1990-2016考研数学二历年真题

2 016年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题选择：1 8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合要求的.（1）设q=x（cos6一1），4=ln（l+正），4 =尤+1 1 .当0+时,以 上3个无穷小量按照从低阶到高阶拓排序是(A)（B）。2，/，4,(C)4,a1,%.(D)%,%，4.2cx 1),xL(2)已知函数/(%)=1,、(x-1)2,x l.、(x-1)2,x,x(lnx+l)-l,x 1.、(工一1)2,X.、(C)F(x)=1.(3)反常积分八，二姮公的敛散性为J-0 0 X Jo V(A)收 敛，收敛.(B)收 敛，发散.(x-1)2,X.（C）收 敛，收敛.（D）收 敛，发散.（4）设函数/（X）在（一oo,Ko）内连续，求导函数的图形如图所示，则（A）函数/（X）有2个极值点,（B）函数/（X）有2个极值点,（C）函数/（X）有3个极值点,曲线y=/（X）有2个拐点.曲线y=/（x）有3个拐点.曲线y-7（x）有1个拐点.（D）函数/（x）有3个极值点，曲线y=/（x）有2个拐点.（5）设函数力（x）（i=l,2）具有二阶连续导数，且（%）0=1,2）,若两条曲线）,=力食）=1,2）在点（%为）处具有公切线y=g（x）,且在该点处曲线y=力（x）的曲率大于曲线y=.八（x）的曲率,则在毛的某个领域内，有(A)ft(x)f2(x)g(x)(B)f2(X)fi(X)g(X)(C)f x)g(x)f2(x)(D)f2(X)g(X)1(B)ci -2(C)-2 a 0),求，(x)并求/(x)的最小值.(1 7)(本题满分10分)己知函数 z=z(x,y)由方程 Q?+V”+in z+2(x+y+1)=0 确定，求 2=z(x,y)的极值.(1 8)(本题满分10分)2 2设。是由直线y=l,y=x,y=-x 围成的有界区域，计算二重积分dxdy.(1 9)(本题满分10分)已知y(x)=/,%。)=鼠%)d 是二阶微分方程(2xD y(2 x+l)y+2 y =0 的解，若以(l)=e,(0)=-1,求u(x),并写出该微分方程的通解。(2 0)(本题满分11分)设。是由曲线y=与|x =csJ j o v f w 2 围成的平面区域，求。绕轴旋转一周所得旋转体的体y=sin z k 2)积和表面积。(2 1)(本题满分11分)37r 3乃 cos x已知/(%)在 0,上连续，在(0,)内是函数 的一个原函数/(0)=0。2 2 2%-343乃(I)求/(%)在区间 0,芋 上的平均值；3万(I I)证明/(X)在区间(0,号)内存在唯一零点。(2 2)(本题满分11分)1设矩阵A=1、a+l1011-4、aa+1,0、P=1、2 a-2.,且方程组A r=P 无解。(I)求。的值;(I I)求方程组ArAx=尺 0的通解。(2 3)(本题满分11分)0-1 1、己知矩阵4=2-3 0、。0。,(I)求(I I)设 3 阶矩阵3 =(,4，外)满足82=8 4。记 8=(直，片,用)，将 4,四,力，分别表示为q,4，4 的线性组人口。2 015年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：18小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纲指定位置上.(1)下列反常积分中收敛的是()+00 +00 +00 40 0(A)J =cbc(B)J-dx(C)J-dx(D)J-dx.x函数 f(x)=lim(l+U)7 在(-a),4w)内()(A)连 续(B)有 可 去 间 断 点(C)有跳跃间断点(D)有无穷间断点V 。丫设函数./()=丁(a 0,/?0),若/)在 x=0 处连续，则()0,x (B)0 a 4(C)a，2(D)0 (%)=(1 3)若函数z=z(x,y)由方程e*+2，+3z+孙z=i确定，则d z。广(1 4)设3阶矩阵A的特征值为2,-2,1,B =A2-A+E,其中E为3阶单位矩阵，则行列式忸卜三、解答题：1523小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15、(本题满分10分)设函数/0)=%+。1!1(1+)+法5由%，g(x)=6 2,若/(尤)与g(x)在x-0是等价无穷小，求女的值。16、(本题满分10分)设 A 0,D是由曲线段y =A si n x（O x 1）及直线y =o,x =g 所形成的平面区域，V,匕分别表示D绕 X轴与绕丫轴旋转所成旋转体的体积，若 耳=%,求 A的值。1 7、（本题满分1 0 分）已 知 函 数 满 足&ay）=2（y +l）e、，f：（x,O）=（x+l）/,/（0,y）=+2 y,求的极值。1 8、（本题满分1 0 分）计算二重积分,其中 ）=1（x,）|x2+j y2 x21 D1 9、（本题满分1 0 分）己知函数/（x）=f J i 仔 Z r+J：J T 77流，求/（%）零点的个数。2 0、（本题满分1 1 分）已知高温物体置于低温介质中，任一时刻物体温度对时间的关系的变化与该时刻物体和介质的温差成正比，现将一初始温度为1 2 0 的物体在2 0 。恒温介质中冷却，3 0 mi n后该物体温度降至3 0 ,若要使物体的温度继续降至2 1 C ,还需冷却多长时间？2 1、（本题满分1 1 分）已知函数八九）在 区 间 T 9。）上具有2阶导数，/（a）=0,7（幻 0,设b a,曲线y =/（x）在点（b,f（b）处的切线与X轴的交点是（玉）,0）,证明：a xQ b o2 2、（本题满分1 1 分）7 1 0、设矩阵A=1 a-1 ,且 4=0,（1）求 a的值；（2）若矩阵X满足X-X42一 +，其中Z 为 3阶单、0 1 a 1位矩阵，求 X。2 3、（本题满分1 1 分）设 矩 阵 A=-12 -3、-2 0、3 -3,相似于矩阵8=0 /7 0 2 Q)0 3 1,（1）求 a,b 的 值（2）求可逆矩阵P,使 P-MP 为对角矩阵。2014年全国硕士研挺入学统一考试数学二试题一，I小 区 每 小 题 4 分，共 32分,下九细眸出的四个选项中，只有T i g 项符创#目要京机诗椿所选项前的字母填在答eK指定位置上.(1)当X TO时，若l n Q +2 x),(l-co$x)(A)(2,+8)(B)(1,2)(2)下列曲践府惭近钱蚪是(A)y-x+s i nx(0 y-s i n x均是比X离KT的无界小，则a的取值范用是()(1.1)(0,1)()(B)y -x2 f s i n x(D)y -A?+s i n3 x 设 函 数/5)具有2阶导效，g a)=/(ox】-x)+/a”，用在i叫o j上(A)当 r a)2 0 m /(x)g(x)当 人 力2 0比 /(x)5 g(J)(C)为/(力 之。计，/(x)g(x)(D H(a)N O时，/(x)g(x)彳+7.(4)曲线4 、上对应干，工1的点处的的率半径是()y =尸 +4/+1迪 妈(oi o/F 0)5 71 05 0 1 0 0(5)设函敢/(力=a r cta n若/)豕()，.JR柜 弄=(A)l W O5(D)!3 2 3a?(6)改曲政”(x y)在有界闭区域。上连续.在。的内部具K 2阶连续偏导效.0 0dxdf$u充+歹O.M(A)M X y)的量大值和馒小值都在管的边界上取得(B)以(x,y)的最大值和最小值都备D的内部上取杼(C)以(x,y)的最大值在Q 蚪内部取得.最小值在D的边界上取得C D)(x,y)的最小值在Q 的内部取野，最大值在D的边界上取得0b _0 =d(B)-(a d-bc)1(7)行列式0 a ba 0 0Q c dc 0 0C A)(a d-be )(0 c?屋-比2(D)比 JU(8)设%,%,%均为3维向量，则对任意常数/.向量:组叼+尢,%+/%线性无关是向量组%,生 均 线性无关的C A)必要芈充分条件(B)充分非必要条件(0充分必要条件(D)既寸充分也寸必要条件二、填 制；0L 14小册,每小JK 4分，共24分,H桥笞震耳在督甑指定位f匕(1 0)设/是周期为4的可导奇函数.旦 (另二？6一1)，工。,2 ,则，(力=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _.7(I I)设2=2(工,了)是由方程+2 确定的函数，则-(1 2)曲线1的板坐标方程是r=e,则乙花点(r,d)=处的切线的直角坐标方程是(1 3)一根4为1的细像也干x轴的区间 0,1)上，者其线密度9卜)=-r+为+1,则该细惨的质心坐标了=.(1 4)设二次型=如 的 负 惯 性 指 数 是1.则a的取值范圉_ _ _ _ _ _ _ _ _.三、解 答 即 1523小 黑 共 M 分.请翔幡写在饰即K指定位上 弼 射 S写出文字说明、证明过程划算步St(1 5)(本题满分1 0分)Ji 产 /-I -/d l求极限l i tn-L-inn回(1 6)(本题满分 1 0分)已知凿效y-y(x)/足微分方程1-y .B y(2)-0 ,求y的极大值与极小值.(1 7)(本 题/分1 0分)x s i n(W/+F)设平面区域D=楙y)g N+/4 4.0,y叫,计算Q y-c bi d y.(1 8)(本超满分1 0分)设函数f(u)具有2阶连续导 致.z =f(e”8 s y)满足呼Z于Z苏+羽(4 2+8织)/.若/(0)=0 j 8)=0 .求 f(u)的表达式.(本理房分1 0分)设函效/,g(x)的区肌a b 上左缝，旦/(x)电调增加，0 W g(x)L证明；(I)0 g(fyd tx-a,x a,b,Jo(n)f(x)d x M J：/(x)g(x)d x.(2 0)(本纪倩分I I分)(8 A/(X)-,X0.1,定义函数列1+X JE(x)=/(x)/(x)=/(Z(x /(x)=/H(x)一记 M 是曲线=(区),直线 x =l3及x地所用成平面图形的面积.求极限h mmS；)(本题篇分1 1分)已知函数/(K J)满 足 奥2 U+1)，J S/O卜(-A (p*2 y yd y求曲钱/(x j)。所困成的国形浇底线y-1旋转所成倒旋转体的怵积1-2 3 4、(2 2)(本期席分1 1分)设A=0 1 -1 1 .后 为3阶单位矩阵.J 2 0屯(I)求方程组Ar =0的一个基础解寮;(I I)求 满 足 蚪 所 有 矩 阵B.(2 3)(本题满分1 1分)证 明n阶矩阵1 1 .1、1 1 .1 0 00 01、2,相似.盯与2 0 1 3 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选 择 题18小 题.每 小 题4分，共32分.1 .设cosx-1=xsina(x)Ja(x)|0 时，a(x)()(A)比X高阶的无穷小(O与X同阶但不等价无穷小(B)比X低阶的无穷小(D)与X等价无穷小22.已知 y=/(x)是由方程cos(xy)-lny+x=l 确定，则 lim(/(二n xo I(一()n(A)2(B)1(C)-1(D)-23.设/(x)=sin 龙,x e 0,疔)(,F(x)=2,x e 7,2万 3:于(t)dt 则()(A)x=不 为/(%)的 跳 跃 间 断 点.(B)x=万 为/(x)的可去间断点.(C)/*)在 =乃 连 续 但 不 可 导.(D)/(外 在*=乃可导.4.设函数/(x)=1 ,-Sx elxlna+1x+00,且反常积分 (工总收敛，则()(A)C C 2(c)2 a v 0(D)0a 0 (B)I2 0 (C)/3 0 (D)Z4 07 .设A,B,C均为阶矩阵，若A B=C,且B可逆，贝！|(A)矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价.(B)矩 阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价.(O矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价.(D)矩阵C的列向量组与矩阵B的列向量组等价.1 a8.矩 阵a bJ a1 (