考研数学2003-2013历年真题+答案详解

2003年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填 空 题(本题共6小题，每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上)(1 )设/(X)=0,f(x)=g(x)=若 第:L而D表示全平面，则/=|7(x)g(y -x)dxdy=二、他，o(4)设n维向量。=(兄0,.,0,4)丁,4 j s in(x2+y2)dx dy.D其中积分区域D=(x,y)N +y2 万 .六、(本题满分9 分)8 r2/l求幕级数1 +E(-1)(x 0)，中二次型的矩阵A 的特征值之和为1,特征值之积为-12.(1)求 a,b 的值；利用正交变换将二次型f 化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵.十一、(本题满分1 3分)设随机变量X的概率密度为/(X)=，若xe l,8,其他；F(x)是 X的分布函数.求随机变量Y=F(X)的分布函数.十二、(本题满分1 3分)设随机变量X与 Y独立，其中X的概率分布为(1 2)X ，(0.3 0.7J而 Y的概率密度为f(y),求随机变量U=X+Y 的概率密度g(u).2003年考研数学(三)真题解析一、填 空 题(本题共6 小题，每小题4分，满分24 分.把答案填在题中横线上)2 j_ 若 x *0(1)设/(x)=x C0S-；2 _ 其导函数在x=o 处连续，则2 的取值范围是2 2.Q 才 T X =0,【分析】当XX。可直接按公式求导，当 x=0 时要求用定义求导.【详解】当41 时，有/(X)=2 时，有l im/(x)=0 =/(0),即其导函数在x=0 处连续.(2)已知曲线y =与 x 轴相切，则/可 以 通 过 a 表示为/=荷.【分析】曲线在切点的斜率为0,即y =0,由此可确定切点的坐标应满足的条件，再根据在切点处纵坐标为零，即 可 找 到/与 a的关系.【详解】由题设，在切点处有y 3x2-3 a2=0 ,有 XQ=a2.又在此点y 坐标为0,于是有0 =X；-3a2 xn+b=0,故 b2 x (3a2 XQ)2-a2-4 a4 4a6.【评注】有关切线问题应注意斜率所满足的条件，同时切点还应满足曲线方程.(3)设 a0,/(x)=g(x)=若一 1而 D 表示全平面，则/=-x)dx dy -6.【分析】本题积分区域为全平面，但只有当0 4 x 4 l,0 4 y-X 4 1时，被积函数才不为零，因此实际上只需在满足此不等式的区域内积分即可.【详解】/=j j/(x),g(y-x)dx dy =Jk dx dyD 0 xl,0y-xl-a dy =a (x+l)-x Jx =a2.【评注】若被积函数只在某区域内不为零，则二重积分的计算只需在积分区域与被积函数不为零的区域的公共部分上积分即可.(4)设n维向量a =(。,0,。)丁,4 0；E为n阶单位矩阵，矩阵A=E aa1,B=E -a a1,a其中A的逆矩阵为B,则a=-1.【分析】这里a a 7为n阶矩阵，而 a =2/为数，直 接 通 过=石进行计算并注意利用乘法的结合律即可.【详解】由题设，有A B =(E-a aT)(E-a aT)aT 1 T 1 T T-E-aa+a a a a a aa a-E-aaT+aaT-a ara)aTa a-E-aa1+aaT-2 a a aJa1 7二 +(1 2a H=E,a于是有 一1一2。+,=0,即 2a2+a 1 =0 1解得 a =,a =-l.由于 A0 x-0【评 注1】本题也可用反例排除，例如他)=5则此时8仅)=!1 *可排除俗),出),(0三项，故x 0,x=0,应选(D).【评 注2】若f(x)在x=/处连续，则=A/O o)=0,/0()=A.x-xQ(2)设可微函数f(x,y)在点(%,以)取得极小值，则下列结论正确的是(A)/(匹),)在丁=%)处 的 导 数 等 于 零.(B)/(尢0，/)在 二/)处的导数大于零.(C)/(x(),y)在=%)处的导数小于零(D)/(Xo，y)在y=处的导数不存在A【分析】可微必有偏导数存在，再根据取极值的必要条件即可得结论.【详解】可微函数f(x,y)在点(九o，y 0)取得极小值，根据取极值的必要条件知/；(%,为)=(),即/(1 0，丁)在y=%)处的导数等于零，故应选(A).【评 注1】本题考查了偏导数的定义，了0，田 在=%处 的 导 数 即f：(Xo，y 0)；而/(x,y 0)在x=x0处的导数即/(公，咒).【评 注2】本题也可用排除法分析，取/(x,y)=/+y 2,在g o)处可微且取得极小值，并且有/(0,y)=y 2,可排除(B),(C),(D),故正确选项为(A).(3)设pn=包；同,qn=良一?%1,n=1,2,，则下列命题正确的是(A)若f a,条件收敛，贝“与 都 收 敛.M=I n=l w=l 若 明 绝对收敛，则“与心 都收敛.M=1=1 =1(C)若f a“条件收敛，则“与 敛 散 性 都 不 定.n=l n=l n=l(D)若“绝对收敛，则f p“与 或 敛散性都不定.B n=ln=1【分析】根据绝对收敛与条件收敛的关系以及收敛级数的运算性质即可找出答案.【详解】若2%绝对收敛，即工|%|收敛，当然也有级数2%收敛，再根据p“n=l n=l=1 2a 1/7 I 8 ”及收敛级数的运算性质知，P”与Z私都收敛，故应选伯)2?J=|N=la b b(4)设三阶矩阵A=b a bb b a,若A的伴随矩阵的秩为1,则必有(A)a=b 或 a+2b=0.(B)a=b 或 a+2b W 0.(C)awb 且 a+2b=0.(D)aWb 且 a+2bW0.C【分析】A的伴随矩阵的秩为1,说明A的秩为2,由此可确定a,b应满足的条件.【详解】根据A与其伴随矩阵A*秩之间的关系知，秩(A)=2,故有a b bb a。=(q+20)(。一。了=0,即有Q+2Z?=0 或 a=b.b b a但当a=b时,显然秩(A)#2,故必有aW b且a+2b=0.应选(C).【评注】n(nN 2)阶矩阵A与其伴随矩阵A*的秩之间有下列关系:n,r A)-n,r(A*)=1,r(A)=n-1,0,r(A)n -1.(5)设名,4,均为n维向量，下列结论不正确的是(A)若对于任意一组不全为零的数勺,&2,，都有+%2a2+则%，。2,，巴线性无关.(B)若 即%，,见 线 性 相 关，则 对 于 任 意 一 组 不 全 为 零 的 数 片 也，心，都有匕4+k2a2 H-F kxas=0.(C)%,a”,见 线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为s.(D)%,。2,鬼线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关.B 【分析】本题涉及到线性相关、线性无关概念的理解，以及线性相关、线性无关的等价表现形式.应注意是寻找不正确的命题.【详 解】(A)：若对于任意一组不全为零的数占，的，心，都有 曷%+%2a2+幻 鬼/0，则%,如，,见必线性无关，因为若名,。2,，4 线性相关，则存在组不全为零的数占,心，儿，使得+k2a2+I-ksas=0，矛 盾.可 见(A)成立.(B)：若必,鬼线性相关，则存在一组，而不是对任意一组不全为零的数占水2,段，都有匕逐+女 2a2+%=0.(B)不成立.(C)3,，氏线性无关，则此向量组的秩为s；反过来，若向量组内,4 的 秩 为 s,则见，,4 线性无关，因 止 匕(C)成立.(D)4 线性无关,则其任一部分组线性无关，当然其中任意两个向量线性无关，可见2)也成立.综上所述，应选(B).【评注】原命题与其逆否命题是等价的.例如，原命题：若存在一组不全为零的数匕，七，,心，使得 4+七%+用 4=0成 立,则 囚,。2,见线性相关.其逆否命题为:若对于任意一组不全为零的数匕,女2,心，者 I W kax+k2a2+I-kxax 0,则 即。2，,4 线性无关-在平时的学习过程中，应经常注意这种原命题与其逆否命题的等价性.(6)将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：4=掷第一次出现正面,4=掷第二次出现正面，4=正、反而各出现一次,4=正面出现两次,则事件(A)A|,4,A 3 相互独立.(B)4 2，4，4 4 相互独立.(C)4，4 2，4 3 两两独立.(D)4,4 3，4 4 两两独立.C 【分析】按照相互独立与两两独立的定义进行验算即可，注意应先检查两两独立，若成立，再检验是否相互独立.【详解】因为P(A)=g,P(&)=g，2(&)=；，P(A J =；，且 P(A,A2)=,P(A,A3)=,P(&)=；,P(A2A4)=i P(A,A2A3)=O,可见有P(AtA2)=P(A1)P(A2),P(A,A3)=P(A,)P(A3),尸(A 2A 3)=尸)2)尸(4),尸(A A2A 3)#P(A J P(4)尸(4),P(A2A4)+P(A2)P(A4).故4,4 2,A 3 两两独立但不相互独立；A2M3,4 不两两独立更不相互独立，应选(C).【评注】本题严格地说应假定硬币是均匀的，否则结论不一定成立.三、(本题满分8 分)设，/、1 1 1 J 八/(x)=+1-7,x e 匕,1).m s m OT 乃(1 一 x)2试补充定义f 使得f(x)在g,l 上连续.【分析】只需求出极限l i m/(x),然后定义f(l)为此极限值即可.【详解】因为l i m/(%)=l i m +-X T Rx T rm s i n x 7u(l-x)1 1 (l-x)-s i n TZX+h m -r e 乃(l-x)s i n xI I 一 -7T-7T COS 71X=H l i m-71 71 一 s i n；ZX+(l-x)乃 C OSTTT712 s i n x71+-l i m ,7t-r e c o s m-7 i c o s m-(-x)7i s i n7 1 X,171由于f(x)在；,1)上连续，因此定义/(1)=-)71使 f(x)在 上 连 续.【评注】本题实质上是一求极限问题，但以这种形式表现出来，还考查了连续的概念.在计算过程中,也可先作变量代换y=l-x,转化为求)，-0+的极限，可以适当简化.四、(本题满分8 分)设 f(u,v)具 有 二 阶 连 续 偏 导 数，且 满 足 空+吨=1 ,又 g(x,y)=/T盯求du dv 2一也dx2 dy2【分析】本题是典型的复合函数求偏导问题：g=f(u,v),u x y,V=(x2-y2),直接利用复合函数求偏导公式即可，注 意 利 用 =.du dv dvdu【详解】邈_ _dx:y-F x ，du dv里 一包一匹.du dv故e 2 gdx22d2f .d2 f=y -+2x y du2 du dv+一驾+或,dv2 dva 2 gSy22 S2f ,d2f=x c 2x y -du2 dvdu+/驾名.dv2 dv所以e 2 gdx2+空/2-(x-+y2)(+(xdu2)察=x2+尸【评注】本题考查半抽象复合函数求二阶偏导.五、(本题满分8 分)计算二重积分I=j j e s i n(x2 4-y2)dx dy.D其中积分区域 D=(x,y)|x2 4-y2 7r .【分析】从被积函数与积分区域可以看出，应该利用极坐标进行计算.【详解】作极坐标变换：x =r c o s ,y =r sin O 9有I =e J J e(x +y 2)s i n(x2+y2)dx dyDIr e r l s i n r2J r.令I =/，则l=m e l s i n tdt.记 A =e sin tdt,则A =-，/i n t de l=-e,s i n/0-1 e l c ostdt=-T c os tde1=-e l c o s t()+/sin tdt+1-A因此 A =(l +e-),2欢？八 一 n 兀 八 =(y+e)=(1 +e ).2 2【评注】本题属常规题型，明显地应该选用极坐标进行计算，在将二重积分化为定积分后，再通过换元与分步积分（均为最基础的要求），即可得