天津市河西区2022年高二上学期数学期中考试试卷及答案

高二上学期数学期中考试试卷 高二上学期数学期中考试试卷一、单选题一、单选题1直线的倾斜角是（）ABCD2已知直线 在轴上的截距是-5，在轴上的截距是 6，则直线 的方程是（）ABCD3已知直线 与直线 互相平行，则实数 的值为（）A-1B0C1D24如图，已知正三棱柱 的棱长均为 2，则异面直线 与 所成角的余弦值是()ABCD05在空间直角坐标系中，四面体的顶点坐标分别是，.则点到面的距离是（）ABCD6椭圆的焦点为，椭圆上的点满足，则点到轴的距离为（）ABCD7实数 x，y 满足，则的取值范围是（）ABCD8直线与曲线有且仅有一个公共点，则的取值范围是（）A或B或CD9已知点 是椭圆 上的动点，、为椭圆的左、右焦点，为坐标原点，若 是 的角平分线上的一点，且 ，则 的取值范围是（）ABCD二、填空题二、填空题10已知 ，则线段 MN 的垂直平分线方程是 .11若椭圆 C：的右焦点为 F，且与直线 l：交于 P，Q 两点，则的周长为 .12若圆，与圆：相交于，则公共弦的长为 .13椭圆的离心率为，则=.14直线分别交轴轴的正半轴于两点，当面积最小时，直线 的方程为 .15设，分别是椭圆的左右焦点，过点的直线交椭圆于两点，若，则椭圆的离心率为 .三、解答题三、解答题16已知圆 C 过，两点，且圆心 C 在直线上（1）求圆 C 的方程；（2）若直线 l 过点且被圆 C 截得的线段长为，求 l 的方程17已知在四棱锥中，底面是边长为的正方形，是正三角形，CD平面 PAD，E，F，G，O 分别是 PC，PD，BC，AD 的中点（）求证：PO平面；（）求平面 EFG 与平面所成锐二面角的大小；（）线段上是否存在点，使得直线与平面所成角为，若存在，求线段的长度；若不存在，说明理由18在平面直角坐标系中，已知椭圆的左右焦点分别为，点为椭圆上的动点，当点为短轴顶点时，的面积为，椭圆短轴长为 2.（1）求椭圆的方程；（2）若直线 过定点且与椭圆交于不同的两点，点是椭圆的右顶点，直线，分别与轴交于两点，试问：以线段为直径的圆是否过轴上的定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由.答案解析部分答案解析部分1【答案】D【解析】【解答】化为，斜率为，所以倾斜角为.故答案为：D.【分析】首先把直线的方程化为斜截式，由此得出直线的斜率，结合斜率公式计算出倾斜角的大小。2【答案】A【解析】【解答】直线 在轴上的截距是-5，在轴上的截距是 6所以直线 的方程为，即故答案为：A【分析】根据题意由直线的斜截式，代入数值计算出直线的截距式再化为一般式。3【答案】B【解析】【解答】解：当 时，直线 ：即 ，直线 ：即 ，满足 当 时，直线 与直线 互相平行，解得实数 综上，故答案为：B【分析】由题意利用两条直线平行的性质，分类讨论，求得结果4【答案】C【解析】【解答】以 AC 的中点 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 ，则：,，向量 ,，.故答案为：C.【分析】根据题意建立空间直角坐标系求出各个点的坐标，并求出向量的坐标再结合向量的数量积公式即可求出其夹角的余弦值即可。5【答案】A【解析】【解答】由题意，设平面的一个法向量为，则，取，则，即到平面的距离是故答案为：A.【分析】由已知条件结合空间向量的坐标公式，结合平面法向量的定义，计算出结果再由空间距离公式计算出结果即可。6【答案】C【解析】【解答】由椭圆方程得，所以.设，则由椭圆定义得.在中，由余弦定理得，所以，则，所以，设点到轴的距离为，则，故，解得.故答案为：C.【分析】首先由椭圆的定义计算出再由余弦定理代入整理化简，计算出并把结果代入三角形的面积公式计算出 d 的取值即可。7【答案】C【解析】【解答】解：设，则与圆由交点，圆心到直线的距离，解得故答案为：C【分析】首先由整体思想设出关系式，再由直线与圆的位置关系结合点到直线的距离公式，整理化简即可得出 t 的取值范围，由此得出原式的取值范围。8【答案】A【解析】【解答】解：曲线有即，表示一个半圆（单位圆位于轴及轴右侧的部分），如图，设、，当直线经过点时，求得，此时只有一个公共点，符合题意；当直线经过点、点时，求得，此时有 2 个公共点，不符合题意；当直线和半圆相切时，由圆心到直线的距离等于半径，可得，求得或（舍去），即：时，只有一个公共点，符合题意，综上得，实数的范围为或，故答案为：A【分析】根据题意整理化简曲线的方程，然后由直线与圆的位置关系结合点到直线的距离公式，由此计算出b 的取值范围。9【答案】A【解析】【解答】如图，延长 与 交于点 ，则 是 的角平分线，由 可得 与 垂直，可得 为等腰三角形，故 为 的中点，由于 为 的中点，则 为 的中位线，故 ，由于 ，所以 ，所以 ，问题转化为求 的最值，而 的最小值为 ，的最大值为 ，即 的值域为 ，故当 或 时，取得最大值为，当 时，在 轴上，此时 与 重合，取得最小值为 0，又由题意，最值取不到，所以 的取值范围是 ，故答案为：A.【分析】延长 与 交于点 ，由条件判断 为等腰三角形，为 的中位线，故 ，再根据 的值域，求得 的最值，从而得到结果.10【答案】4x-y-8=0【解析】【解答】解：，的中点坐标为 ，线段 的垂直平分线方程是：，即 4x-y-8=0.故答案为：4x-y-8=0.【分析】根据题意由中点的坐标公式求出中点的坐标，再由点的坐标求出直线的斜率结合垂直直线斜率之间的关系求出垂线的斜率，再由点斜式求出直线的方程即可。11【答案】【解析】【解答】如图：由题得椭圆的左焦点，所以直线经过左焦点，的周长，故答案为：【分析】首先由椭圆的方程求出焦点的坐标，然后由已知条件结合椭圆的定义，结合三角形周长公式，代入数值计算出结果即可。12【答案】【解析】【解答】由题意所在的直线方程为：，即，因为圆心到直线的距离为 1，所以.故答案为：【分析】根据题意联立两个圆的方程，由此得出直线的方程，再由点到直线的距离公式代入数值计算出答案。13【答案】9 或 16【解析】【解答】当椭圆焦点在轴上时，解得.当椭圆焦点在轴上时，解得.故答案为：9 或 16【分析】根据题意对焦点分情况讨论，结合椭圆的方程以及简单性质，由此得出关于 a、b、c 的方程组，由此求解出 m 的取值。14【答案】x+2y-4=0【解析】【解答】直线，由，得，直线恒过定点，可设直线方程为，则，又，即，当且仅当时取等号，当面积最小时，直线 的方程为，即 x+2y-4=0.故答案为：x+2y-4=0.【分析】首先由已知条件求出直线过的定点坐标，再由直线的截距式结合基本不等式即可得出 ab 的最小值，由此得出三角形面积的最小值，以及取得最小值时对应的 a 与 b 的取值，由此得出直线的方程。15【答案】【解析】【解答】如图：设，则，.，在中，由余弦定理得，化简可得，而，故，是等腰直角三角形，椭圆的离心率，故答案为：.【分析】根据题意椭圆的定义设出边的大小，并代入到余弦定理整理化简即可得出 a 与 k 的关系，再由勾股定理计算出 c 与 k 的关系，利用整体思想由离心率公式代入计算出结果即可。16【答案】（1）解：根据题意，设圆 C 的圆心为，半径为 r，则圆 C 方程为，又圆 C 过，且圆心 C 在直线上，解得：，故圆 C 的方程为（2）解：根据题意，设直线 l 与圆 C 交与 MN 两点，则，设 D 是线段 MN 的中点，则，在中，可得当直线 l 的斜率不存在时，此时直线 l 的方程为，满足题意，当直线 l 的斜率存在时，设所求直线 l 的斜率为 k，则直线 l 为：，即由 C 到直线 MN 的距离公式：，解得：，此时直线 l 的方程为综上，所求直线 l 的方程为或【解析】【分析】(1)根据题意由已知条件求出圆的方程，然后把点的坐标代入到圆的方程计算出 a、b、r 的取值，从而得出圆的标准方程。(2)由已知条件结合中点的性质计算出边的大小，再对斜率分情况讨论然后由点到直线的距离公式，代入数值计算出 k 的取值，由此得出直线的方程。17【答案】证明：（）因为是正三角形，是的中点，所以.又因为平面，平面，所以.，平面，所以面.（）如图，以点为原点分别以、所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系.则，设平面的法向量为所以，即令，则，又平面的法向量，设平面与平面所成锐二面角为，所以.所以平面与平面所成锐二面角为.（）假设线段上存在点，使得直线与平面所成角为，即直线与平面法向量所成的角为，设，所以所以，整理得，方程无解，所以，不存在这样的点.【解析】【分析】（）由三角形的几何性质即可得出线线垂直，结合线面垂直的性质定理和判定定理即可得证出结论。（）根据题意建立空间直角坐标系求出各个点的坐标以及向量和平面法向量的坐标，再由数量积的坐标公式即可求出平面的法向量的坐标，同理即可求出平面的法向量；结合空间数量积的运算公式代入数值即可求出夹角的余弦值，由此得到 平面与平面所成锐二面角。（）由数量积的夹角公式结合线面角与向量夹角的关系，代入数值即可得出关于的方程，结合方程根的情况即可得出答案。18【答案】（1）解：当点为短轴顶点时，的面积为，椭圆短轴长为 2，椭圆的方程为；（2）解：当直线 的斜率存在吋，设，由椭圆方程可得点，设，联立方程可得：，消元得，由可得：，分别令，可得：，设轴上的定点为，若为直径的圆过，则，问题转化为恒成立，即由及可得：代入到可得：解得：圆过定点.当直线斜率不存在时，直线方程为，可得为直径的圆过点，所以以线段为直径的圆过轴上定点.【解析】【分析】(1)根据题意由椭圆的方程以及三角形的面积公式，代入数值计算出 c 的取值，再由双曲线里a、b、c 的关系，由此计算出 a 与 b 的取值，从而即可得出椭圆的方程。(2)由已知条件结合点斜式设出直线的方程，再联立直线与椭圆的方程消元后即可得出关于 x 的方程，然后由韦达定理即可求出两根之积和两根之和的关于 k 的代数式，并把点的坐标代入到直线的方程整理化简结合向量的坐标公式计算出点的坐标，然后由直线与圆的位置关系，对直线的斜率分情况讨论由此即可计算出定点的坐标。