北京市海淀区2022年高三上学期数学期中练习试卷附答案

高三上学期数学期中练习试卷 高三上学期数学期中练习试卷一、单选题一、单选题1在复平面内，复数 对应的点的坐标为（）ABCD2已知向量 ，若 ，则 =（）A1B-1C2D-23已知全集 ，集合 ，则集合 可能是（）A4BCD4已知命题 ，则 是（）A，B，C，D，5下列函数中，是奇函数且在其定义域上为增函数的是（）ABCD6“”是“”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件7已知等比数列 的公比为 ，若 为递增数列且 ，则（）ABCD8将函数 的图象向右平移 个单位，得到函数 的图象，则下列说法正确的是（）AB 是函数 的图象的一条对称轴C 在 上是减函数D 在 上是增函数9下列不等关系中正确的是（）ABCD10如图，A 是轮子外边沿上的一点，轮子半径为 .若轮子从图中位置向右无滑动滚动，则当滚动的水平距离为 时，下列描述正确的是（）（参考数据：）A点 A 在轮子的左下位置，距离地面约为 B点 A 在轮子的右下位置，距离地面约为 C点 A 在轮子的左下位置，距离地面约为 D点 A 在轮子的右下位置，距离地面约为 二、填空题二、填空题11已知 是数列 的前 项和.若 ，则 .12已知函数 ，则函数 的零点个数为 .13某生物种群的数量 Q 与时间 t 的关系近似地符合 .给出下列四个结论：该生物种群的数量不会超过 10；该生物种群数量的增长速度先逐渐变大后逐渐变小；该生物种群数量的增长速度与种群数量成正比；该生物种群数量的增长速度最大的时间 .根据上述关系式，其中所有正确结论的序号是 .14已知 中，则 ，.15已知命题 ：若 满足 ，则 是直角三角形.能说明 为假命题的一组角为 ，B=.三、解答题三、解答题16已知等差数列 满足 .（1）若 ，求数列 的通项公式；（2）若数列 是公比为 3 的等比数列，且 ，求数列 的前 n 项和 .17已知函数（1）求函数 的最小正周期；（2）设函数 ，求 的值域.18已知函数 ，（1）直接写出曲线 与曲线 的公共点坐标，并求曲线 在公共点处的切线方程；（2）已知直线 分别交曲线 和 于点 ，.当 时，设 的面积为 ，其中 O 是坐标原点，求 的最大值.19设 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 .（1）求角 A 的大小；（2）再从以下三组条件中选择一组条件作为已知条件，使三角形存在且唯一确定，并求 的面积.第组条件：，；第组条件：，；第组条件：边上的高 ，.20设函数 ，.（1）当 时，求函数 的单调增区间；（2）若函数 在区间 上为减函数，求 a 的取值范围；（3）若函数在区间 内存在两个极值点 ，且满足 ，请直接写出 a 的取值范围.21设正整数 ，集合 ，对于集合 中的任意元素 和 ，及实数 ，定义：当且仅当 时 ；.若 的子集 满足：当且仅当 时，则称 为 的完美子集.（1）当 时，已知集合 ，.分别判断这两个集合是否为 的完美子集，并说明理由；（2）当 时，已知集合 .若 不是 的完美子集，求 的值；（3）已知集合 ，其中 .若 对任意 都成立，判断 是否一定为 的完美子集.若是，请说明理由；若不是，请给出反例.答案解析部分答案解析部分1【答案】B【解析】【解答】由题意，所以 对应的点的坐标为 .故答案为：B.【分析】根据已知条件，结合复数的乘法原则和复数的几何意义，即可求解.2【答案】D【解析】【解答】因为向量 ，所以 ，解得：，故答案为：D.【分析】利用向量平行的坐标运算直接求解，可得答案。3【答案】C【解析】【解答】，又故答案为：C.【分析】由已知结合补集的性质可求 AB，然后结合补集运算进行判断.4【答案】C【解析】【解答】由全称命题的否定是特称命题知：，是 ，故答案为：C.【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论.5【答案】B【解析】【解答】对于 A，函数 是奇函数，但在其定义域上不单调，A 不正确；对于 B，函数 定义域是 R，是奇函数，当 时，在 上单调递增，当 时，在 上也单调递增，即函数 在其定义域 R 上单调递增，B 符合题意；对于 C，函数 是奇函数，但在其定义域上不单调，C 不正确；对于 D，函数 定义域是 ，它是奇函数，在 和 上单调递增，但在其定义域上不单调，D 不正确.故答案为：B【分析】根据函数奇偶性和单调性的性质，逐项进行判断，可得答案。6【答案】D【解析】【解答】若 ，则当 时，有 ，即 推不出 ，若 ，则当 时，有 ，即 也推不出 ，“”是“”的既不充分也不必要条件.故答案为：D【分析】根据不等式的性质及充分条件、必要条件的定义，可得答案。7【答案】C【解析】【解答】因为等比数列 为递增数列且 ，所以 ，则 ，即 ，故答案为：C.【分析】由已知条件结合等比数列的定义，即可求出答案。8【答案】D【解析】【解答】对于 A：因为将函数 的图象向右平移 个单位，得到函数 的图象，所以 ，A 不正确；对于 B：，可得 ，所以 不是函数 的图象的一条对称轴，B 不正确；对于 C：令 ，可得 ，所以 在 上单调递减，在 上单调递增，C 不正确；对于 D：由 C 知：当 时，所以 在 上是增函数，D 符合题意；故答案为：D.【分析】由条件利用函数 y=Asin(x+)的图象变换规律，再结合正弦函数的图象的对称性和单调性，逐项进行分析，可得答案。9【答案】B【解析】【解答】对于 A，而函数 在 单调递增，显然 ，则 ，A 不正确；当 时，令 ，当 时，当 时，即 在 上单调递增，在 上单调递减，都有 ，则 ，成立取 ，则 ，取 ，则 ，即 ，于是得 ，B 符合题意；对于 C，显然，C 不正确；当 时，令 ，则 在 上单调递减，于是得 ，所以 ，D 不正确.故答案为：B【分析】通过对数运算，利用对数函数的单调性，可判断出正确答案.10【答案】A【解析】【解答】车轮的周长为 ，当滚动的水平距离为 时，即车轮转动 个周期，即点 A 在轮子的左下位置，距离地面约为 ，故答案为：A.【分析】由已知求出轮子滚动的水平距离为 2.2m 时点 A 转到的角的大小，即可求得答案.11【答案】2【解析】【解答】因为 是数列 的前 项和.若 ，可得 ，所以 ，故答案为：2.【分析】根据题意，由数列的前 n 项和公式以及，计算即可得答案.12【答案】2【解析】【解答】解方程 ，当 时，而 ，于是得 ，即 ，当 时，解得 ，所以函数 的零点个数为 2.故答案为：2【分析】根据函数零点的定义，在分段函数的每一段求得零点，加起来就是零点的个数.13【答案】【解析】【解答】，因为 ，故 ，故该生物种群的数量不会超过 10，正确；由 ，显然该生物种群数量的增长速度与种群数量不成正比，错；因为 为对勾函数模型，故 ，当且仅当 时取到等号，故 整体先增加后减小，当 时，最大，故正确，综上所述，正确，故答案为：【分析】由分子常数化可得 Q(t)的范围，可判断；求得 Q(t)的导数，可得单调区间和极值、最值，可判断.14【答案】-1；-5【解析】【解答】因为 ，所以 ；，故答案为：-1；-5.【分析】由平面向量数量积的运算法则可求得 的值，由展开运算，即可得解。15【答案】；【解析】【解答】当 ，时，但 ，此时 不是直角三角形，说明 为假命题.故答案为：，【分析】根据三角函数值及命题的真假，即可得出答案。16【答案】（1）解：由，可得，两式作差得 ，因为 ，所以 ，则 是以首项为 2，公差为 2 的等差数列，故（2）解：由 是公比为 3 的等比数列，且 可得 ，设 ，则 是以首项为 1，公比为 3 的等比数列，故 ，即 ，结合分组求和法可得【解析】【分析】(1)将 n 换为 n+1，两式相减，由等差数列的定义和通项公式，进而得到数列 的通项公式；(2)由等比数列的通项公式可得 ，进而得到 bn，再由数列的分组求和，结合等差数列和等比数列的求和公式，计算可得数列 的前 n 项和 .17【答案】（1）解：函数 的最小正周期为（2）解：由第一问可知，设 ，则 当 时，取得最小值，；当 时，取得最大值，所以 的值域为 .【解析】【分析】(1)由题意利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用余弦函数的周期性，得出结论；(2)化简 g(x)的解析式，根据余弦函数的值域，二次函数的性质，求得 g(x)的值域.18【答案】（1）解：由 即 可得 ，所以 ，所以公共点坐标为 ，因为 ，所以在公共点处切线的斜率为 ，所以曲线 在公共点处的切线方程为 ，即（2）解：的面积为 ，因为 ，所以 ，所以 ，所以 ，由 即 可得 ；由 即 可得 ；所以 在 上单调递增，在 上单调递减，所以 ，所以当 时，的最大值为 .【解析】【分析】(1)求得 f(x)和 g(x)的交点，求导，根据导数的几何意义，求得曲线 y=f(x)在公共点处的切线方程；(2)根据三角形的面积公式，表示 S(a)的表达式，求导根据导数与函数单调性的关系，即可求得 S(a)的最大值.19【答案】（1）解：由 ，因为 ，化简得 ，（2）解：若选，则 ，由余弦定理可得 ，代入数据化简得 或 3，根据大边对大角原则判断，或 3 都成立，故答案为：不成立；若选，则 ，求得 ，由正弦定理可得 ，解得 ，由 ，因为 ，唯一，则 唯一，三角形存在且唯一确定，；若选，由 边上的高 可得 ，解得 ，又 ，由余弦定理可得 ，代值化简得 或 （舍去），三角形存在且唯一确定，【解析】【分析】(1)利用正弦定理化简已知条件可得 tan A，进而求得 A；(2)选：由余弦定理可得 或 3，不符合题意；选：先求得 sin C，结合两角和的正弦公式求得 sin B，再由正弦定理求得 a，进而可求得面积；选：先求出 b，由余弦定理求得 c，进而求得面积.20【答案】（1）解：当 时，则 ，由 解得：或 ，所以函数 的单调增区间是 ，.（2）解：函数 ，则 ，因函数 在区间 上为减函数，则 ，成立，即 ，显然 在 上单调递减，即 ，则 ，所以 a 的取值范围是 .（3）解：由(2)知，因函数 在区间 内存在两个极值点 ，则 在区间 内有两个不等根 ，即有 ，解得 ，且有 ，不妨令 ，则 ，当 或 时，当 时，则 在 处取得极大值 ，在 取得极小值 ，显然，由 两边平方得 ，而 ，即 ，整理得：，把 代入上述不等式并整理得：，解得 ，综上得 ，所以实数 a 的取值范围是 .【解析】【分析】(1)当，求得 的解析式，利用导数与函数单调性的关系，即可求得 的单调递增区间；(2)由题意可知，在(1，2)上恒成立，根据题意，分离参数，利用二次函数的性质，即可求得 a 的取值范围；(3)由(2)可知，利用韦达定理可得，分别求得 f(x1)+f(x2)和 f(x1)-f(x2)，代入，即可求得 a 取值范围.21【答案】（1）解：设 ，即 ，所以 是完美子集，设 ，可得 ，解得：，所以 不是完美子集.（2）解：因为集合 不是 的完美子集，所以存在 ，使得 ，即 ，由集合的互异性可得：且 且 ，所以 且 ，所以 ，可得 ，所以 ，即 ，所以 ，所以 或 ，当 时，解得：，所以存在 使得 ，当 时，因为 ，所以 ，不符合题意，所以 .（3）解：一定是 的完美子集，假设存在不全为 的实数 、满足 ，不妨设 ，则 ，否则与假设矛盾，由 ，可得 ，所以 与 即 矛盾，所以假设不成立，所以 ，所以 ，所以 一定是 的完美子集.【解析】【分析】（1）根据完美子集的定义，设，列方程组求得 ，的值即可判断；（2）由题意可得，存在，使得 ，列出方程组，解方程组，求出 m 的值，即可求解；（3）假设存在不全为 的实数 、满足 ，不妨设 ，则，由 结合已知条件得出矛盾即可求解。