《大学数学简明教程》习题参考解答

习题11.试利用贷款各参数间的关系式，完成以下公积金贷款利率表（表 1-9）.表 1-9 个人住房公积金贷款利率表年份月数月利率/%0年利率/%月还款额本息总额总利息11 23.454.1 4到期一次还本付息1 0 41 4.0 0 041 4.0 0 022 43.454.1 443 4.8731 0 43 6.9 4343 6.9 4333 63.454.1 42 9 5.8631 0 651.0 69651.0 694483.454.1 42 2 6.41 81 0 868.0 43868.0 435603.454.1 41 84.79 81 1 0 87.8611 0 87.8616723.82 54.591 59.1 541 1 459.1 1 71 459.1 1 77843.82 54.591 3 9.42 11 1 71 1.3 3 01 71 1.3 3 089 63.82 54.591 2 4.6561 1 9 67.0 1 11 9 67.0 1 191 0 83.82 54.591 1 3.2 0 51 2 2 2 6.1 512 2 2 6.1 511 01 2 03.82 54.591 0 4.0 731 2 488.73 62 488.73 62.某工厂有一水池，其容积为100，/,原有水为IOW?.现在每iomin注入0.5，/的水.试将水池中水的体积表示为时间/的函数，且问需用多少min水池才能灌满？解 设 水 的 体 积 为V,则 V=0.05r+100.05（min）3.以速率A（单位：c加3/5）往一圆锥形容器注水.容器的半径为R em,高为H.试将容器中水的体积V 分别表示成时间/与水高度y 的函数.V=At；V=-7rR2y yH解34.（手机服务的选择问题）假设目前的手机收费标准是这样的：“133环保网”的收费为每月基本费用5 0 元，每 通 话 1 min（不 足 1 min按 1 min计算）再 加 收 0.2 元；神州行无每月基本费用，但按每通话1 min（不 足 Im in按 1 min计算）加 收 0.6 元计算话费.若仅在本地区使用手机，如何选择手机服务？请给出一个建议.解 133环保网话费为4 =50+2；神州行话费为$2=0 6-邑=5 0-0 4 4 0 时,即”125（h）时，-邑,即 使 用“133环保网”所需交纳的话费较少，若每月通话时间不足125 m in则 用“神州行”合适.5.某公司每天要支付一笔固定费用3 0 0 元（用于房租与薪水等），它所出售的食品的生产费用为1 元/k g,而销售价格为2 元/k g.试问他们每天应当销售多少k g 食品才能使公司的收支保持平衡？解(2-l)x=300,x=300 他)6.设某商品的供给函数(即供给量作为价格的函数)为S(x)=x?+3x-7 0,需求函数(即需求量作为价格的函数)为。(幻=41 0 -x ,其中为价格.(1)(1)在同坐标系中，画出S(x),0(x)的图形；(2)(2)若该商品的需求量与供给量均衡，求其价格.解 S(x)=0(x)o/+3 x-7 0 =41 0 x =X|=-2 4,=2 0 由实际意义取x=2 07.有一物体作直线运动，已知物体所受阻力的大小与物体的运动速度成正比，但方向相反.当物体以4m/s 的速度运动时，阻 力 为 2N,试建立阻力与速度之间的函数关系.N 2N -kv,k-0.5N s/m,即 N =0.5v解 设 v 48.一架飞机起飞用油是一个固定量，着陆用油是一个(不同的)固定量，空中飞行每k m用油也是个固定量，所需的燃料总量是如何依赖于航程距离的？写出有关函数的表达式.解释表达式中常数的意义.解 设起飞用油为。，着陆用油$2,空中飞行用油为$3,则 与 S2 为常量，其中S3其中女为飞行每km用油量，/为航程，因此所需燃料总量S=6|+$2 +$3=4+5 2 +”9.财产保险要估价财产，例如对小汽车或冰箱进行估价.财产的价值将随其使用时间的加长而降低，也就是会贬值.例如最初花1 0 0 0 0 0 元购买的小汽车，几年后只值5 0 0 0 0元.计算财产值的最简单方法是利用“贬值直线”，它假定财产价值是时间的线性函数.如果 一 个 1 9 5 0 美元的冰箱7年后贬得一文不值，求出其价值作为时间函数的表达式.解 设财产价值为V,时间为乙 则此线性函数可设为V =%+b；,=0 时、V =1 9 5 0 =b；1 =7 口 寸，V =Ik+b=7k+9 5 0 =0,k=2 5 0 .所以 V =-2 5 0 1 +1 9 5 01 0.(1)利用表I/O 中的数据确定个形如Q =Q。的公式.该公式给出了时刻t(以月计)时，兔子的数量Q.(2)该兔子种群的近似倍增期是多少？(3)利用你的方程预测该兔子种群何时达到1 0 0 0 只.表 1-1 0t012345Q2 54 37 51 3 02 2 63 9 1：2 5 =。胆 =(。=2 5解(I)解方程组：4 3 =Q e 1-=054,所以公式为0 =2 5 e(2)由2 =e *得到：，=1.2 8(月)(3)由 1 0 0 0 =2 5 e 5 得到：”6.8 3(月)注：求 r的时候可以选取任意两组数据进行计算，也可以用其他方式进行计算，比如用各相邻两组数据的差的平均值.结果略有差异.1 1 .旅客乘坐火车时，随身携带物品，不 超 过 2 0 k g 免费，超 过 2 0 k g 部分，每 k g 收费 0.2 0 元.超 过 5 0 k g 部分再加收50%.试列出收费与物品重量的函数关系式.解 设 收 费 为 尸，物重为印，则当叩 2 0 时，P=0；2 050 时，P =0.2(W -2 0)+0.5(W -5 0)1 2 .某停车场收费标准为：凡停车不超过2 h的，收 费 2元；以后每多停车l h(不到l h 仍 以 l h 计)增加收费0.5 元.但停车时间最长不能超过5 h.试建立停车费用与停车时间之间的函数关系模型.解 设收费为P，停车时间为7 ,则当7 42 时，P =2；2T 5,P =2+(T-2)x 0.5 =0.5 T +11 3 .设仪器由于长期磨损，使用x 年后的价值是由下列模型。)=。2 叫确 定 的.使 用 20年后，仪器的价值为8 9 86.5 8元.试问当初此仪器的价值为多少？解 由。;。0 4,将、=2 0,0(2 0)=8 9 86.5 8 代入得到：8 9 86.5 8=Qo=2O 0 0 0(元)1 4 .生物在稳定的理想状态下，细菌的繁殖按指数模型增长：Q(f)=ae(表 示t m i n 后的细菌数)假设在一定的条件下，开始二)时有2 0 0 0 个细菌，且 2 0 m i n 后已增加到6 0 0 0 个，试 问 l h 后将有多少个细菌？2(0)=a =2 0 0 0；2(2 0)=2 O O O e2 0*=6 0 0 0 =e2 0*=3；解 Q(6 0)=2 O O O e6 0*=2 0 0 0(e2 0()3=2 0 0 0 x 33=5 4 0 0 0(个)1 5 .大气压力户随着离地球表面的高度的增加而呈指数减少：P =苹|加”其中今是海平面处的大气压力，,7 以 m计.(1)珠穆朗玛峰的顶峰海拔高8 84 8.1 3 m,那里的大气压力是多少？将其表示为海平面处大气压力的百分数；(2)一架普通商用客机的最大飞行高度大约是1 2 0 0 0 m.此高度的大气压力是多少？将其表示为海平面处大气压力的百分数.P =Ae T 2 l Y*8 84 8.1 3 =0 3 4 5 明=3 4.5 8%品解(2)P =玲 e-L 2 x【of i 2 0 0 0 =o 2 3 6 9 P0=2 3,6 9%凡1 6.某工厂的空气经过过滤使得污染数量P(单位：m g/L)正按照方程尸=P e 减少,其中 表示时间(单位：h).如果在前5h内消除了 10%的污染物：(l)1 0 h 后还剩百分之几的污染物？(2)污染减少50%需花多少时间？(3)画出污染物关于时间的函数图象，在图象上表示出你的计算结果.(4)解释污染量以这种方式减少的可能原因.P =Pue k,r =5 时，有(1 T 0%)兄=Ae-,e5 k=0.9,%=0.0 2 1(1)尸(1 0)=4e T”=与(e.)2 =0.81 4=81%兄解(2)尸=PaQk,=5 0%-n(e-*)=0.5 n f =3 3(h)(3)图像略。(4)略。1 7 .某有机体死亡t年后所剩的放射性碳-1 4 含量0 由式Q=。/一 ，给出，其中。是初始量.(1)考古控掘出土的某头盖骨含有原来碳T4含量的1 5%,估计该头盖骨的年龄.(2)试根据此方程计算碳T4的半衰期.解 由 Q =&e 4 ；1 5%。0=1 5 678.7(年)50=Qoe 0 0 0 n f =5 728.94(年)1 8.一幅佛m尔(V e r m e e r)(1 63 2 1 675)的绘画含有其原有碳T 4(半衰期为5 73 9年)含量 的 99.5%.根据这信息，是否能判断出该画是不是)1 品，请解释理由.解 由 上 一 道 题 目 Q =Q d ；99.5%。=。声仙 2 1=”4 1.4(年)即这幅画只有4 0 多年的历史，由画家的生卒年月判断这不会是画家的作品.1 9.某动物种群数量1月 1日低至700,7 月 1日高至900,其总量在此两值之间依正弦曲线改变.(1)画出种群总量关于时间的图象.(2)求出种群量作为时间t的函数的表达式，其 中t以月为单位计量.y268 10 12解A=800+1 00s i n（-x-）（2）设群量为A,则 1 2 220.同一元素的不同类（称为同位素）可能具有很不同的半衰期.杯-24 0的衰减由公式Q=0o e-给出，而杯-24 2的衰减则由公式Q =Q o e-w 给出，求杯-24 0和杯-24 2的半衰期.解 杯-24 0：0 =50%Q。=Q e w=f =6 3 01.3 4（年）杯-24 2：0 =50%Q。=Qne-M 0 0 0 1 8,=3 85 082（年）21 .某一储水池中水的深度在水的平均深度7 m 上下每隔6 h完成一次正弦振荡.如果最小深度为5.5 m,最大深度为8.5 m,求出水的深度表达式（单位：h）（可能的答案很多）.解 设 水的深度表达式为：=As i n（y/+e）+8,由题意可知，周期7 =6。从而nco=3 ,A=1.5,8 =7 则水深表达式为：H =1.5 s i n（y t +（p）+7其中e任意。2 2.在一个拥有80 000人的城市里，在 时 刻t得感冒的人数为、1 0 000N（t）=-1 +9 999e-/其 中t是以天为单位.试求开始感冒的人数及第4天感冒的人数.1 0 000,1 0 000N(7)=-，f =0 时，N(0)=-1解 由 1 +9 999e-/1 +9 999e (人)1 0 000N(4)=-r=54l +9 999 (A)23 .将卜列函数分解成基本初等函数的复合(I)y =s i M x .(2)y =l n f g 2x .z =(l-e f /(4)y=l n(x +71 +x2)解(1)由5=、=s i n x 复合而成；(2)由 y =l n“，u=t a n v,v =2x 复合而成；(3)由 y =，=l-v，v =e,t =-x 复合而成;(4)由)=l n ，u=x+l+x2 复合而成.24 .设，(x)=3 x 2+4 x,0)=l n(l +f),求火2),进而求/(。)；求/“).解(1)8(2)=ln(l+2)=ln3(2)/(。(2)=3(制 2)2+M 2)=3(ln3)2+41n3(3)/(9(X)=3(9(X)2+M x)=3ln(l+x)2+41n(l+x)2 5.求下列函数的反函数，指出定义域：(1)V-7+2；(2)y=l+ln(x+2).