山东省青岛市4区市2022年高三上学期数学期中考试试卷附答案

高三上学期数学期中考试试卷 高三上学期数学期中考试试卷一、单选题一、单选题1设集合 ，则 （）ABCD2已知 ，则下列不等关系正确的是()ABCD3方程 的实数根所在的区间为()ABCD4已知 ，则“”是“与 的夹角为钝角”的（）A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件5已知函数 ，若关于 的方程 有两个不同的实数根，则实数 的取值范围为（）ABCD6已知 ，是空间中两条不同的直线，是空间中两个不同的平面，下列说法正确的是()A若 ，则 B若 ，则 C若 ，则 D若 ，则 7已知角 的顶点在坐标原点，始边与 轴非负半轴重合，终边上有一点 ，则 的值为（）A 或 BCD8如图，在四棱锥 中，底面 是边长为 2 的正方形，侧面 为等边三角形，平面 平面 ，为 上一点，为 上一点，直线 平面 ，则 的面积为（）ABCD3二、多选题二、多选题9已知等差数列 的前 项和为 ，公差 ，是 与 的等比中项，则下列选项正确的是()ABC 有最大值D当 时，的最大值为 2110将函数 的图象向左平移 个单位长度后得到函数 的图象，则下列说法正确的是（）AB函数 的图象关于点 成中心对称C函数 的最小正周期为 D函数 的一个单调递增区间为 11已知 为正四棱柱，底面边长为 2，高为 4，则下列说法正确的是（）A异面直线 与 所成角为 B三棱锥 的外接球的表面积为 C平面 平面 D点 到平面 的距离为 12设正实数 ，满足 ，则（）A 有最大值 2B 有最小值 C 有最小值 4D 有最大值 三、填空题三、填空题13已知 ，则 .14若 ，且 ，则 .15已知 是定义域为 的奇函数，为偶函数，当 时，若 ，则 ，的大小关系是 .16已知 是数列 的前 项和，则 ；若 ，则 .四、解答题四、解答题17如图，某圆形海域上有四个小岛，小岛 与小岛 相距为 5nmile，小岛 与小岛 相距为 nmile，小岛 与小岛 相距为 2nmile，为钝角，且 .（1）求小岛 ，围成的三角形的面积；（2）求小岛 与小岛 之间的距离.18如图，三棱柱 的所有棱长都是 2，平面 ，为 的中点，点 为 的中点.（1）求证：直线 平面 ；（2）求直线 到平面 的距离.19已知 为数列 的前 项和，为数列 的前 项和.（1）求数列 的通项公式；（2）若 对所有 恒成立，求满足条件 的最小整数值.20在“；，”这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并进行求解.问题：在 中，分别是三内角 ，的对边，已知 ，是 边上的点，且 ，若 ，求 的长度.21四棱锥 的底面 为直角梯形，且平面 平面 ，为 中点.（1）求证：；（2）若直线 与平面 所成的角为 ，求平面 与平面 的夹角的余弦值.22已知函数 ，.（1）若 ，求 的最大值；（2）若 ，求证：有且只有一个零点；（3）设 且 ，求证：.答案解析部分答案解析部分1【答案】B【解析】【解答】因为 ，则 ，即 ，因为 ，则 ，因此，.故答案为：B.【分析】根据题意由指数函数的性质即可求出 y 的取值范围，从而得出集合 M，再由对数函数的单调性整理即可求出 x 的取值范围，从而取出集合 N，然后由补集和交集的定义即可得出答案。2【答案】C【解析】【解答】若 、均为负数，因为 ，则 ，A 不符合题意.若 、，则 ，B 不符合题意.由不等式的性质可知，因为 ，所以 ，C 对.若 ，因为 ，所以 ，D 不符合题意.故答案为：C.【分析】根据题意由不等式的简单性质，对选项逐一判断即可得出答案。3【答案】A【解析】【解答】设 ，则 ，所以 是方程 的实数根所在一个区间.又 在 上单调递增，故方程 有唯一零点.故答案为：A.【分析】根据题意构造函数，再对其求导并把数值代入到导函数的解析式，由此计算出，然后由零点存在性定理即可得出答案。4【答案】C【解析】【解答】与 的夹角为钝角，则要满足 ，即 ，解得：且 因为 是 的真子集所以 是“与 的夹角为钝角”的必要不充分条件故答案为：C【分析】由数量积的夹角公式结合已知条件即可求出，由此得出 m 的取值范围，然后由集合之间的关系，结合充分和必要条件的定义即可得出答案。5【答案】D【解析】【解答】函数图象如下图所示：关于 的方程 有两个不同的实数根，说明函数 和 有两个不同的交点，由数形结合思想可知：，故答案为：D【分析】由已知条件结合对数函数和指数函数的图象即可得出函数 f(x)的图象，然后由数形结合法结合方程根的情况即可求出 m 的取值范围。6【答案】A【解析】【解答】由 ，所以 ，又 ，所以 ，A 对.由 ，则 或者 ，则 B 不符合题意.由 ，所以 ，又 ，则 或 ，C 不符合题意.由 ，则 、，D 不符合题意.故答案为：A.【分析】根据题意由空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，对选项逐一判断即可得出答案。7【答案】B【解析】【解答】，故答案为：B【分析】由任意角的三角函数的定义，代入数值计算出，并把数值代入到二倍角的正余弦公式，计算出结果即可。8【答案】C【解析】【解答】作 于 ，作 交 于 ，连 ，面 ，面 ，面 ，四边形 为矩形，且 ，且 ，面 ，为 的中点，故答案为：C.【分析】由已知条件结合线面垂直的判定定理即可得出 面 ，再由线面垂直的性质定理即可得出线线垂直，结合题意即可得出四边形 为矩形，由矩形的几何性质即可得出，然后由线面垂直的性质定理即可得出线线垂直，结合三角形中的几何计算关系把数值代入到三角形的面积公式，计算出结果即可。9【答案】B,C【解析】【解答】设 ，则 ，即 ，又 是 与 的等比中项，所以 ，即 ，化简得 .因为 ，所以 .联立 ，解得 ，.所以 ，A 不符合题意；又 ，B 对；由等差数列的前 项和公式可得 ，所以当 或 时 有最大值，C 对；又 ，所以当 时，故 的最大值为 20，D 不符合题意.故答案为：BC.【分析】根据题意由等差数列的项的性质和等差数列的前 n 项和公式，结合等比数列的项的性质整理化简计算出首项与公差的值，由此判断出选项 A 错误、B 正确；然后由等差数列的前 n 项和公式结合二次函数的性质即可求出的最大值，从而判断出选项 C 正确、D 错误，由此即可得出答案。10【答案】A,C,D【解析】【解答】对于 A 选项，将函数 的图象向右平移 个单位，可得到函数 的图象，所以，A 对；对于 B 选项，B 不符合题意；对于 C 选项，函数 的最小正周期为 ，C 对；对于 D 选项，当 时，D 对.故答案为：ACD.【分析】根据题意结合函数平移的性质即可求出，由此判断出选项 A 正确；再由特殊点法代入数值计算出结果由此判断出选项 B 错误；结合正弦函数的周期公式，代入数值计算出结果，由此判断出选项 C 正确；由正弦函数的单调性结合整体思想即可求出 x 的取值范围，由此得出函数的单调区间，从而判断出选项D 正确，从而得出答案。11【答案】B,C,D【解析】【解答】解：对于 A：由正四棱柱的性质得 ，所以 （或其补角）就是异面直线 与 所成的角，而正四棱柱的底面边长为 2，高为 4，所以 ，在 中，所以 ，A 不正确；对于 B：三棱锥 的外接球与正四棱柱 的外接球是同一个，且外接球的半径为 ，所以外接球的表面积为 ，B 符合题意；对于 C：由正四棱柱的性质得 ，又因为 面 ，面 ，所以 面 ，同理证得 面 ，又 ，面 ，所以平面 平面 ，C 符合题意；对于 D：设点 到平面 的距离为 d，则 ，由 A 选项的解析得 ，又 ，所以 ，解得 ，D 符合题意，故答案为：BCD【分析】由异面直线的定义结合正方体的简单性质即可判断出选项 A 错误；根据题意即可得出由此即可三棱锥 的外接球与正四棱柱 的外接球是同一个，结合已知条件即可求出球的半径，然后把数值代入到球的表面积公式计算出结果由此判断出选项 B 正确；由正四棱柱的性质得线线平行，然后由线面平行和面面平行的判定定理即可得证出结论，由此判断出选项 C 正确；由已知条件结合等体积法即可得出点 到平面 的距离，由此判断出选项 D 正确，从而得出答案。12【答案】A,D【解析】【解答】对 A，当且仅当 等号成立，A 符合题意；对 B，当且仅当 等号成立，B 不符合题意；对 C，当且仅当 等号成立，C 不符合题意；对 D，即 ，当且仅当 等号成立，D 符合题意.故答案为：AD.【分析】根据题意整理化简原式，然后由基本不等式求出代数式的最值，由此对选项逐一判断即可得出答案。13【答案】【解析】【解答】，故答案为：【分析】由已知条件结合向量模的运算性质，即可得出答案。14【答案】72【解析】【解答】由 ，故 ，又 ，故 ，即 ，所以 ，即 ，解得 ，故答案为：72.【分析】由已知条件即可得出，整理化简得到，即，结合对数的运算性质计算出 t 的取值。15【答案】acb【解析】【解答】解：由题得 ，所以 ，所以 ，所以函数的最小正周期为 4.所以 ，.所以 acb.故答案为：acb【分析】由已知条件即可得出函数的最小正周期，结合周期的定义代入数值计算出结果，由此即可得出答案。16【答案】15-2n；218【解析】【解答】，则 ，两式作差得到 ，当 时 成立，故得到 ；当 时，当 时，故得到：，.故答案为：；.【分析】根据题意由数列的通项公式和数列前 n 项和公式之间的关系求出数列的通项公式，然后由数列的前n 项和的定义整理化简即可得出，代入数值计算出结果即可。17【答案】（1）解：在 中，由余弦定理得，所以 所以 所以小岛 、，围成的三角形的面积为 .（2）解：因为 、，四点共圆，所以 与角 互补，所以 ，因为 ，且 为钝角，所以 所以 在 ，由正弦定理得：所以 所以小岛 与小岛 之间的距离为 5nmile.【解析】【分析】(1)由已知条件结合余弦定理代入数值即可得出的值，然后由同角三角函数的基本关系式计算出，再把数值代入到三角形的面积公式计算出结果即可。(2)根据题意由圆的几何性质计算出，由同角三角函数的基本关系式计算出的值，然后把数值代入到两角和的正弦公式计算出的值，结合正弦定理计算出结果即可。18【答案】（1）证明：取 中点 ，连接 交 于 ，连接 ，在三棱柱中，为 中点，点 为 的中点，且 ，且 ，四边形 为平行四边形，又 平面 ，平面 ，平面 .（2）解：由（1）得，点 到平面 的距离即为直线 到平面 的距离，连接 ，则 ，平面 ，平面 ，两两垂直，以 为原点，所在直线分别为 轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则 ，设平面 的一个法向量为 ，即 取 ，则 ，又 ，所以点 到平面 的距离为 ，即直线 到平面 的距离为 .【解析】【分析】(1)根据题意作出辅助线由中点的性质即可得出线线平行，由此得出四边形 为平行四边形，结合四边形的几何性质即可得出线线平行，然后由线面平行的判定定理即可得证出结论。(2)由（1）得，点 到平面 的距离即为直线 到平面 的距离即可得出线线垂直，由此建立空间直角坐标系求出各个点的坐标以及向量和平面法向量的坐标，再由数量积的坐标公式即可求出平面的法向量的坐标，结合点到平面的距离公式代入数值计算出结果即可。19【答案】（1）解：由题意 ，当 时，两式相减得：，即：，所以 时，为等比数列又因为 时，所以 ，所以，对所有 ，是以 2 为首项，8 为公比的等比数列，所以（2）解：由题知：所以 所以 所以满足 恒成立的最小 值为 674.【解析】【分析】(1)根据题意由数列的通项公式和数列前 n 项和公式之间的关系求出数列的通项公式，由此即可判断出数列为等比数列，从而求出数列的通项公式即可。(2)由(1)的结论即可求出数列的通项公式，然后由裂项相消法计算出，整理化简得出，从而求出 m 的最小值。20【答案】解：若选择条件由 ，根据正弦定理得 ，所以 ，即 ，也即 ，因为 ，所以 （1）式又因为 ，即 ，所以 ，又由（1）式，所以 ，所以 ，所以 ，因为 ，所以 ，在 中，所以 .若选择条件因为 ，且 ，所以 ，即 ，所以 ，又 ，所以 （1）式，又