考研高数课件新高等数学上册辅导课件——第三章上课资料

第三章中值定理与导数的应用 罗尔定理中值定理拉格朗日中值定理丁 口 口 次 占 工+r的*十 士 叱 在部 明，确 定 无 穷 小 的 酸，求极跖柯西中值定理泰勒中值定理 洛 必 达 法 则 求 极 限应用一单 调 性，极 值，最值凹 凸 性，拐点渐近线求 解 函 数 的 性 态，充必要条件第一节微分中值定理极 值:设/（%）在“0的某一邻域U（%0）内有定义，若对一切工 有 “）之“%）（/（%）/（%（），则称/（X）在/取 得 极 小（大）值，称“0是/（X）的极小（大）值 点，极小值和极大值统称为极值，极小值点和极大值点统称为极值点。费马引理：设，（%）在=勺取极值，又，（与）存在,则 r（%o）=。在=出 取极值的必要条件：可导的极值点导数必为零。驻点：若r（）=o,则称尤=为/（*）的驻点。可导的极值点一定为驻点，但是驻点不一定为极值点。定理1（罗尔定理）:条件：在 切 上 连 续;在（a,方）可导；结论：一定存在。伍向,使得r e)=o。(2)若除端点外处处有不垂直于”轴的切线;几何意义：设Ab是(3)两端点纵坐标相等(D定义在口,加上的光 则 在 上 至 少 存 在 一滑曲线y =/(x);点C,其切线是水平的.即两端点同高的连续曲线内至少有一点的切线是水平的.(如图所示)obx【例1】(9 6 二)设/(x)在区间 a,上具有二阶导数，且/(a)=/S)=O,证明：存在J e (a,和 G(外 使/G)=0 及尸()=0.定理2(拉格朗日中值定理):条件：/(%)在 回 上 连 续；在3,3 可导结 论：一 定 存 在C (,/),使得=/b-a几何意义：设A3是(1)定义在3 W上的光滑曲线y=f(x)；(2)若除端点外处处有则在m,)内至少有一点处的切线平行于弦Aa不垂直于X轴的切线;yA r!6吟与罗尔定理的关系：罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情况。【例2】(9 0-)设不恒为常数的函数元)在闭区间 ,可上连续，在开区间Q 5)内可导，且f(a)=f(b),证明在Q内至少存在一点3使得re)o-【例3】（9 5 三）设/（%）在区间 a,“上连续，在（a,内可导，证明：在他,刀内至少存在一点使bf叱-af(a)=f0 +/q)b-a【例4 设/(x)在/连续，在U(%o)内可导，且lim/F(x)=A,则/(%)在/可 导,且/(%()=A【例5】证 明不 等 式由 ln(l+x)c,对一切X 0成立论间论推区推1：右/（%）在区间/上导数恒为零，则/（X）在2：若vx有尸=a。，证 明：存 在4小 工（,力）,使得亶3 目仍能A 注：三个中值定理的关系费马定理罗尔定理拉格朗日中值定理柯西中值定理定理4 （泰勒定理一带拉格朗日余项）I泰勒公式1条件：/（X）在含有勺的某开区间3,3 内具有直到+1阶的导数结论：对任意X G (,方)，至少存在一点J介于与与 工之间，使得/(x)=/(xo)+/r(xo)(x-xo)+4 r (x-xo)2+-”g)!(X-XQ)W+/(+)(?5+1)!(x x0)n+1该式为/(X)在点勺处的泰勒展开式,其中以=(7。严称为拉格朗日余项。泰勒公式2条件：/(%)在含有八的某邻域。(/)内具有直到%-1阶的导数;/(/)存在结论：对任意X GU(XO),有/(%)=/(/)+/(%0)(工一%()+(%-%()2+3n(X-Xo)n+O(x-x0)n),其 中%。(0)。该式中余项。(%-/)称为皮亚诺余项。泰勒公式中,当 出=0时，称为麦克劳林公式,即/(x)=/(0)+/f(0)x+/+仁义 +&(*)2!m其中R(X)=/5+i)(ao(+l)!或4(x)=o(x)常用的麦克劳林展开式:2 3xX X?=l+x +2!3!X+一n+R Q)n xk看 而+用.x3sin x=x-F3!2 70=Y（T）y+/、（i _）s =X +/（L）+x-zx+x-i =一/、7 i（）,尸（T严y +Z =/、uz i（/、00%+r （_）+IZd-Xz-=x S0 3：（T-W）曰I T Z-=1+X +X?+%，+.+%+（X）1-X2%+（%）2 3X Xln（l+X）=X-+-yx4+（-1尸 一+R Q）n+4噜 尸?+凡 泰勒公式的应用一求极限，确定无穷小的阶数1 v求极限 例 7(92 )求limxf 0X.e-sm x-1【答案】1【例8】(8 7-)求极限limx x e 1、【答案】；【例9】（9 1二）一 x-sin x求hm 丁G【答案】I62、确定无穷小的阶【例10】（92二）当x f 0时，x-sinx是，的（A）低阶无穷小.（B）高阶无穷小.（C）等价无穷小.（D）同阶但非等价无穷小.【答案】（B）【例11】（96二）设当-比，高阶的无穷小，则1（A）a=,b=1.2。时，+1）是(B)a=lb=1.1(C)a=,b=1.2【答案】(A)(D)a=L,b=1-第二节洛必达法则两种基本未定式:lim(1)lim f(x)=0,lim g(x)=0 xog(x)0 Xf 口 Xf 口 、00(2):lim/(x)=oo,lim g(x)=oo00 x-D x-D洛必达法则：条件：(1)满足基本未定式(2)f(x)与g(x)在口的附近内可导,且，(工)工。；（3）lim阴 存 在（或为8）,x n g（x）结论：lim=lim 4 1 口 g（x）xf 口 g（X）注1:注2：在用洛必达法则时，只要满足其条件，那么可以连续使用；注3：我们在使用洛必达法则时，可以与求解极限的其它方法联合使用；注4：在洛必达法则中条件(2)和条件(3),若有一个不成立，都说明此时不可以使用洛必达法则，需要使用其它的方法求解。【例1 2】极限向1叶 少 存 在 么？能否用洛必18 x-s i n x达法则求其极限？【答案】1【例1】（87三）求极限lim1ln(l+)x+8 arc cot x【答案】1【例2】（9 2 ）【答案】1求limxf 0ex-s inx-1【例3】(9 1-)【答案】|6-x-sin x求 IrniF-%。2(/-1)【例4】(9 2-)lim11x 2=_Xf o ex-COSX【答案】0注5:其它类型的未定式（08,0 0-0 0,0 0,0 ,I00）的求解:0.8乘 法 化 除 法 转 化 9或 凡 利用洛必达法则求解0 00r方法L 通 分 9或1利用洛必达法则求解0 0000-000.切再化成。或方利用洛必达法则求解0 0000小 严WX)000再化成9或2利用洛必达法则求解0 00-(/(x)-1)g(x)小产印-利用重要极限转化为0.00再化成 或名利用洛必达法则求解0 oo【例5】(9 3-)limxlnx=x f 0【答案】0【例6】（93二）求 lim x?+100+x）.X oo【答案】-50例 7(99)【答案】|lim(-x x tan x【例 8】(94 H)求极限lim x-x2ln(l+).X 00X【答 案 吗【例9】（94）【答案】|6lim cot xx 01 1sinx1、x）【例 10】（二）lim【答案】1【例11】(89 三)1求极限 lim(x+ex)xX f+8【答案】e第三节函数的单调性和极值一、函数单调性的判别法设/(%)在,加连续，在(“,)上可导，卜 升结论1：/(X)在 ,句上严格单调/二：、=(下降)在(a,5)上/(%)；：,且在3,)的任意小区间上 u jr(x)不恒等于零。卜 升结 论2：/(%)在 ,切 上 单 调,二、=在(,)上(下降)0(0)结论3：在上r：、n/(X)在”,回上单调(0.对任意X,/(-x)a).证明：方(%)在3,+0 0)内单调增加.二、函数的极值(复习)极值定义：设/(X)在/的某一邻域U(%)内有定义，若对一切X G U（X0）有/（X）/（x0）（/（x）o(O)(xe(xo-8,x0),f(x)0)(x G(x0,x0+b),则/是/（元）的一个极大值（极小值）点。若，（）在/两侧不变号，则/不 是/（%）的极值点。求极值的方法：（1）求函数/（X）的定义域和/（%）;（2）找r（%）=o和r（x）不存在的点;（3）判 断（2）中求出点两侧的/（X）的符号，得结论。【例5】(9 0-)已知/(x)在x=0的某个邻域内连续，且0)=0,l i m*L =2,则在点x=0处1-COS X/(X)()(A)不可导(B)可导，且，(0)工0.(C)取 得 极 大 值.(D)取得极小值.【答案】(D)【例6】(8 7-)当*=时，函数y=取得极小值.【答案】-1ln2取极值的第二充分条件：设/（）在X。的某邻域可导,r（xo）=o,且/”（与）存在。0,则与是 的 极 大 值 点，若/（%）0,则/是“X）的极小值点，=0,不能判断求极值的方法:（D求函数/（X）的定义域和r（*）；（2）找，（x）=o和r（“）不存在的点；（3）用充分条件二判断/（%）=0的点,用充分条件一判断/（X）不存在的点，得结论。【例7】设y=y(x)是由方程2y3 -2y2+2xy-x2=1确定的，求丁=火幻的驻点，并判定其驻点是否是极值点？【答案】驻点：x=l;极小值点三、最大值与最小值闭区间连续函数存在最大值和最小值，最值的可能点：驻点、不可导点和区间端点。求 最 值 的 方 法 一 求 函 数 y=/(x)在回上的最值：(1)求，(%),求 出/在 向上的驻点和使，(%)不存在的点；求出所求各点的函数值以及端点处的函数值(极限值)。比较大小，最大者为最大值，最小者为最小值。【例 8】求/(x)=在(0,+0 0)内的最大值、最小值。【答案】无最大值最小值点r=-2；最小值：y（e-2）=-2e-1特殊情况：可能的极值点唯一，根据该点左右两侧的单调性来判断最值。【例9】（92二）函数y=x+2cosx在区间0个 上的最大值为【答案】f +V36特殊情况：从实际应用中抽象出来的数学模型,若仅有一个驻点，则该点处的函数值就是所要求的最值，而不必进行判断。特别地：若函数“%）在区间 ,切连续且只有唯一的一个极值点X0,则 当/是 极 大（小）值点时它也就是/（%）在用上最大（小）值点。【例10在半径为百的球内作一内接圆柱体,要使柱体的体积最大，问其高及底半径应是多少？第四节曲线的凹凸性和拐点一、曲线的凹凸性定义：凹凸性的判别法：1、/（X）在区间3,6）内是凹（凸）的=/（%）在区间31）严格单调上升（下降）2、设/（元）在区间（见 方）内二阶可导，r（x）0（0）且在am 内的任何子区间上了 （“）不恒等于零，则/(%)在区间3 M内 是 凹(凸)的。常用的充分判别法：函数/(%)在区间切上连续，在区间3,)内二阶可导，且 尸(x)O(v O)(xw(a,m)=/(x)在 a,加上为凹(凸)的【例1】(91-)曲 线y=e*的上凸区间是【答案】V1 4122二、拐点定 义：连接曲线的凹弧与凸弧的分界点叫做曲线的拐点。拐点的必要条件：若(%(%)是 曲 线 产f的拐点且/(%)存在,则/(4)=0。拐点的充分条件：充分条件一：若 在/处 连 续，在巧两侧广反号，贝1(4(%)是曲线y=/(x)的拐点。充 分 条 件 二：若/（%）在/处 三 阶 可 导，且r（xo）=O,而/（与）w o,则（/（%）是曲线y=/（X）的拐点。推广：若/(X)在%0 处 阶可导，且/(4)=/(4)=f D(/)=O,W/(n)(xo)O,则当为偶数时,%。是曲线y=/(x)的极值点;当为奇数时,(%(%)是曲线y=/(X)的拐点。求拐点的方法:(1)求函数/(X)的定义域和/(%);(2)找/(%)=0和/(X)不存在的点；(3)用充分条件二判断/()=0的点,用充分条件一判断了 (%)不存在的点，得结论。【例2】(9 0二)求曲线了=。0)的拐点1+X【答案】3【例3 1设函数/（X）在（-00,+0 0）上有定义，则下述 命 题 中 正 确 的 是（）（A）若