数学与计算机专业课程效果分析

专业课程效果分析“学计算机一定要数学好，计算机与数学密切相连”“计算机根本上是数学的和哲学的.“计算机科学是数学和哲学的女儿一些计算机相关专业，也开设分析和高代，每周六课时数学分析，六课时高等代数，天天作业不断（那时是六日工作制）。颇有些同学惊呼走错了门：咱们这到底念的是什么系？不错，你没走错门，这就是（当时的）南大计算机系。系里的传统是培养做学术研究，尤其是理论研究的人。而计算机的理论研究，说到底了就是数学，虽然也许是正统数学家眼里非主流的数学。数学分析这个课程，学计算机的人对它有很复杂的感情。爱它在于它是第一门，也是学分最多的一门数学课，又长期为考研课程。9 4以前可以选考数学分析与高等代数，以后则并轨到著名的所谓“工科数学一”。其重要性可见一斑。恨它则在于它好像难得有用到的机会，而且思维跟咱们平常做的这些离散/有限的工作截然不同。当年出现的怪现象是：一般来说，计算机系学生的高中数学基础在全校数一数二，教学课时数也仅次于数学系，但学完之后的效果却几乎是倒数第一。其中原因何在，发人深思。个人的浅见是：计算机类的学生，对数学的要求固然跟数学系不同，跟物理类差别则更大。通常非数学专业的所谓“高等数学”，无非是把数学分析中较困难的理论部分删去，强调套用公式计算而已。而对计算机系来说，数学分析里用处最大的恰恰是被删去的理论部分。说得难听一点，对计算机系学生而言，追求算来算去的所谓“工科数学一”已经彻底地走进了魔道。记上一堆曲面积分的公式，难道就能算懂了数学分析？吉米多维奇的“数学分析习题集”也基本上是计算型的资料。如果你打算去考那个什么“工科数学一”，可以做一做。否则，不做也罢。中国的所谓高等代数，就等于线性代数加上一点多项式理论。我以为这有好的一面，因为可以让学生较早感觉到代数是一种结构，而非一堆矩阵翻来覆去。高等代数相当全面地包含了关于多项式和线性代数的基本初等结果，同时还提供了一些有用的比较深的内容，如Sturm序列，Shermon-Morrison公式，广义逆矩阵等等。可以说，作为本科生如能吃透此书，就可以算高手。从国内教材看，各有千秋。从抽象代数的观点来看，高等代数里的结果不过是代数系统性质的一些例子而已。莫宗坚先生的“代数学”里，对此进行了深刻的讨论。然而莫先生的书实在深得很，作为本科生恐怕难以接受，不妨等到自己以后成熟了一些再读。概率论与数理统计这门课很重要，可惜少了些东西。少了的东西是随机过程。到毕业还没有听说过Markov过程，此乃计算机系学生的耻辱。没有随机过程，你怎么分析网络和分布式系统？怎么设计随机化算法和协议？据说清华计算机系开有“随机数学”，早就是必修课。计算方法，一般学生对这门课的重视程度有限，以为没什么用。其实，做图形图像可离不开它。而且，在很多科学工程中的应用计算，都以数值的为主。这门课有两个极端的讲法一个是古典的“数值分析”,完全讲数学原理和算法另一个是现在日趋流行的“科学与工程计算”，干脆教学生用软件包编程。不过，只要你有机会在自己的电脑上装个matlab之类，完全可以无师自通。离散数学，包括集合论，图论，和抽象代数，不过，这么多内容挤在离散数学一门课里，是否时间太紧了点？另外，计算机系学生不懂组合和数论，也是巨大的缺陷。要做理论，不懂组合或者数论吃亏可就太大了。从理想的状态来看，最好分开六门课：集合，逻辑,图论，组合，代数，数论。这个当然不现实，因为没那么多课时。也许将来可以开三门课：集合与逻辑，图论与组合，代数与数论。不管课怎么开，学生总一样要学。总的来说，学集合/逻辑起手不难，但越往后越感觉深不可测。建议有兴趣的同学读读“数学基础引论”此书有点时间简史的风格，讲到精彩处，所谓“天花乱坠，妙雨缤纷”，令人目不暇接。读完以后，你对这些数学/哲学中最根本的问题有了个大概了解，也知道了山有多高，海有多深。学完以上各书之后，如果你还有精力兴趣进一步深究，那么可以试一下GTM系列中的 Introduction to Axiomatic Set Theory 和 A Course of MathematicalLogiCo这两本都有世界图书的引进版。你如果能搞定这两本，可以说在逻辑方面真正入了门。据说全中国最多只有三十个人懂图论，此言不虚。图论，技巧性太强，几乎每题都有一个独特的方法，让人头痛。不过这也正是它魅力所在：只要你有创造性，它就能给你成就感。所以学图论没什么好说的，做题吧。信息安全 数 学 基 础（抽象代数与数论），国内有经典而且以困难著称的“初等数论”（潘氏兄弟著，北大版）。再追溯一点，还有更加经典（可以算世界级）并且更加困难的“数论导引”（华罗庚先生的名著，科学版，九章书店重印）。把基础的几章搞定一个大概，对本科生来讲足够了。但这只是初等数论。本科毕业后要学计算数论，你必须看英文的书,如 Bach 的 Introduction to Algorithmic Number Theory 理论计算机的根本，在于算法。现在系里给本科生开设算法设计与分析，确实非常正确。环顾西方世界，大约没有一个三流以上计算机系不把算法作为必修的。学习计算机理论之外如果计算机只有理论，那么它不过是数学的一个分支，而不成为一门独立的科学。事实上，在理论之外，计算机科学还有更广阔的天空。我一直认为，4 年根本不够学习计算机的基础知识，因为面太宽了。一个一流计算机系的优秀学生决不该仅仅是一个编程高手，但他一定首先是一个编程高手。我上大学的时候，第一门专业课时程序设计，现在好像改成了计算机科学导论？不管叫什么名字，总之，念计算机的人就是靠程序吃饭。在计算机系版有过一场争论，关于第一程序设计语言该用哪一种。我个人认为，用哪种语言属于末节，关键在养成良好的编程习惯。当年老师对我们说，打好基础后学一门新语言只要一个星期。现在我觉得根本不用一个星期前提是先把基础打好。数据结构有两种不同的上法：一种把它当成降低要求的初级算法课，另一种把它当成高级的程序设计课。现在国内的课程好像介乎两者之间，而稍偏向前者。个人认为，假如已经另有必修的算法课，恐怕后一个目的更重要些。国内流行的数据结构书也有两种：北大的红皮书（许卓群等著，高教版）和清华的绿皮书（严蔚敏等著，清华版）。两书差距不大。红皮书在理论上稍深一些，当然离严格的算法书还差好远。绿皮书更易接受些，而且佩有一本不错的习题集，但我觉得它让学生用伪代码写作业恐怕不见得太好。最好还是把算法都code以后debug一番，才能锻炼编程能力。汇编预言和微机原理是两门特烦人的课。你的数学/理论基础再好，也占不到什么便宜。这两门课之间的次序也好比先有鸡还是先有蛋，无论你先学哪门，都会牵扯另一门课里的东西。所以，只能静下来慢慢琢磨。这就是典型的工程课，不需要太多的聪明和顿悟，却需要水滴石穿的渐悟。有关这两门课的书，电脑书店里不难找到。弄几本最新的，对照着看吧。模拟电路，如今不仅计算机系学生搞不定，电子系学生也多半害怕。如果你真想软硬件通吃，那么建议你先看看邱关源的“电路原理”，也许此后再看模拟电路底气会足些。教材：康华光的“电子技术基础”还是不错的。有兴趣也可以参考童诗白的书。操 作 系 统 可 以 随 便 选 用Tanenbaum的Operating System Design andImplementation和Modern Operating System两书之一。这两部都可以算经典，唯一缺点就是理论上不够严格。不过这领域属于Hardcore System,所以在理论上马虎一点也情有可原。如果先把形式语言学好了，则编译原理中的前端我看只要学四个算法：最容易实现的递归下降 最好的自顶向下算法LL(k1最好的自底向上算法LR(k LR(1)的 简 化SLR(也 许 还 有 另 一 简 化LALR?)。后端完全属于 工 程 性 质，自然又是another story o学数据库的第一意义是告诉你，会用VFP编程不等于懂数据库。（这世界上自以为懂数据库的人太多了！）数据库设计既是科学又是艺术，数据库实现则是典型的工程。所以从某种意义上讲，数据库是最典型的一门计算机课理工结合，互相渗透。最后声明：前面的经验只针对本科阶段的学习。即使把这些全弄通了，前面的路还长。理论计算机科学漫谈计算机科学和数学的关系有点奇怪。二三十年以前，计算机科学基本上还是数学的一个分支。而现在，计算机科学拥有广泛的研究领域和众多的研究人员，在很多方面反过来推动数学发展，从某种意义上可以说是孩子长得比妈妈还高To但 不 管 怎 么 样，这 个 孩 子 身 上 始 终 流 着 母 亲 的 血 液。这 血 液 是 themathematical underpinning of computer science（计算机科学的数学基础）也就是理论计算机科学。现代计算机科学和数学的另一个交叉是计算数学/数值分析/科学计算，传统上不包含在理论计算机科学以内。所以本文对计算数学全部予以忽略。最常和理论计算机科学放在一起的一个词是什么？答：离散数学。这两者的关系是如此密切，以至于它们在不少场合下成为同义词。传统上，数学是以分析为中心的。数学系的同学要学习23个学期的数学分析，然后是复变，实变，泛函等等。实变和泛函被很多人认为是现代数学的入门。在物理，化学，工程上应用的，也以分析为主。随着计算机科学的出现，一些以前不太受到重视的数学分支突然重要起来。人们发现，这些分支处理的数学对象与传统的分析有明显的区别：分析研究的对象是连续的，因而微分，积分成为基本的运算；而这些分支研究的对象是离散的，因而很少有机会进行此类的计算。人们从而称这些分支为“离散数学”。“离散数学”的名字越来越响亮，最后导致以分析为中心的传统数学分支被相对称为“连续数学”。离散数学经过几十年发展，基本上稳定下来。一般认为，离散数学包含以下学科：1）集合论，数理逻辑与元数学。这是整个数学的基础，也是计算机科学的基础。2）图论，算法图论；组合数学，组合算法。计算机科学，尤其是理论计算机科学的核心是算法，而大量的算法建立在图和组合的基础上3）抽象代数。代数是无所不在的，本来在数学中就非常重要。在计算机科学中，人们惊讶地发现代数竟然有如此之多的应用。但是，理论计算机科学仅仅就是在数学的上面加上“离散”的帽子这么简单吗？一直到大约十几年前，终于有一位大师告诉我们：不是。D.E.Knuth（他有多伟大，我想不用我废话了）在Stanford开设了一门全新的课程Concrete Mathematics Concrete这个词在这里有两层含义：第一，针 对 abstract而言。Knuth认为，传统数学研究的对象过于抽象，导致对具体的问题关心不够。他抱怨说，在研究中他需要的数学往往并不存在，所以他只能自己去创造一些数学。为了直接面向应用的需要，他要提倡“具体 的数学。在这里我做一点简单的解释。例如在集合论中，数学家关心的都是最根本的问题-公理系统的各种性质之类。而一些具体集合的性质，各种常见集合，关系，映射都是什么样的，数学家觉得并不重要。然而，在计算机科学中应用的，恰恰就是这些具体的东西。Knuth能够首先看到这一点，不愧为当世计算机第一人。第二，Concrete是 Continuous（连续）力 口 上 discrete（离散）。不管连续数学还是离散数学，都是有用的数学！前面主要是从数学角度来看的。从计算机角度来看，理论计算机科学目前主要的研究领域包括：可计算性理论，算法设计与复杂性分析，密码学与信息安全，分布式计算理论，并行计算理论，网络理论，生物信息计算，计算几何学，程序语言理论等等。这些领域互相交叉，而且新的课题在不断提出，所以很难理出一个头绪来。下面随便举一些例子。由于应用需求的推动，密码学现在成为研究的热点。密码学建立在数论（尤其是计算数论），代数，信息论，概率论和随机过程的基础上，有时也用到图论和组合学等。很多人以为密码学就是加密解密，而加密就是用一个函数把数据打乱。这就大错特错了。现代密码学至少包含以下层次的内容：第一，密码学的基础。例如，分解一个大数真的很困难吗？能否有