又因为，所以，从而.故答案为：D.【分析】根据三角函数的二倍角公式，即可得到结论.6【答案】C【解析】【解答】由题设，.故答案为：C【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出.7【答案】B【解析】【解答】故答案为：B【分析】由向量的加减和数乘运算，结合平面向量基本定理，用 表示 .8【答案】A【解析】【解答】由题设，则，对任意，在上有恒成立，令在上恒成立，可得，故的最大值为 4.故答案为：A【分析】通过二次求解导函数，转化当|m|1 时关于 m 的一次函数在上恒成立，两次不等式求解即可.9【答案】B,C【解析】【解答】由题设，即，由可得：，且公差为；且.综上，A、D 不符合题意，B、C 符合题意.故答案为：BC【分析】根据题干条件判断并计算得到 q 的值，即可得到等比数列 的通项公式和前 n 项和公式，则对选项进行逐个判断即可得到正确选项.10【答案】A,B,D【解析】【解答】由题设，且，则，A 符合题意；，则，故，有，当且仅当时等号成立，B 符合题意；，当且仅当时等号成立，显然等号取不到，C 不符合题意；由上知：，当且仅当时等号成立，D 符合题意；故答案为：ABD【分析】由题设可得，等式两边同除 ac，可判断 A 的正误；利用基本不等式判断 B，C 的的正误，注意等号成立的条件，即可得出答案。11【答案】A,B【解析】【解答】不妨设的最小正周期为，由题意可知，故且，解得，A 符合题意；从而，由，解得，即，因为，所以，故，因为函数图象的一个最高点是，所以，解得，故，对于 B：由余弦函数的单调增区间可知，由，解得，从而的单调递增区间为，从而当时，函数单调递增，B 符合题意；对于 C：因为，所以不是函数图象的一条对称轴，C 不符合题意；对于 D：由平移变换可知，因为是奇函数，所以，即，因为，所以的最小值是，D 不符合题意.故答案为：AB.【分析】对于选项 A，结合已知条件求出最小正周期，进而求出；对于选项 B，利用点 在的图像上，求出，而求出 A，然后利用余弦函数的单调区间即可求解；对于选项 C，利用代入法即可求解；对于选项 D，通过平移变换求出 的解析式，根据奇函数性质和诱导公式可求得，然后利用即可求解。12【答案】A,C,D【解析】【解答】由且，则是偶函数，A 符合题意；因为在上递减，上递增，而在定义域上递增，所以在上递减，在(0，+)上递增，B 不符合题意；由上可知：，C 符合题意；因为时；时，综上可知：，由恒成立，则，故的最小值为 1，D 符合题意.故答案为：ACD【分析】由函数的奇偶性的定义可得 f(x)是偶函数，即可判定 A 选项的正误；求导，分析 f(x)的正负，进而可得 f(x)单调性，进而判定 B 选项的正误；由于-e，f(x)在是(-，0)上单调递减，即可判断 C 选项的正误；由时；时，推出则，即可判断 D 选项的正误.13【答案】2【解析】【解答】由题设，又，可得，故，.故答案为：2【分析】先用向量差运算和模的概念列方程求 t，再根据向量数量积求解，即可得答案.14【答案】【解析】【解答】因为在上存在零点，所以，即解得，故答案为：【分析】由题意，利用零点判定定理可得，解不等式可得 m 的取值范围。15【答案】【解析】【解答】如图，在ABD 中，因为在 A 处看灯塔 B 在货轮的北偏东 75的方向上，距离为海里，货轮由 A 处向正北航行到 D 处时，再看灯塔 B 在南偏东 45方向上，所以 B180754560由正弦定理，所以海里；在ACD 中，AD6，AC，CAD45，由余弦定理可得：，所以 CD海里；故答案为：.【分析】利用方位角求出 B 的大小，利用正弦定理直接求解 AD 的距离，直接利用余弦定理求出 CD 的值即可.16【答案】；17411【解析】【解答】若公比为，由题设有，解得，注意舍去；.设，要求原数列前 100 项的和，即，可得，则，故.故答案为：，【分析】直接利用等比数列的性质和数列的求和公式求出数列的通项公式，进一步利用求和公式的应用求出数列前 100 项的和.17【答案】（1）所以，的最小正周期（2）当时，所以，因为对恒成立，所以，即，解得，所以 m 的取值范围是【解析】【分析】（1）利用诱导公式正、弦的两角和公式，降次以及辅助角公式将 化为，再利用周期公式即可求出 的最小正周期；（2）先求出在 的值域，对恒成立，转化为，解出不等式即可求出 m 的取值范围.18【答案】（1）是递增的等差数列，若公差为，选：，则，可得.选：，可得，.选：当时，又，显然符合通项公式.（2）由（1）知：，可得，当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，.综上，存在，使得取得最大值.【解析】【分析】(1)根据所选条件，利用等比中项的性质求基本量，写出通项公式，应用等差数列通项公式，结合已知求基本量，写出通项公式；(2)由（1）知：，根据所得通项公式可知 n5 有 an 0，由题设讨论 m 确定 Tm的值及符号，即可判断存在性及 取得最大值.19【答案】（1）由题意，直线的斜率为，因为函数在处的切线与直线平行，所以，解得.（2）由(1)中结论可知，从而，故，因为函数存在单调递减区间，所以在上有解，即在上有解，当时，由均值不等式可知，当且仅当时，即时，取得最小值，从而，即，B 的取值范围为.【解析】【分析】(1)求导得，由已知条件结合导数的几何意义可得，求解可得 a 的值；(2)由(1)中结论可知，若 g(x)存在单调递减区间，则 g(x)0 在(0，+)上有解，即可得出答案.20【答案】（1）由题设，又，则，又，可得.（2），又，则，可得或(舍)，.【解析】【分析】(1)利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用，结合 sinC0，可求，结合范围，可得 B 的值；(2)由 两边平方可得 进而根据三角形的面积公式即可计算出 的面积.21【答案】（1）由题意知，当时，当时，解得，所以；当时，解得，所以，综上，即一次喷洒 4 个单位的净化剂，净化时间约为 7 小时；（2）能使接下来的 4 个小时内起到持续净化空气的作用.理由如下：由(1)知，第一次喷洒 4 个单位的净化剂，净化时间约为 7 小时，所以 6 个小时后，第二次喷洒 2 个单位的净化剂时，空气中仍有浓度的净化剂，加上第二次喷洒，在 4 小时后留存的浓度为：，因此这样的操作可以使接下来 4 个小时起到持续净化空气的作用.【解析】【分析】(1)讨论 时，时，空气中释放的浓度 f(x)，结合条件，解不等式可得 x的最大值，可得净化时间约达几小时；(2)设从第一次喷洒起，求出经 4 小时后留存的浓度，可得结论。22【答案】（1）因为，所以，设，因为，所以，单调递减，则，即，所以在上单调递减，所以的值域为：（2）因为，所以，设，因为，则，（1）当，即时，单调递减，即，单调递减，无极值，（2）当，即时，单调递增，即，单调递增，无极值，（3）当 即时，在上单调递减，则存在，使得，即，当时，单调递增，当时，单调递减，因为，所以，当，即时，即恒成立，即，单调递增，无极值，当，即时，则存在，使得，时，单调递增，时，单调递减，是的极大值点，综上所述，当或时，无极值点，当 时，有 1 个极大值点，无极小值点.【解析】【分析】(1)当 时，求导，利用导数与单调性的关系，可求得 f(x)的值域；(2)求得 f(x)=2ax+sinx，设，通过对 ，