高等数学考研辅导讲义

高等数学考研辅导讲义概念清楚题型全面方法得当灵活熟练多元函数微分学-、二元函数1、二元函数的解析式例 1 设/(x,y)=W,求/(xj(x,x)x+y例 2.设/(x+y,上)=/一 V，求 f(x,y)X本例小结2、二元函数的极限.xyx2+y2 0例3设/(x,y)=,x2+y25讨论P(x,y)f 0(0,0)时函数极限0 x2+y2=0-2x yA -r y 广 U例 4 设 f(x,y)=-x4+y2讨论P(x,y)-0(0,0)时函数极限0 x2+y2=0本例小结i i m ,f用 J x+y +iT例5、X+Tl i m 1 +(awO 常数)pA xy)例6 l i mA-0,v-0 x2 s i n y7 2厂+)广l i m，+y 2)s i n-，x+y3 21加也，厂+y例7l i mA-0,v-0町l i m，+y 2 产 y2A-0.1 0本例小结3、二元函数连续；偏导存在；可微的讨论连 续 湿0偏导存在可 微=偏 导 函 数 连 续(1).函 数 在(%)处连续o屈1%，)=/(%)(2).函 数 在(%)处的偏导/（Xo +A x，%）一知%）(3).函 数 在(%凡)处可微o i m x+/y +A y)-如 x J Y(如 为加(知为加二。Arf 0TO +20 0例8设/(x,y)=Y +y2 -试问该函数在点(0,0)处是否连续？厂+y2=0偏导数是否存在?xy 2 2八例9设/(x,y)=尸 试问该函数在点(0,0)处是否连续?0,x2+/=0偏导数是否存在？是否可微？例10设函数/(x,y)=+)0%2+、2 X+y,试问该函数在点(0,0)处厂+y-=0是否连续？偏导数是否存在？是否可微？本例小结03 x?+V 2 H o例 11 设/(x,y)=K +y 2，-求甩(0,0)；&(0,0)0,x2+y2=0本例小结二、求偏导1.具体的复合函数求偏导例 13 (1)设du du du，求 一,dx dydz(2)设 r=x?+/+名2证 明 叱+空=2dx dy dz2 r(3)z-yja2-x2-y2求 Jl +z；+z；本例小结2.抽象的复合函数求偏导例 14(1)设z=/(孙，)+g(2)，其中/,g 有连续二阶偏导数，求 存y x dxoy(2)z=ya o 2(3)设=/a,孙，孙z)且/具有二阶连续偏导数，求 丝,dx dxdz(4)设函数z=/(x,y)在点(1,1)处可微，且/(1,1)=1,笠 =2,笠 =3,&(1.1)0,1)e(x)=/(xj(x,x),求 二/(X)dx x=i(5)设函数M(x,y)=/(x+)+/0-y)+g(f)d f ,其中/具有二阶导数，gJx-y具有一阶导数，计 算 剪-变dx dy本例小结3 .隐函数求偏导例 15(1)设e Z xy z=0,求 君OX(2)已知尸=0 确定z=z(x,y)其中/(，v),z(x,y)均有连续偏导数，求证l z z)dz dzx+y =z。dx dy设函数z(x,y)由方程F(x+上,y +Z)=0 所确定，证明x +y =z-xyy x ox dy(3 )=/(x,y,z)，e(x2,e z)=O,y =s i nx，d*0,求 学oz ax(4)设有三元方程D-z l n y +e，=l,根据隐函数存在定理，存在点(0,1,1)的一个邻域，在此邻域内该方程A只能确定一个具有连续偏导数的隐函数z=z(x,y)B 可能确定两个具有连续偏导数的隐函数y =y(x,z)和 z=z(x,y)C 可能确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y,z)和 z=z(x,y)D 可能确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y,z)和 y =y(x,z)本例小结4.求全微分例 16(1)求函数z=l n(l +x2+y2)当x=l,y =2 时的全微分(2)设“=/(x,y,z)有连续偏导数，z=z(x,y)由方程xe -y e =4所确定，求 成。本例小结5.综合题例 17设f(x,y)在 =(x,y)|x2+y 2 3)%i m ()力=一1 求 =f(r)ox dy x3 3(5)设 =/(A y z),/(O)=O,，=l,-=x2y 2z2/xy z)求“=/(r)oxdyoz(6)设x,y)可 微,/(1,1)=1,4(1,1)=a,yv(1,1)=b,o(x)=fx,f(x,f(x,x)求limli x-1Of/(O,y +-)设可微/人阿中才)叫 O/L求 Q三、多元微分学的应用1.几何应用空间曲线的切线与法平面，关维是求切向量例1 8在曲线x=r,y =R z=的所有切线中，与平面x+2y +z=4平行的切线有几条？本例小结 2 2 2(例1 9求曲线/-+V +z-=。在点a 2,1)处的切线和法平面方程x+y+z=O本例小结空间曲面的切平面与法线，关键是求法向量例2 0曲面V+2y 2+3 z2=21在点(1,-2,2)的法线方程和切平面方程例 2 1 曲面z=x?+y 2与平面2x+4y-z=0 平行的切平面方程2 2 2 2例 2 2 试证：曲面户+上任意一点处的切平面在各坐标轴上截距的平方和等于常数“2。2.求极值例 2 3 设z =z(x,y)是由/一 6 y+10)2 一 2”-2 2 +18 =0确定的函数，求z =z(x,y)的极值点和极值本例小结例 2 4 椭圆工2+4 2=4 上求一点，使其到直线2 x +3 y-6 =0 的距离最短本例小结2 2 2例2 5 在椭球面3+5+1T=1第一卦限上p 点处切平面，使与三个坐标平面所围四面体的体积最小，求p 点坐标。本例小结例 2 6 已知函数 z =/(x,y)的全微分d z =2 x d x-2 yd y,并且/(1,1)=2,求/(x,y)v2在椭圆域。=(乂)5 2+匕4 1 上的最大值和最小值4本例小结例 2 7 设有一小山，取它的地面所在平面为x O y坐标面，其底部所占的区域为D =(x,y)l x2+y2-x y 2 =三 心 垂直于3x+2y z 5=0 的平面方程。2-3 2例 8 求过平面1+y+z-1 =0，x-y-z =0 的交线与3 x-2 y +z=1垂直的平面方程2 x-4 y+z=1例 9 过(一1,一 4,3)与 右：1 1x+3y+5=0 x=2+4/及，y=-l-f 都垂直的直线方程z=3+2f例 10过(1,0,1)平行于x+y z 1 =0 且 与 四 =?t 2 =三相交的直线方程y=3x 2 y=4x 5例 11 过(-3,1,2)与直线都相交的直线方程z=2x-l z=5x+l4 上 Apr X l y+2 -2 X y-2 z+l g 八 H 工 口例 12 求直线L,:-=-=-Ly:=-=-的公垂线方程1 2-3 2 2 1 -1三、二次曲面多元函数积分学、二重积分 J J 7(x,y)d crD1.二重积分的定义2.二重积分的几何意义和物理意义若/(x,y)N O,二重积分07(x,y)d cr表示以z =/(x,y)为顶，以。为底，侧面是以。的D边界曲线为准线，母线平行与z轴的柱面的曲顶柱体的体积。若/(x,y)N O,二重积分J J 7(x,y)d。表示在平面上占有区域。的，面密度为/(x,y)的平面薄片的质量。D例 1.已知 D :x2+y2 a2,求/=j|7 2-x2-y2daD本例小结3、二重积分的性质1.=其中b为区域D的面积，据此可求平面图形的面积D2.比较性质若f(x,y)4 g(x,y),(x,y)w。，则 J J 7(x,y)d b 4 y)daD D特别的 J j 7(x,y)dc r J J|/(x,y)|dc rI D D推论：/(x,y)在。上非负连续，若 J J 7(X,)，MC T=0,则/(x,y)=OD3.估值性质 设M和m分别是/(x,y)在闭区域D上最大值和最小值，其中b为区域D的面积，则有W y)dc rW M c rD4.中值定理 设函数/(x,y)在闭区域D上连续，其中b为区域D的面积，则在D上至少存在一点(。,)，使 J J 7(x,y)db =/(4,)c rD5、二重积分的计算1)利用直角坐标计算二重积分 J j/(x,yW=f(x,y)dxdyD Da)若区域D是X型区域，则D可 以 用 不电等、(x式)y)(p匕3(x)，来表示，则a x bf(x,y)dyDb)若区域D是Y型区域，则D可以用不等式 受y/.(y)xy/0(y)来表示，则c y,2)J T ,其中。为 =2,=0,=1所围平面区域D/=J J x db,其中。：x 2+y2=8,y=0,y=l,y2=2 x 所围成平面区域D/=其中。：丁 =%,)，=1,=0所围成平面区域D本例小结2)利用极坐标计算二重积分 j j/(x,y)dc r=J J/(rc o s e,rs i n 6)rdrd，D D(pA 0)r(p,0a)若 积 分 区 域 可 用 不 等 式”2 来描述，a e ssinO)rdrDb)若 积 分 区 域 可 用 不 等 式 例%)来 描 述，a r h则 J J/c o s仇rs i n 9)4 4 6=f J r (/(rc o s0,rsin 0)rd0例3/=(XZ+VM。，其中。为/2+/2)=/(%)，则。7(x,y)dc r=2 0 7(x,y)dc rD。|i v.D关于y=x对称，/(x,y)在。上连续，鼻 表示。在y=x下方部分，则a)j j 7(x,)，)dc r=J J/(y,x M c r=；J J(x,y)+/(y,x)W(TD D,。b)如果/(x,y)=-/(y,x),则 J J/(x,y)db =0Dc)如果/(x,y)=/(y,x),则 J j 7(x,y)db =2 j j 7(x,y)dc rD D(例7 .设。是x O y平面上以(1,1),(一1/)和(一1,一1)为顶点的三角形区域，A是。的第一象限部分，则J J(盯+c o s x s i n y)dxdy等于DA)2 J J c o s x s i nydxdy B)2xydxdy C)4 J j(y+c o s x s i ny)dxdy D)04 A 乌例 8.计算/=J J，+孙J+)2)db ,其中 a):x2 4-y2 =3,=1,_=-1所围成平面区域，计算I=J j x l +)/(x2+y2)J c rD本例小结例 1 0 I=j|(x2+y2)dxdy,:x2 4-y2，=一D u u例 1 1 O:(x-l)2+(y-l)2 明已内公办,，其中 O=(x,y)l 0 W x l,0 2)公 办 收，Q是由曲面Z =54+/和7=5 1 工2 y 2所围成的闭区域Q|j j(x2+,2 +z2)dxdydz,Q为球体/+y2+(z -I)2 1Qzdxdydz,Q 由 x?+y?+仁 一。尸 工？及 工？+丁2 4 确定本例小结例 4计算下列三重积分J J J z 2 d x d y d z，。是由z =x?+与 z =1，z =4所围成的闭区域Q+y +z)dxdydz，Q 为球体x2+y2+(z-l)2 lQ(2 _ 21(/+/)公 力 以。为f =z 绕 z 轴旋转一周形成曲面与z =2,Z =8 所围成的闭QJ I X =。区域本例小结3.三重积分的应用1)求体积；2)求立体的质心及转动惯量例 5求半径为a的均匀半球体0 z a2-x2-y2(密度为1)的质心及转动惯量。三、对 弧 长 的 曲 线 积 分 j f(x,y)ds1 .物理意义2 .几何意义=L 的周长3 .计算方法(1)化为定积分平面曲线：参数方程：/(x,y)ds=y(，)J/2 )+y 2(f)d f (a 夕)直角坐标：j f(x,y)ds=j fx,+y (x)d x (a b)j /(x,y)ds=f fx(y),y J l +/(y)d y (c d)极坐标：f f(x,y)ds=P fp(p)c o s (