函数项级数的一致收敛性与非一致收敛性判别法归纳(数学考研)

函数项级数的一致收敛性与非一致收敛性判别法归纳(数学考研)函数项级数的一致收敛性与非一致收敛性判别法归纳一 定义引言设 函 数 列 fn 与函数f 定义在同一数集D 上，若 对 任 给 的 正 数，总存在某一正数N,使得当n N时，对一切x D,都有f n x f x 则 称 函 数 列 fn 在上一致收敛于f x ,记作f n xf x n,x D设 u n x 是定义在数集E 上的一个函数列，表达式u l x u 2 x u n x ,x E(1)称为定义在E 上的函数项级数,简记为u n x 或u n x ；称n 1S n xu x ,x E,n 1,2,(2)kk 1为函数项级数的部分和函数列.设数集D 为 函 数 项 级 数 u n(x)的收敛域，则对每个x D,记 S(x)n 1n 1n(x),即1 im S n(x)S (x),nx D，称 S(x)为 函 数 项 级 数 u n(x)的和函数，称 R n(x)S(x)S n(x)n 1为 函 数 项 级 数 u n(x)的余项.定 义 1 1 设S n(x)是 函 数 项 级 数 u n(x)的部分和函数列，若S n(x)在数集D 上一致收敛于函数S(x),或 称 函 数 项 级 数 u n(x)在 D 上一致收敛于S(x),或 称 u n(x)在 D上一致收敛.由于函数项级数的一致收敛性是由它的部分和函数列来确定，所以可以根据函数列一致收敛性定义得到等价定义.定义2 1 设S n(x)是 函 数 项 级 数 u n(x)的部分和函数列，函 数 列 S n(x),和函数S(x)都是定义在同一数集D上，若 对 于 任 给 的 正 数，总存在某一正整数N,使得当n N时，对一切X D,都有S n(x)S(x),则 称 函 数 项 级 数 u n(x)在 D 上一致收敛于函数S(x),或 称 u n(x)在 D 上一致收敛.同时由R n(x)S n(x)S(x),故 R n(x)在 x D 上一致收敛于0.定义3设 函 数 项 级 数 u n(x)在区间D 上收敛，其和函数为S(x)nun 1n(x),部分和函数列S n(x)uk 1n若 o 0(x),no N 及 x D,使得 s(x)s n(x )o,N N ,o则 函 数 项 级 数 u n(x)在区间D 上非一致收敛.例 1 试 证 x n在 r,r (0 r 1)上一致收敛，但在(1,1)内不一致收敛.n 1证 明 显 然*在(1,1)内收敛于n 1x l x对任意的0,欲使当n N和r X r时，恒有nk 1xkxl XXn 11 x成立,只要当n N时，恒有rn 11 r成立,只要当n N时，恒有n 1成立,只要当n N时，恒有nlg 1 r Igrlg 1 r Igrlg 1rn成立，只要取N即可.依定义,XIgrn 1在 r,r上一致收敛于N 1N 2xl x存 在02e，对任意自然数N,都存在nono1,1，使k 1xokxol xoxono 11 xoN 111 N 和 xo1N 1N 12成立，依定义，乂!1在（1,1）内不一致收敛.n 1二 函数项级数一致收敛性的判定方法定 理 1 Cauchy一致收敛准则 1函 数 项 级 数 un x在数D上一致敛的充要条件为：对 0,总N N,使得当n N 时，对一切x D 和一切正整数p,都有Sn p x Sn x 或 un 1 x un 2 x un p xn p或u xkk n 1特别地，当 p 1 时，得到函数项级数一致收敛的一个必要条件：推 论 1 函 数 项 级 数 在 un x在数集D 上一致收敛的必要条件是函数列un x 在D 上一致收敛于0 定理22函 数 项 级 数 un x在点集D 上 致收敛于S(x)的充分必要条件是：n 1nlimsup un x S x:x D 0.nk 1定理3 放大法3Sn x 是 函 数 项 级 数 un x的部分和函数列,和函数S(x),都是定义在同一数集D 上，对于任意的n,存 在 数 列 an an 0，使 得 对 于 x D,有Rn x S x Sn x an,且 liman 0,则 称 函 数 列 Sn x 一致收敛于S(x),即 函 数 项 级 数 un x在 Dn上一致收敛于函数S(x).证 明 因 liman 0,故对任给的 0,N N(与x 无关)，使得当n N 时，对一-切nx D,都 有 Rn x S x Sn x an.由定义2 得 函 数 列 Sn x 一致收敛 于 S(x),即函数 项 级 数 un x在 D 上一致收敛于S(x).注:用放大法判定函数项级数un x 一致收敛性时，需要知道S(x).定 理 4确界法函数项级数在数集D 上一致收敛于S(x)的充要条件是1imsupRn x limsupS x Sn x 0nx Dn x D证 明 充 分 性 设 Sn x 是 函 数 项 级 数 un x的部分和函数列，S(x)为和函数,则有 Rn x s x Sn x,并令 an supRn x,而 limsupRn x 0,即liman 0,由定理3(放x Dn x Dn 0大法)得知函数项级数un x 一致收敛于函数S(x).必要性注：实质上是用极值的方法把一致收敛问题转化为求数列极限的问题.定理5 若un x在区间D 上收敛，则un x在 D 上一致收敛的充要条件是xn D,有 limRn x 0.n证 明 充 分 性 假 设 un x在 D 上不一致收敛，则 o 0,xn D,使得Sn x S x o,如 此 得 到 xn D,但 limRn xn 0,这与已知条件矛盾.n必要性 因 已 知 un x在 D 上一致收敛，所以 0,N,使得当n N 时,对一切x D,都有 Sn x S x，对于 xn D,则有Sn xn S xn，即 Rn xn，得limRn xn0.n例 2设 u n x 0,在a,b 上连续，又u n x 在a,b 收敛于连续函数f x ,n 1,2 ,贝 i j u n x 在a,b 一致收敛于f x .证 明 已 知R n x f x S n x (其中 S n xu x )是单调递减且趋于0,所以kk 1nn N,x a,b 有 R n x 0,且 x O a,b ,0,N(x0 R n x O,)0,n N x O,时,有将 n 固定，令 n N O N x，因为R n x f x S n x 在a,b 上连续，既然R nx ,所以 0 0,当 x x O 0,x O 0 时，R n x O .从而n N O 时更有R n x 即R n x,仅当 x x O 0,x O 0 .如上所述，对每个点x a,b ，可 找 到 相 应 的 领 域 x ,x 及相应的 N，使得n N时,对xx，X恒 有 R n X如此 x ,x :x a,b 构 成 a,b 的一个开覆盖，从而必存在有限子覆盖，不妨记为 x l 1,x l 1,x r r,x r r ，于是x a,b ,总 i 1,2,r 使得x (x i i,x i i),取 N m a x N l,N 2,Nr，那么 n N时，恒 有 R n x ，由定理5 得u x 在a,b 一致收敛于f x.n定理6 M判别法或优先级判别法或W e ie r s tr a s s 判别法 1设 函 数 项 级 数 u n x 定义在数集D 上，M n 为收敛的正项级数，若对一切x D,有u x (x)M n,n 1,2 (3)则 函 数 项 级 数 u n x 在 D 上一致收敛.证 明 由 假 设 正 项 级 数 u n x 收敛，根据函数项级数的Ca u c h y 准则，0,某正整数N,使得当n N及任何正整数p,有 M n 1 M n p M n 1 M n p 又由(3)对一切x D,有u n 1(x)u n p(x)u n 1(x)u n p x Mn 1Mn p根据函数项级数致收敛的Ca u c h y 准则，级 数 u n x 在 D 上一致收敛.注:若 能 用 从 判 定 u n x 一致收敛，则u n x 必是绝对收敛，故 M判别法对条件收n 1n 1敛的函数项级数失效.例 3函 数 项 级 数 有s innx n2s innx n2c o s nx 2在，上一致收敛,因为对一切xI n2I n2c o s nx n2I n2,而正项级数是收敛的.推 论 2设 有 函 数 项 级 数 u n x ，存在一收敛的正项级数a n,使 得 对 于 x I,有n 1limun x annk 0 k，则 函 数 项 级 数 un x在区间I 一致收敛n 1证 明 已 知 limun x anun x annk 0 k，即 0 0,N N,n N,x I,有k 0 即un x an0 k,从而un x 0 k an,又 因 为 an收敛，则 0 k ann 1n 1也收敛，由 M 判别法得函数项级数un x在区间I 一致收敛.n 1由广义调和级数n 1InP，当p 1时收敛,故当an=InP时，有推 论2 设 有 函 数 项 级 数un x，若存在极限limnpun(x)k且0 k,p 1,则n 1n函 数 项 级 数un x在区间I一致收敛.例4证明函数项级数n 11(x n)(x n 1)在0,是一致收敛的.证明对于n 11(x n)(x n 1),存在收敛的正项级数n 1In2,且limnn21(x n)(x n 1)1limn2n(x n)(x n 1)1由的推论2与推论2得，(x n)(x n 1)在 0,一致收敛.n 1定理7比 较 判 别 法4两 个 函 数 项 级 数 u n x 与v n x ,若N O N,当n N O,x I 有u n(x)c v n x (其中c为正常数)，且 函 数 项 级 数 v n x 在区间I 绝对一致收敛，则函数u x 区 间 I 绝对一致收敛.n证明已知 v n x 在区间I 绝对一致收敛,即对c0(其 中 c为正常数)，N 1 N,n N 1 及 p N,x I,有 v n 1 x v n 2 x v n p xN O,n N 0,x Ic;又由条件知有 u n(x)c v n x ；取 N m a x N 1,N O ，当 n N,p N,x I,有u n 1 x u n 2 x u n p x c v n 1 x v n 2 x v n pX c由收敛级数一致收敛Ca u c h y 准则知，函 数 项 级 数 u n(x)在区间I 一致收敛，从而函数项 级 数 u n x 在区间I 绝对一致收敛.定理8 4 若有函数级数 u n x 与 v n x ,N O N,n N O,x I 有u n(x)c v n x (其中c为正常数)，且 函 数 项 级 数 v n x 在区间I 一 致 收敛,则函数n 1u x 区 间 I 绝对一致收敛.nn 1证 明 已 知 N O,n N 0,x L有 u n(x)c v n x (其中c为正常数).又函数项级数v n x 在区间I 绝对一致收敛,即n 1c0,N 1 N,n N l,p N,x IW v n 1(x)v n 2 x v n p x v n 1 x v n p x 取N m a x N O,N 1，当 n N,p N,x I 有cu n 1 x u n 2 x u n p x u n 1 x u n 2 x u n p xc v n 1 x v n p xcc从 而 函 数 项 级 数 u n X在区间I 绝对一致收敛.推 论 3比较极限法若 有 两 个 函 数 级 数 u n x 与v n x (v n x 0),且 有 l imn 1n 1u n x v n xnk且 0 k ，若级 数 v n x 在区间I 绝对一致收敛，则 函 数 u n x 在区间I 也绝对一致收敛.证 明 由 l imu n x v n xu n x v n x u n x v n xnk 且