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平面向量的概念A级 基 础 巩 固I.下列命题正确的是（）A.单位向量都相等B.模为0的向量与任意向量共线C.平行向量不一定是共线向量D.所有方向相同的向量都相等解析:在选项A中,单位向量的大小相等，都是1,但方向不一定相同,故单位向量不一定相等,故选项A错误;在选项B中，模为0的向量为零向量,零向量与任意向量共线,故选项B正确;在选项C中，平行向量一定是共线向量，故选项C错误;在选项D中，方向相同，但长度不一定相等,故选项D错误.答案:B2.下列说法不正确的是（）A.向量的模是一个非负实数B.任何一个非零向量都可以平行移动C.长度不相等而方向相反的两个向量一定是共线向量D.两个有共同起点且共线的向量终点也必相同解析:显然，选项A,B,C不符合题意.方向相同或相反的向量都是共线向量,起点相同时终点不一定相同，所以选项D符合题意.答案:D3.如图所示，在等腰梯形A B C D中，AB与 CD是共线向量;AB=CD；AB C D.以上结论中正确的个数是（）解析:因为 与 CD的方向不相同，也不相反，所以 与 CD不共线,故不正确;由可知也不正确;因为两个向量不能比较大小，所以不正确.答案:A4.如图所示，已知正方形ABC。的边长为2,点。为其中心，则|次|=，2解析:因为正方形A B C。的边长为2,所以其对角线长为2 2所以|0 A =V2.5.如图所示,四边形A B E F和四边形B C O E均是边长为1的正方形,在以点A,B,C Q,尸为起点和终点的向量中，（1）写出分别与 A F,族相等的向量；（2）写出与 前的模相等的向量.ABCFED解:连接8。,。尸（图略）.（1）与 左相等的向量有 B E,五，与 族相等的向量有 B D.（2）与 前的模相等的向量有 D A,C F,F C.B级 能 力 提 升6.如图所示,四边形A B C Q、四边形C E F G、四边形C G”。是互相全等的菱形，则下列关系不成立的是（）A.|布|=|E F B.同与 两共线C.BD=EH D.笳与 沅共线解析:选项A 一定成立，选项B 一定成立，笳与 就共线，故选项D也成立，只有选项C不成立，故选C.答案:C7.中国象棋中规定:马走“日”字.中国象棋的部分棋盘如图所示（示意图）,若马在A处，可跳到4处他可跳到4处,用向量 次 或 就表示马走了“一步”.试在图中画出马在B,C处走了“一步”的所有情况.解:根据规则，作出符合要求的所有向量，如示意图所示.8.如图所示，方格纸由若干个边长为1 的小正方形组成,方格纸中有两个定点A,区点C为小正方形的顶点，且 就=乔.AB(1)画出所有的向量 AC-,求 BC的最大值与最小值.解：(1)画出所有的向量 4C,如图所示.(2)根据(1)中所画的图进行解决，当点C 位于点Ci或点C2时,1B。取得最小值，为VI2+22=居;当点C 位于点C5或点C6时BC|取得最大值，为V42+52=闻.困，最小值为 乔.C 级 挑 战 创 新多选题B.梯形D.菱形-i|在四边形A8CZ）中，若 笳与 而是共线向量，则四边形A8CD可能是（）A.平行四边形C.矩形解析:在四边形48C。中，因为 AB与 CD是共线向量，所以ABCD但I 荏I与I 工可可能相等,也可能不相等，所以四边形A8CO可能是平行四边形、梯形、矩形、菱形.答案:ABCD帆图所示，两人分别从A村出发，其中一个人沿北偏东60。方向行走了 1 km到了 B村，另一个人沿北偏西30。方向行走了 V3 km到了 C村，则8,C两村相距2km：B村在C村的南偏东6（）。方向上.多空题解析:由题可知|AB|=1,|AC=V5,NCAB=90。,则|BC|=2.因为凝 1 Ctan/AC8=篇=M T,所以乙4cB=30平面向量的运算A级 基 础 巩 固1.下列等式中不正确的是（）A.a+0=a B.a+b=b+aC.a+b =a +b D.AC=解析:当a与b方 向 不 同 时 团。|+网.答案:CDC+AB+BD2.如图所示,四边形ABCD是梯形4Z）BC,对角线A C与BD相交于点O,则04+BC+A.CDD.DO解析：0A+BC+AB+D0=D0+0A+AB+BC=DA+AB+BC=DB+记=DC.答案:B3.在矩形A5CD中，若|明=4,|BC|=2,则向量 AB+4D+AC的长度为（）A.2 居 B.4 百 C.12 D.6解析:因为 AB+AD=正所以 血+AD+就的长度为4c的模的2倍.因为|AC=V42 4-22=2 V5,所以向量AB+AD+AC的长度为4 V5.答案:B4.化简下列各式：（1）AB+BC+CI4=O；（2）04+0C+B0+C0=BA；（3）（AB+MB）+（B0+BC）+0Af=AC.解析:AB+BC+CA=AC+CA=o,。4+0C+B0+C0=（C0+04）+（B0+0C）=CA+BC=BA.闭（AB+MS）+（B0+BC）+0M=MB+B0+0 M+（AB+BC）=o+AC AC.5.如图所示,两个力Fi和F2同时作用在一个质点O上，且F的大小为3 N,3的大小为4 N,且NA03=90。,试作出Fi和F2的合力，并求出合力的大小.B解:如图所示.F】C。4表示力Fi,。8表示力&,以OA,OB为邻边作平行四边形OACB,则 凉 是 力B和B的合力.在OAC 中而|=3,|AC=OB|=4,JL OAY AC,则I 研=J丽2+|而2=5,即合力的大小为5N.B级能力提升6.若a,b为非零向量，且|a+川=|。|+|加,则（)A.a仇且a 与 b方向相同B.a,b是共线向量C.a=-bD.a,b无论什么关系均可解析:当两个非零向量a 与 b不共线时,a+6的方向与a.b的方向都不相同，且|。+加|川+网;向量a与b同向时,a+b的方向与a,b的方向都相同，且|a+6|=|a|+历 向 量a 与b反向且|a|网时,a+b的方向与b的方向相同（与a的方向相反），且|a+Z|=|b|-|a|；向量。与。反向且|a|网时,同理有|a+b|=|a|-|b|.答案:A7.如果点G是aA B C的重心，那么8、；,一D解析:如图所示，连接A G并延长交B C于点点E为BC的中点，延长A E到点。，使G E=ED,则G A+G B+G B+G C=G DG D+肃=0,所以GC=0.8.如图所示,N A 08=NBOC=120。,|伞I。昨|。,求0A+0B+0C.解:如图所示，以OA,OB为邻边作平行四边形OADB.A由向量加法的平行四边形法则，知由I 丽=|DOC0A+B0B=0BZ AOB=1 2 0。,知 Z BOD=60,因为 N C O B=1 2 0,且|B|=|所以OD+OC=0,故OC,OA+OB+OD.。年 IOD.oc=o.C 级 挑 战 创 新多空题若向量a,b满足=8,网=2,则|a+b|的最大值为由 最 小值为6.解析:由向量加法的三南形法则，知|同一出归a+b|W M I+W I,即 6|a+i|B（图略），则由向量加、减法的几何意义可知 A D=A B+A Ct C B=A B-A C,因为|A B+AC=A B-4 C|,所以|AD=CB|.因为四边形A C D B为平行四边形，所以四边形A C D B为矩形，所以A C _L A 8,所以4 M为R lA A B C斜边8 c上的中线，-1-!所以|A M=?|B Q=2.答案:C7.已知点。为四边形A B C D所在的平面内的一点，且向量0 A,布，0 C,而满足等式 0 A+0 C=0 B+0 D,Sijm若点E为A C的中点，则 荻 屋（）1 1 1 2A.Z B.3 C.5 D.5解析:因为向量 0 A,而，0 C,而满足等式0 A+0 C=0 B+0 D,所以 0A-0 B=0 D.即 BA=CD,所以四边形A 8 C O为平行四边形.因为点E为A C的中点，所以点E为对角线A C与B D的交点，所以 S&EAB=SAECb=SADE=SABCE,所以 X答案:B8.如图所示，已知在矩形A 8 C D中,|A D=4 Al 布|=8.设A B=a,BC=b,B D=c,求|a.b-c.解:已知 AD=BC=b,且 AB=a,BC=b,所以|a-b-c|=|AB-BC-BD|=|AB-AD-BD|=|2|BD.在矩形A8CQ中，因为|而|=4 A l 明=8,所以|而|=4 V7,所以|a1-c|=8 V7.BD=c,DB BD|=多选题10.屋 型 若菱形ABCD的边长为2,则向量2;|就|的取值范围是包41.解析:因为 AB-赤+CD=且|力。=2,所以|AB-CB+C级 挑 战 创 新就 可 以写成（）A.A0+OC B,AO-OCC.OA-OC D,OC-OA解析:因为 A0+0C=AC,OC-0A=技,所以选A、D.答案:ADAB-怎+而的模是AB+BC+CD=AD,CD|=|而|=2.因为 AC=AB+力D,且在菱形ABC。中,|同|=2,所以|同 卜|”1 1 1 族1 1 血1+1 4加即 0|AC0解析:对于选项A,当7)=5a+s f e.所以AF=AD+DF=AD+jAB因为AC=AB+AD=a,BD=AD.AB=b,所以联立得AB=1五 a d),AD=1Q(a+。)，-)1121解：(1)因为2 AB=答案:D8.已知两个非零向量a与不共线，。9 2 a 6 0B=a+3b,0C=ka+5b.若 2 OA-0B+加=0,求 k 的值；(2)若 A,8,C 三点共线，求k的值.OA-OB+O C=2(2 a-b)-a-30+履+5b=(左+3)。=0,所以 =-3.OB-OA=-a+4b,AC=OC-OA=(k-2)a-6b.因为 A,B,C三点；伊-2 =入共线，所以可设AC=A 4 及所以3 2)a+6b=-痴+4 m因为a,b不共线，所以 1 6=4 A(fc=l2 3解得(人=”所以6 5.多选题C级 挑 战 创 新I设 a是非零向量/是非零实数，下列结论正确的是()A.a 与Ua的方向相同或相反B.|J a|a|C.a与)c a的方向相同D J a|=|川 a解析:A项正确，因为当2 取负数时,a与-2 a 的方向是相同的,当力取正数时，。与Ua的方向相反;B项错误,因为当|z|1(7#0)时,H a|得M N=M C+CN=同X5(AB-而=AC=XAB+y4 c 所以广1y=-Z1.平面向量的运算A级 基 础 巩 固1.下列说法中正确的是()A.若a利，则对任意厚0,有a厚0B.若。6=0,则a,b中至少有一一个为0表示向量a-b的长度D.在a方向上的投影可能是正数，可能是负数，还可能是0解析:选项A、B都是错误的，因为不但零向量与任意向量的数量积为0,而且互相垂直的两个非零向量的数量积也为0.选项C错误，因为af是 数 量 表 示 其 绝 对 值.选 项D是正确的.答案:D2.若a力 0,则a 与 b的夹角3的取值范围是()A J 0,司 B.，,n)C.(n D.(彳,兀)解析:因为“力 0,所以c o s例 0,n所以0G 0,司.答案:A1 23.己知团=5,a/=1 2,则向量a在b方向上的投影为 T.a b解析:因为a在 方向上的投影为|a|c o s。，且c o s 0=础 3,竺 1 2所以|a|c o s 6*=ia=T.i4.若ei,C2是单位向量，且61-e 2=-2则e与C2的夹角等于1 2 0.解析:设e,e2的夹角为4由已知上|=忸2|=1,所以 ee 2=l x lxc o s 0=-1,因 此0=12 0.5.如图所示,在平行四边形A 2CD中，已知|明=4,|期=3,/。4 8=6 0。,求：(1)AD.解:(1)因为”与 共线且同向，所以 AD.BC=3 x3 xc o s 0。=9.(2)因为(3)因为血与而与方共线且反向，所以 AB-C D=4X4X C O S 18 0=-16.府的夹角为 12 0。,所以 AB.D 4=4X3X C O S 1
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