2021年山东省新高考数学总复习：立体几何与空间向量（含答案解析）

2021年山东省新高考数学总复习：立体几何与空间向量 命题规律揭秘 从近几年的高考试题来看, 所考的主要内容是： （ 1）有关线面位置关系的组合判断， 试题通常以选择题的形式出现， 主要是考查空间线线、线面、面面位置关系 的判定与性质； （ 2）有关线线、 线面和面面的平行与垂直的证明， 试题以解答题中的第一问为主， 常以多面体为载体， 突出考查学 生的空间想象能力及推理论证能力； （ 3）线线角、线面角和二面角是高考的热点， 选择题、 填空题皆有， 解答题中第二问必考， 一般为中档题, 在全卷 的位置相对稳定，主要考查空间想象能力、逻辑思维能力和转化与化归的应用能力. 预测2021年将保持稳定， 一大二小. 其中客观题考查面积体积问题、 点线面位置关系（ 各种角的关系或计算） 等；主观题以常见几何体为载体，考查平行或垂直关系的证明、线面角或二面角三角函数值的计算等. 精选试题解析 一、单选题 1. （ 2020•山东高三下学期开学）设机, 〃， / 为三条不同的直线，” , 力为两个不同的平面，则下面结论正确的 是 （ ） A .若 m ua、nu /3 , a / / 0 ,则〃 B.则 a_L/7 C .若加 a ," _L 夕,a _L 夕，则D. m /la, n ! la, I L m, I Vn,则 /_La 2. （ 2020届山东省潍坊市高三模拟二） 已知三棱锥。一 ABC的所有顶点都在球。的球面上，AB=BC = 2 , AC = 2叵 ，若三棱锥。—ABC体积的最大值为2 ,则球。的表面积为（） 3. （ 2020•山东高三下学期开学）在四面体A B 8中，且A C 1C D . AB，C。所成的角为 30°, A B = 5 , AC = 4, C D = 3,则四面体ABC。的体积为（ ） A. 8 B. 6 C. 7 D. 5 4.（ 2020届山东省济宁市第一中学高三二轮检测） 已知四棱锥M -ABC。，M4_L平面ABC。，AB1BC , NBCD+NB4T> = 180°, M4 = 2 ，B C = 2 5 NA3M =30°.若四面体MACD的四个顶点都在同一 个球面上，则该球的表面积为（） A. 20% B. 22% C. 404 D. 44〃 第1页 共8 8页  5. （ 2020届山东省烟台市高三模拟）《 九章算术》中记载，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱，阳马指底 面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥. 如图，在堑堵ABC - 4 4 G中，A C 1 B C , A A = 2 ,当阳马 4 8 - ACCM体积的最大值为1时，堑 堵 的 外 接 球 的 体 积 为 （ ） C .4 872 「32 6472 A. - 7 1 B. ------7 T C. 7 1 D. -------T C 3 3 3 3 6. （ 2020届山东省淄博市部分学校高三3月检测）已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球。的球面上， PA=PB=PC, ZiABC是边长为2的正三角形，E ,尸分别是以，AB的中点，NCEF=9 0。 ,则球。的体积为 A. 8 6兀 B. 4 # ） 兀 C. 2娓兀 D .遍兀 7. （ 2020届山东省潍坊市高三模拟一） 在边长为2的等边三角形A 8C中，点D E分别是边AC, A 3上的 A f） 点，满足D E / / B C 且——=A （ A6 （ 0,1） ） ,将沿直线O E折到口4。£的位置. 在翻折过程中，下列 A C 结论成立的是（ ） A .在边4 E上存在点F ,使得在翻折过程中，满足8F7/平面A'CD B .存 在 使 得 在 翻 折 过 程 中 的 某 个 位 置 ，满足平面A 'B C ,平面8CDE C .若2 = g ，当二面角A -D E — 5为直二面角时，|4却 = 乎 D .在翻折过程中，四棱锥A '-B CD E体积的最大值记为/ U ） ，/（ ㈤ 的 最 大 值 为 当 二、多选题 8. （ 2020届山东省淄博市部分学校高三3月检测）如图，正方体A 8 C D -4用G A的棱长为1 ,线段与。 上有两个动点E、F ,且 £ / = 工 ，则下列结论中正确的是（ ） 2 第 2 页 共 8 8 页  A. A C ± B E B. E F //平面 ABCD C. 口 AE尸的面积与口5 砂的面积相等 D . 三棱锥A —私 户 的体积为定值 9. （ 2020届山东省荷泽一中高三2 月月考）如图, 正方体ABC。-%旦的棱长为1,则下列四个命题正 确的是（） n y r A . 直 线 与 平 面 A 3 C R 所成的角等于一 4 B. 点 。到面A 3 G R 的距离为注 2 7 T C . 两条异面直线0 c 和 所 成 的 角 为 一 4 D . 三棱柱- B B © 外接球半径为也 2 10. （ 2020届山东省济宁市第一中学高三二轮检测）如图，在以下四个正方体中，直线A 3 与平面CD E垂 直 的 是 （ ） 第3页 共8 8页  11. （ 2020届山东省烟台市高三模拟）如图，在四棱锥P —ABC。中，PC ，底面ABC。，四边形ABC。 是直角梯形，AB//CD,ABLAD,AB = 2 AD = 2CD = 2 ,尸是A 3的中点，E是P 8上的一点，则下列说法正 确 的 是 （ ） A .若P B = 2 P E ,则五户/ / 平面PAC B .若P B = 2 P E ，则四棱锥P -A 8C D的体积是三棱锥E-ACB体积的6倍 C .三棱锥P -A 0 C中有且只有三个面是直角三角形 D .平面3 c p，平面ACE 12. （ 2020•山东高三模拟） 在正方体ABC。—A与G 9中， 如图，M ,N分别是正方形ABC。，BCQ用的 中心. 则下列结论正确的是（ ） A .平面D、M N与5,C,的交点是g G的中点 B .平面R M N与BC的 交 点 是 的 三 点 分 点 C .平面R M N与AD的交点是AO的三等分点 D .平面。M N将正方体分成两部分的体积比为1 ： 1 第 4 页 共 8 8 页  13. （ 2020届山东省高考模拟）如图，矩形ABC。中，M为B C的中点，将口段加沿直线A M翻折成 口连结用。，N为耳。的中点，则在翻折过程中，下列说法中所有正确的是（ ） A .存在某个位置，使得C N L A B B .翻折过程中，C N的长是定值 C .若4 ? =驷，则A M，旦。 D .若A B = B M = 1 ，当三棱锥片-A M O的体积最大时，三棱锥片 - A M D的外接球的表面积是47 14. （ 20202020届山东省淄博市高三二模）如图所示，在四棱锥£-ABC。中，底面ABC O是边长为2的 正方形，AC O E是正三角形，M为线段D E的中点，点N为底面A 8 C D内的动点，则下列结论正确的是 （ ） B .若B C L D E时，直线E 4与平面A 3C D所成的角的正弦值为巫 4 C .若直线8 M和E N异面时，点N不可能为底面ABC。的中心 第5页 共8 8页  D.若平面COE_ L 平面A B C 。，且点N 为底面ABCD的中心时，BM = E N 1 5 . （ 2 0 2 0 - 山东高三下学期开学） 在三棱锥D - A B C中， A 3 = 3 C = CD = = 1 , 且 A3 ，3 C, C £ > _ L , M, N分别是棱B C , CO的中点，下面结论正确的是（ ） A . AC 1BD B . M / V 〃平面 A 3。 C.三棱锥4 - C M N 的体积的最大值为正 D . AO与 BC一定不垂直 1 2 1 6 . （ 2 0 2 0 届山东省潍坊市高三模拟一）沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个 狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间 称为该沙漏的一个沙时. 如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为8 c m , 细沙全部在上 2 部时，其高度为圆锥高度的§ （ 细管长度忽略不计）. 假设该沙漏每秒钟漏下0 . 0 2 。 ? ？的沙，且细沙全部漏 入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆. 以下结论正确的是（ ） A.沙漏中的细沙体积为“叫 :0 加3 8 1 B.沙漏的体积是1 2 8 万 C.细沙全部漏入下部后此锥形沙堆的高度约为2.4CM D.该沙漏的一个沙时大约是1 9 8 5 秒 （ 7 ^ 3 . 1 4 ） 1 7 . （ 2 0 2 0 届山东省潍坊市高三模拟二）如图, 正方体A B C 。-44G。 的棱长为1 , 则下列四个命题正确的 是（） C 第 6 页 共 8 8 页  TT A . 直线3 c 与平面A 8G 。 所成的角等于一 4 B. 点 C 到面A 8 G A 的距离为注 2 7 T C . 两 条 异 面 直 线 和 B G 所成的角为一 4 D . 三棱柱A41A - 6 5 G 外接球半径为走 2 18. （ 2020届山东省六地市部分学校高三3 月线考）已知正四棱柱的底面边长为2 , 侧 棱 A 4 ,= l, P 为上底面4 耳。 | 。 上的动点，给出下列四个结论中正确结论为（ ） A .若 P D = 3 ,则满足条件的P 点有且只有一个 B .若 P D = «，则点P 的轨迹是一段圆弧 C . 若 P£> 〃平面A C S，则 O P 长的最小值为2 D .若 〃 平 面 4 C & ,且 P 0 = G，则平面8 D P 截正四棱柱ABC。-A g G A 的外接球所得平面图形 的面积为彳 19. （ 2020届山东济宁市兖州区高三网络模拟考）如图，在四棱锥P -A 3 C D 中，底面ABC。为菱形, Z D A B = 6 0 \侧面尸AZ） 为正三角形，且平面平面ABC。，则下列说法正确的是（ ） A . 在棱AZ） 上存在点使平面PMB B . 异面直线A O 与 依 所成的角为90° C . 二面角P —B C —A 的大小为45。 D. 3 。，平面 PAC 20. （ 2020届山东省济宁市第一中学高三一轮检测）如图，在正方体A B C D -A 4 G R 中，尸是棱A 4 上 动点，下列说法正确的是（ ）. 第7页 共8 8页  A . 对任意动点尸，在平面A O A A 内存在与平面C即平行的直线 B . 对任意动点F, 在平面A 8C O 内存在与平面CB/ 垂直的直线 C . 当点F 从 A1运动到A 的过程中， 上 与平面ABC。所成的角变大 D . 当 点 / 从 A1运动到£） , 的过程中，点D到平面C B F的距离逐渐变小 21. （ 2020届山东省青岛市高三上期末）如图, 正方体ABC。-A 4 G 。 的棱长为1,则下列四个命题正确的 是（） n JT A . 直 线 与 平 面 A 6 G 2 所成的角等于一 4 B. 点 C 到面A 8 G 2 的距离为YZ 2 7 T C . 两 条 异 面 直 线 和 B G 所成的角为一 4 D . 三棱柱- B B G外接球半径为立 2 22. （ 2020届山东省泰安市肥城市一模）在空间四边形ABCO中,E, F,G, H分别是AB, BC,CD, D A上的点, 当B。/ / 平面E F G " 时， 下面结论正确的是（ ） A . g E G" 一定是各边的中点 B. G , " 一定是8 , 0 4 的中点 第8页 共8 8页  C. A E : E B = A H : H D , 豆 B F : F C = D G : G C D . 四边形EEG”是平行四边形或梯形 23. （ 2020届山东省泰安市肥城市一模）如图, 正方体ABC。-A 4 G 。 的棱长为1,则下列四个命题正确的 A . 直线8 c 与平面A 6G 。 所成的角等于四 4 B. 点 C 到面A 8 G 2 的距离为巫 2 7T C . 两条异面直线R C 和 8 a 所成的角为一 4 D . 三棱柱AA。 - B B G外接球半径为立 2 24. （ 2020届山东省潍坊市高三下学期开学考试） 三棱锥P-ABC的各顶点都在同一球面上， P C _L底面ABC, 若 PC = AC = 1, A B = 2 ,且 N5 4 c = 60。 ，则下列说法正确的是（ ） A. ARAB是钝角三角形 B . 此球的表面积等于5万 C. 平面B4C D . 三棱锥4 -P 8 C 的体积为立 2 三、填空题 25. （ 2020届山东省高三高考模拟） 若一个圆柱的轴截面是面积为4 的正方形，则该圆柱的外接球的表面积 为. „2 26. （ 2020届山东省潍坊市高三下学期开学考试） 双 曲 线 土 - 丁 = 1的渐近线与直线x = G围成的图形绕丫 3 ' 轴旋转360。 ，则所得旋转体的体积为一；表面积为 27. （ 2020•山东滕州市第一中学高三3 月模拟）已知正三棱锥P-ABC,。为 BC中点，P A = O，A B = 2, 第 9 页 共 8 8 页  则正三棱锥P-ABC的 外 接 球 的 半 径 为 ； 过Q的平面截三棱锥P-ABC的外接球所得截面的面积范围 为. 28. （ 2020届山东省泰安市肥城市一模）在我国古代数学名著《 九章算术》中，把两底面为直角三角形的直 棱柱称为“ 堑堵” . 己知三棱柱ABC —A 4 G 是一个“ 堑堵” ， 其中A B = B C = B B [ = 2 , 点 、 M是的中点, 则四棱锥M - B © C B的 外 接 球 的 表 面 积 为 . 29. （ 2020. 山东高三模拟）如图，直线/ _L平 面 垂 足 为 O, 三棱锥A - 38的底面边长和侧棱长都为 4, C 在平面a 内，8 是直线/ 上的动点，则点8 到平面A8 的距离为，点。到直线A O 的距离 的 最 大 值 为 . 30. （ 2020届山东省济宁市高三3 月月考）如图所示，某几何体由底面半径和高均为1 的圆柱与半径为1 的 半球对接而成，在该封闭几何体内部放入一个小圆柱体，且小圆柱体的上下底面均与外层圆柱的底面平行, 则 小 圆 柱 体 积 的 最 大 值 为 . 31. （ 2020届山东济宁市兖州区高三网络模拟考）农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称 粽核，俗称“ 粽子” ，古称" 角黍” ，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱 国主义诗人屈原. 如图，平行四边形形状的纸片是由六个边长为1 的正三角形构成的，将它沿虚线折起来， 可以得到如图所示粽子形状的六面体，则该六面体的体积为一；若该六面体内有一球，则该球体积的最 大值为 第1 0页 共8 8页  四、解答题 32. （ 2020届山东省济宁市第一中学高三二轮检测） 已知如图1直角梯形ABC。，AB///CD, NZM3 = 9（ ） °, AB = 4 ， AD = CD = 2, E 为 A B 的中点， 沿 EC将梯形ABC。折起（ 如图2） , 使平面B E D_ L平面A E C D . 图1 A 图2 （ 1）证明：8 E 1 平面AEC。； （ 2）在线段C D 上是否存在点F , 使得平面E 4 3与平面EBC所成的锐二面角的余弦值为：，若存在，求 3 出点尸的位置；若不存在，请说明理由. 第1 1页 共8 8页  33. (2020届山东省济宁市第一中学高三一轮检测) 如图所示， 直角梯形ABCD中，AD//BC, A D ± A B , A B = B C = 2 A D = 2 ,四边形EDCF为矩形，C F =6，平面EOCF J_ 平面ABCD. ⑴求证：。尸□平面ABE； (2)求平面ABE与平面EFB所成锐二面角的余弦值. (3)在线段DF上是否存在点P , 使得直线BP与平面ABE所成角的正弦值为 立 ，若存在，求出线段BP的 4 长，若不存在，请说明理由. 第1 2页 共8 8页  34. (20202020届山东省淄博市高三二模) 图1是由矩形AOEB, R t"B C和菱形BFGC组成的一个平面图 形，其中A8=l, BE=BF=2, ZFBC=60° ,将其沿AB, BC折起使得BE与B尸重合，连结O G ,如图2. ( 1 )证明：图2中的A, C, G ,。四点共面，且平面A B C ,平面BCGE； ( 2 )求图2中的二面角B - C G - A的大小. 第1 3页 共8 8页  35. （ 2020・山东高三模拟）如图，在四棱锥P—A8CZ）中，Q4J_平面A B C Q ,四边形ABCZ）为正方形， 点厂为线段PC上的点， 过4 ，。, 口三点的平面与P3交于点E. 将①AB = A P， ②= ③ P3 J .F D 中的两个补充到已知条件中，解答下列问题： （ 1）求平面4 ）在将四棱锥分成两部分的体积比; （ 2）求直线PC与平面A D E E所成角的正弦值. 第1 4页 共8 8页  36. (2020届山东省烟台市高三模拟) 如图， 已知四棱锥P -A B C D 的底面是等腰梯形，A D //B C, AD = 2 , BC = 4, NABC = 60°, △ P4O为等边三角形，且点P 在底面ABCD上的射影为A。的中点G , 点 E 在线段8 C 上，且 CE:q= 1:3. (1 )求证：£>E_L平面 PAD. (2 )求二面角4 一P C - 。的余弦值. 第1 5页 共8 8页  37. (2020届山东省荷泽一中高三2月月考) 《 九章算术》是我国古代数学名著， 它在几何学中的研究比西方 早1000多年， 在 《 九章算术》中 川 各底面为直角三角形， 且侧 棱 垂 直 于 底 面 的 三 棱 柱 称 为 堑 堵 办) ; 阳马指 底面为矩形， 一侧棱垂直于底面的四棱锥， 鳖膈S ie w )指四个面均为直角三角形的四面体. 如图在堑堵 A B C - A 4 G 中 , (1)求证: 四棱锥8 — 4 A C G为阳马； (2)若G C = = 2 ,当鳖膈G - A 5 C体积最大时， 求锐二面角C一 4 8 - G的余弦值・ 第1 6页 共8 8页  38. (2020届山东省泰安市肥城市一模) 如图所示的几何体中， 4 3 。-4 月&为三棱柱， 且 441，平面48<7, A \ = A C ,四边形 ABCD 为平行四边形，A D = 2 C D , N4£>C = 60°. ( 1 ) 求证：AB_ L平面 A C G 4 ； ( 2 )若 C D = 2 ,求 四 棱 锥 A 与8的体积. 第1 7页 共8 8页  39. (2020届山东省六地市部分学校高三3月线考) 如图，三棱柱A8C- 4 4 G中，C A ^ C B , ZBAA, = 45° ,平面 AAGC J•平面 AA.B.B. ( 1)求证：A4 ± B C • (2)若B4 = J5AB = 2 , 直线8 C与平面A B B /所成角为4 5 ° ,。为CG的中点， 求二面角4 -A O -G 的余弦值. 第1 8页 共8 8页  40. (2020•山东滕州市第一中学高三3 月模拟) 如图，四棱锥P —A 8C D 中，B4_L底面ABC。，ABCD 为直角梯形，A D //B C , A D ± A B，AB = BC = AP = ^ A D = 3 , ACDBr> = O , 过 。点作平面 a 平 行 于 平 面 平 面 a 与棱8 C , A D，P D，P C 分别相交于点E , F , G , H . ⑴ 求 G” 的长度： (2)求二面角3 —FH —E 的余弦值. 第1 9页 共8 8页  4 1 . （ 2 0 2 0 届山东省淄博市部分学校高三3月检测） 如图, 边长为2的正方形A B C 。所在的平面与半圆弧C D 所在平面垂直，A f 是 CO上异于C，。的点. （ 1 ）证明：平面AMD J _ 平面BMC ； （ 2 ）当三棱锥M —ABC体积最大时，求 面 与 面 所 成 二 面 角 的 正 弦 值 . 第 2 0 页 共 8 8 页  42. (2020届山东省高考模拟) 已知在四棱锥产一 A5CD中，AD//BC, AB = BC = C D = - A D , G 是 P B 2 的中点，是等边三角形，平面平面ABCD. ( 1 ) 求证：CD_L平面GAC； ( 2 ) 求二面角P — AG — C的余弦值. 第2 1页 共8 8页  4 3 . ( 2 0 2 0届山东省潍坊市高三下学期开学考试) 如图，在直三棱柱A B C -中，M是A8的中点. ( 1 )求证：8 G 口平面MCA； ( 2 )若MMC是正三角形，且= 求直线AB与平面MCA所成角的正弦值. 第2 2页 共8 8页  44. (2020届山东省济宁市高三3 月月考) 如图，在三陵锥产一 A B C 中，APAC为等腰直角三角形， PA=PC ,AC = 2, AABC为正三角形，。为 A C 的中点. ( 1 ) 证明：平 面 叨 B_ L平面PAC； ( 2 ) 若二面角P—AC —B 的平面角为锐角，且棱锥尸一 A B C 的 体 积 为 ― ，求 直 线 与 平 面 PCB所成 6 角的正弦值. 第 2 3 页 共 8 8 页  4 5 . （ 2 0 2 0 届山东省潍坊市高三模拟一）己知在四棱锥P - A B C D 中，底面A 5 C O 是边长为4 的正方形, △ B4Z） 是正三角形，C Z H 平面以。，E , E G Q 分别是PC,PDBC,AD的中点. （I ）求证：P"平面A B C D ； （ I I ）求平面E F G与平面A 3 C 。所成锐二面角的大小； 7 E （ I I I ）线段2 4 上是否存在点M , 使得直线G M 与平面瓦G 所成角为二，若存在，求 线 段 的 长 度 ; 6 若不存在，说明理由. 第 2 4 页 共 8 8 页  46. (2020届山东省潍坊市高三模拟二) 如图，在四棱锥P -A8C。中, _ _ _ 2 _ _ ] _ _ _ AD = 2瓜 AB = 3, A P = 6 , AD / / BC , A D _ L平面布8, ZAPB = 90°，点 E满 足 庵 = 耳 阳 + §丽 . ( 1 )证明：PE1DC ； ( 2 )求二面角小P D-E的余弦值. 第 2 5 页 共 8 8 页  47. (2020届山东济宁市兖州区高三网络模拟考) 已知平行四边形A8CZ)中，AB = 1，AD = 2, AB±BD , £是线段AO的中点，沿8。将 凶 。翻折到ABC'。，使得平面5C'O_L平面8CZX ( 1 ) 求证：。 。_ 1平面3。 。； ( 2 ) 求二面角七一8。'一 。的余弦值. 第2 6页 共8 8页  48. (2020•山东高三下学期开学) 如图，在四棱锥S-ABC。中，A3C D 是边长为4 的正方形，SZ)_L平面 ABCD, E,尸分别为AB, SC的中点. ( 1 ) 证明：所 〃 平 面 SAO. ( 2 ) 若 S0 = 8 , 求二面角O —所 一 S 的正弦值. 第2 7页 共8 8页  2021年山东省新高考数学总复习：立体几何与空间向量教师版 命题规律揭秘 从近几年的高考试题来看, 所考的主要内容是： （ 1） 有关线面位置关系的组合判断， 试题通常以选择题的形式出现， 主要是考查空间线线、线面、面面位置关系 的判定与性质； （ 2 ） 有关线线、 线面和面面的平行与垂直的证明， 试题以解答题中的第一问为主， 常以多面体为载体， 突出考查学 生的空间想象能力及推理论证能力； （ 3 ） 线线角、线面角和二面角是高考的热点， 选择题、 填空题皆有， 解答题中第二问必考， 一般为中档题, 在全卷 的位置相对稳定，主要考查空间想象能力、逻辑思维能力和转化与化归的应用能力. 预测2021年将保持稳定， 一大二小. 其中客观题考查面积体积问题、 点线面位置关系（ 各种角的关系或计算） 等；主观题以常见几何体为载体，考查平行或垂直关系的证明、线面角或二面角三角函数值的计算等. 精选试题解析 一、单选题 1. （ 2 0 2 0 •山东高三下学期开学）设机, 〃， / 为三条不同的直线，” , 力为两个不同的平面，则下面结论正确的 是 （ ） A.若 m ua、nu /3 , a / / 0 ,则〃 B.则 a _ L / 7 C .若加 a , " _ L 夕, a _ L 夕，则D. m /la, n ! la, I L m, I Vn,则 / _ L a 【 答案】c 【 解析】 A选项中，加， 〃可能异面； B选项中，也可能平行或相交； D 选项中，只有加， ”相交才可推出/ J . a . C 选项可以理解为两个相互垂直的平面，它们的法向量相互垂直. 故选：C 2 . （ 2 0 2 0 届山东省潍坊市高三模拟二） 已知三棱锥。-ABC 的所有顶点都在球。的球面上，= B C = 2 , AC = 2舱 ，若三棱锥。一 ABC 体积的最大值为2 ,则球。的表面积为（） 【 答案】D 【 解析】 第 2 8 页 共 8 8 页  分析：根据棱锥的最大高度和勾股定理计算球的半径，从而得出外接球的表面积. 详解：因为45 = BC = 2,AC = 2 0 ,所以 过A C的中点M作平面A B C的垂下M N,则球心。在MN上, 设OM = 〃，球的半径为R ,则棱锥的高的最大值为R + 〃， 因为％_ABC = - x - x 2 x 2 x (/? + /?) = 2 ,所以 R + 〃 = 3, 3 2 由勾股定理得R? =(3—/ ? 尸+2 ,解得R = U ， 所以球的表面积为S = 4»x坦 =也 乙 ，故选D. 36 9 3. (2020•山东高三下学期开学) 在四面体A8CO中，且ABJ_AC，A C L C D , A B ，8 所成的角为 30°, A B = 5, AC = 4, C D = 3 ,则四面体A8CD的体积为( ) A. 8 B. 6 C. 7 D. 5 【 答案】D 【 解析】 由题意， 如图所示，A B A . A C , A C 1C D ,过点A作CO的平行线A E,则A C ,平面A 6 E ,且NE45 为 30。 或 150°, 从3点向AE作垂线，垂足为E ， 易证B E ,平面ACZX 则点B到平面A C D的距离B E = A B sinZEAB = 5 x ' = * , 2 2 则 %s = ；ACCZ) = 6, 则四面体ABCO的体积为V B E = 5. 故选：D. 第 2 9 页 共 8 8 页  4.（ 2020届山东省济宁市第一中学高三二轮检测） 已知四棱锥M-ABCZ） ， MAJ_平面ABC。，A B ± B C , Z B C D + Z B A D = 1 8O0, M4 = 2 ，B C = 2瓜,Z4BM =30°.若四面体MACD的四个顶点都在同一 个球面上，则该球的表面积为（） A. 20万 B. 22万 C. 40乃 D. 44% 【 答案】C 【 解析】 因为NBCZ） + NBAD = 180°,所以A ，B, C ,。四点共圆，Z A D C = Z A B C = 9 0°. 由 tan30° = *,得 AB = 2百 ，所以 4 c = +（ 2 n j = 6. 设AC的中点为E ，M C的中点为O ,因为AM_ L平面ABC。，所以O E ,平面ABCD. 易知点0为四面体M4c。外接球的球心，所以O C = J （ g ） + （ | ）= 回，S球=4万•O CZuzU）乃 . 故选C 5. （ 2020届山东省烟台市高三模拟）《 九章算术》中记载，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱，阳马指底 面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥. 如图，在堑堵ABC - A A G中，A C Y B C , A A = 2 ,当阳马 4 8 —体积的最大值为］时，堑堵ABC- 4与 £ 的外接球的体积为（ ） 第 3 0 页 共 8 8 页  c . 4 0 8五 「32 64夜 A. - 7 1 B. K C. - 7 1 D. ---------7 1 3 3 3 3 【 答案】B 【 解析】 由 题 意 易 得 平 面 A C £ 4 ， 当且仅当A C = BC时等号成立， 4 又阳马B-ACGA体积的最大值为 所以A 3 = 2, 所以堑堵A B C - A 旦G 的外接球的半径RV2, 所以外接球的体积丫 = ± 乃 / = 述 乃 , 3 3 故选: B 6. （ 2020届山东省淄博市部分学校高三3 月检测）已知三棱锥P -ABC的四个顶点在球。的球面上， P A =P B =P C, AABC是边长为2 的正三角形，E, F 分别是以 ，AB的中点，NCEF=90。 ,则球。的体积为 A. 8y/ 6n B. 4娓兀 C. 2娓兀 D. " 兀 【 答案】D 【 解析】 解法一: •••P A = PB=PC, A 4BC 为边长为2 的等边三角形，.•.P—ABC 为正三棱锥， : . PB1 AC ,又E , E 分别为2 4 、A 3 中点， ： . E F / / PB, . . E F 1 AC ,又 EF 上 CE, C E Q AC ^C , .•.EF_ L 平面尸A C , 依 _ 1 _ 平面PA C ， 第3 1页 共8 8页  .•.NAP5 = 90o,;.PA = PB = PC =夜，，P-ABC为正方体一部分，2R = ,2 + 2 + 2 = 6 ，即 芭,• .W = M = 5 x* 扁, 故选D. 设Q4 = P3 = PC = 2x, 分别为PAAB中点， ：.E F //P B ,且EF = LpB = x, ♦.•△ ABC为边长为2的等边三角形， 2 :.CF = #> 又 /CEF = 90° . . " = 13 — ' , AE^-PA^x 2 A4EC中余弦定理cos/H4C= ' + 4 -( 3-,作POLAC于 。，-.-PA^PC, 2x2xx An i Q O为AC 中点，cosZE4C =—= — PA 2x 尤2 + 4 - 3 + X ? 1 4x 2x .1 . 2x2 +1 = 2 x2 =— 2 x = W，;.PA=PB = PC = & 又AB=BC=AC=2, ..% ,P B ,P C两两 第 3 2 页 共 88 页  垂直，2R ~ y]l + 2 + 2 = 5/6 > R - V = 3±7tx 8色 =, 故选 D. 2 3 3 8 7. （ 2020届山东省潍坊市高三模拟一）在边长为2的等边三角形ABC中，点D E分别是边AC, AB上的 A P ） 点，满足DE/ / B C且——=2 Q e （ 0,1） ） ,将口 人 。£沿直线。七折到口 A D E的位置. 在翻折过程中，下列 A C 结论成立的是（ ） A .在边A E上 存 在 点 使 得 在 翻 折 过 程 中 ，满足8/7/ 平面A'CD B .存 在 使 得 在 翻 折 过 程 中 的 某 个 位 置 ，满足平面A'8C_ L平面8CDE C .若2 = g ，当二面角A —0E— 8为直二面角时，|4却 =乎 D .在翻折过程中，四棱锥A'-BCOE体积的最大值记为/（ 丸 ） ，/（ ㈤ 的最大值为” 【 答案】D 【 解析】 对于A ,假 设 存 在 尸 使 得 〃 平 面A'CD， 如 图1所示， 因 为 防 u平面A'BE，平面A 'B E c平面A'CD = A 'A ,故B/7/AA, 但在平面4’8 E内，8 RA A是相交的， 故假设错误，即不存在E e A E ，使得8/〃平面A 'C O,故A错误. 对于B ,如图2, 第 3 3 页 共 8 8 页  A' 取 的 中 点 分 别 为/,H ,连接 因为AA8C为等边三角形，故A /L 3C ， 因为 DE//BC,故 ZA'DE = ZA'DE = ZACB = 60°, ZA'ED = ZAED = ZABC = 60°, 所以均为等边三角形，故A”AH DE， 因为 DE//BC, A I1B C , AI I B C ,故 A,” , /共线， 所以/H L D E ,因为 A 'H c/H = H ,故 。EL平面 A” /, 而OE u平面CBED,故平面A'HI，平面CBED, 若某个位置，满足平面A'3C_L平面BCDE,则A'在平面3C£>E的射影在田 上 ，也在BC上，故A'在 平面BCDE的射影为 " ，所以 此时九 AD ~AC _ A _ H _ _ ___ A_'H __ _ _1 Al ~ AH+IH 2 这与矛盾，故B错误. 对于C ,如图3 （ 仍取6C,DE的中点分别为/ , ” ，连接出,A'H,A'B,W7 ） 因为A'H ± D E ,IH ± B C ,所以ZA,HI为二面角A — DE— /的平面角， 因为二面角A'—力七一8为直二面角，故NA7〃 = 9 0 °,所以A " J. AH， 而IH cD E = H，故 A " _L平面CBED，因 B H u平面C 5E D ,故.K H 1B H . 第3 4页 共8 8页  因为a=；,所以= 〃/ =」A/ 2 2 2 在 RtAIHB 中 ,BH=,I^+1=— , V4 2 在 & A A '" 8 中，A!B = 对于D ,如图4 （ 仍取3C,£）E的 中 点 分 别 为 连 接/” ,A H ,A B ,A 'C ） , 作A'在底面CBED上的射影0 ,则 。在 田 上 . 因 为 四 =4 8。〃 。£,所 以 笔= 4且 匹= X ,所以A ” = 6 /1其DE = 2/1. AC 73 2 又吸_ 年 & = ； X ( x ( OE + C8) X /” X A O = -(2 2 + 2)x73(1-A)xA ,O< l(2A + 2 )x ^(l-A )x > /3 /l = -23+ 2, 6、6、 令 / (a )= —几3 +4 x e (0 ,1 ),则/''(/I) = -3A2 + 1, ( 向 当4 e 0,—时, I 3 ) / ' （ X） ＞0；当力时，/ ' ⑷ <0. 所以“4）在为增函数，在 e 、 』 为减函数，故 / （ 九 入 , ”=/ 7 2A/3 ~9~ 故D正确. 故选：D. A' 二、多选题 8. （ 2020届山东省淄博市部分学校高三3月检测）如图，正方体ABC0-A田G "的棱长为1，线段与。 第3 5页 共8 8页  上有两个动点E 、 F，且= 则下列结论中正确的是（ ） 2 A. A C 1 B E B. E F / / 平面 ABCD C. 口 A EF的面积与□虎户的面积相等 D .三棱锥A - 班户的体积为定值 【 答案】ABD 【 解析】 D A 可证A C J•平面DQB片 , 从而A C L 5 E ,故 A 正确；由回。" / 平 面 A 8C。，可 知 跖 / / 平面A 8CD , B 也正确； 连 结 交 A C于 。， 则 A 0为三棱锥A —血 下 的高，％B E F= 1XLX1 = 1,三棱锥A — 2 2 4 的体积为！X』XY 2 = N 2为定值，D 正确；很显然，点 A 和点3 到的E E 距离是不相等的，C 错误. 3 4 2 24 故选：ABD 9. （ 2020届山东省荷泽一中高三2 月月考）如图, 正方体ABC。-%用G A 的棱长为1,则下列四个命题正 确的是（） 第3 6页 共8 8页  c TT A . 直线3 c 与平面ABG A 所成的角等于一 4 B . 点 。到面A 8 G A 的距离为立 2 IT C . 两条异面直线。c和 所 成 的 角 为 一 4 D . 三棱柱朋 4外接球半径为立 2 【 答案】ABD 【 解析】 正方体A B C D -A 4 G A 的棱长为1， 7T 对于A , 直 线 与 平 面 A BC。 所成的角为N C 5G = ^ ，故选项A 正确； 对于B , 因为用C J•面 ABG。 ，点 C 到面ABC。 的 距 离 为 长 度 的 一 半 ，即/ / =注，故选项B 正 2 确； 对于C , 因为8 G / / A " , 所以异面直线。。和 8 c l所成的角为N A 0 C ，而口A 3 。为等边三角形，故两 条异面直线2 c 和B C1所成的角为?，故选项C 错误； 对于D,因为AA， ABI， AA两两垂直， 所以三棱柱的 9一5 反。 | 外接球也是正方体ABCD-ABCQI的 外接球，故 r = 也;1旧1 =立，故选项D 正确. 2 2 故选：A B D . 10. （ 2020届山东省济宁市第一中学高三二轮检测）如图，在以下四个正方体中，直 线 与 平 面 CD E垂 直 的 是 （) 第3 7页 共8 8页  【 答案】BD 【 解析】 对于4由AB与CE所成角为45°, 可得直线A B与平面CDE不垂直； 对于 3 ,由 A B ^ E D ,C E c E D = E ， 可得A B ,平面CDE； 对 于G由AB与CE所成角为60°, 可得直线A B与平面CDE不垂直； 对于。，连接A C ,由平面ABC, 可得E 3_L A B ,同理可得EC_L AB, 又E D c E C = E ,所以A B ,平面COE. 故选：BD II. （ 2020届山东省烟台市高三模拟）如图，在四棱锥P-ABC。中，P C ,底面A B C D ,四边形ABC。 是直角梯形，AB//CD,AB± AD,AB = 2 AD = 2CD = 2, F是A 3的中点，E是P 8上的一点，则下列说法正 A .若 P B = 2 P E ，则"/ / 平面 PAC B .若P B = 2 P E ,则四棱锥P-ABC。的体积是三棱锥E— ACB体积的6倍 C .三棱锥P —ADC中有且只有三个面是直角三角形 第3 8页 共8 8页  D . 平面3 c p ，平面ACE 【 答案】AD 【 解析】 对于选项A,因为P B = 2PE， 所以E 是 心 的 中 点 ， 因为F 是 的 中 点 ， 所以防 / 〃 % , 因为P A u 平面Q4C, E F （Z 平面PAC,所以EF / / 平面PAC,故 A 正确； 对于选项B,因为= 2PE,所以= 2 VE-ABCD， 因为 AB / /CD, AB _ L AD, AB = 240 = 2 8 = 2, 所以梯形ABC。的面积为L （ CQ + AB>AO = LX（ 1 + 2）X1 = 3 ,S . 品 = 」4 5 .4 。= !、 2 、 1 = 1,所以 2 ^ 2 2 2 3 V v E - A B CD = - 2 - V * - ABC， 所以％" B 8 = 3 "YBC， 故 B 错误； 对于选项C,因为PC ，底面ABC。, 所以P C _ L A C , P C _ L 8,所以口口4。, 口 尸 。 £ > 为直角三角形， 又 AB / /CD, A B ，A。, 所以A£> _ L CD,则口 AC O为直角三角形， 所以 P A? = pc? + AC2 = P C2 + AD 2 + CD2, P D2 = CD2 + P C2, 则P A 2 = PD2 + AD） ,所以A PA D 是直角三角形， 故三棱锥P- AD C的四个面都是直角三角形， 故 C 错误； 对于选项D,因为PC _ L底面ABCD,所以PC _ L AC, 在 / ? / □ ACO 中,AC = VAD2+ C£>2 =夜 ， 在直角梯形 ABC。中,B C = y]A D2 +（ AB- C D ） 2 = 6 , 所以 AC? + B C? = AB?,则 AC1BC, 因为B C c P C = C ,所以A C ，平面B CP , 所以平面B CP ±平面ACE， 故 D 正确， 故选: AD 12. （ 2020. 山东高三模拟） 在正方体ABC。—4 4 G 9 中，如图，M ,N 分别是正方形ABCD, 的 中心. 则下列结论正确的是（ ） 第 3 9 页 共 8 8 页  A .平面R M N与B,c,的交点是4 G的中点 B .平面RM N与 的 交 点 是BC的三点分点 C .平面0M N与 的 交 点 是AO的三等分点 D .平面RMN将正方体分成两部分的体积比为1 ： 1 【 答案】BC 【 解析】 如图，取8 c的中点E ,延长。E，D、N ,并交于点F, 连接 并延长，设 FM cB C = P, FM r>AD = Q, 连接PN并延长交与G于点〃. 连接2。，DtH , 则 平 面 四 边 形 就 是 平 面 与 正 方 体 的 截 面 ，如图所示. NE / ICC\〃DD\,NE = qCC, = ^ D Di> . •. 八的为公。。尸的中位线，； . £ 为 。尸中点，连BF， \DCE = \FBE, BF = DC = AB, NFBE = ZDCE = 90°, .・.A B ,/ 三点共线，取A 3中点S ,连MS, 则 MS//BP,MS =、BC,：.肚=坦=乙, 2 MS FS 3 第 4 0 页 共 8 8 页  2 2 1 1 1 :.BP = -M S = -x-B C = -BC,:.PE = -B C , 3 3 2 3 6 •;E 为 DF 中点、 ,PE / / DQ,：. DQ = 2PE = ；BC = ；AD N分别是正方形BCC,旦的中心，. •. 储" =BP = ； G始 所以点P是线段8C靠近点8的三等分点， 点。是线段AO靠近点。的三等分点， 点H是线段4 G靠近点G的三等分点. 做出线段BC的另一个三等分点尸' ， 做出线段A 2靠近A的三等分点G , 连接Q p ，HP'，QG，GH，^H-QPP, =VQ-GHD、 , 所 以 魄面体2/WD.GC。= V氏 方 体0PHe一 永 弓 乃 = § KE方 体 从而平面D、M N将正方体分成两部分体积比为2 ： 1. 故选:BC. 13. （ 2020届山东省高考模拟）如图，矩形ABCO中，M为 的 中 点 ，将口48加沿直线AM翻折成 □ ,连结用。 ，N为 片。的中点，则在翻折过程中，下列说法中所有正确的是（ ） A .存在某个位置，使得CNLAB 第 4 1 页 共 8 8 页  B.翻折过程中，a v的长是定值 C .若 A B = B M ，则 D .若A5 = BAf = l ，当三棱锥用-AMD的体积最大时，三棱锥用 - AM。的外接球的表面积是41 【 答案】BD 【 解析】 如 图1，取AO中点E ，取A g中点K ，连结EC交于点/ ，连结，K N , B K , 则易知 NE//AB,, N F g M , E F//AM , K N / / A D , NE = g A与，E C = A M 由翻折可知，ZMAB, = Z M A B , A B t = A B , 对于选项A ,易得K N / / B C ,则K、N、C、3四点共面，由题可知A 3 ,3 C ,若aV_L43 ,可得A 3 , 平面8C N K ,故则AK = JAB? + B K 2 > A3，不可能，故A错误； 对于选项B ,易得N N E C = N M A B - 在口人心。中，由余弦定理得 C N = yJCE2 + N E 2 - 2 N E - C E - cosZ N E C ， 整理得CN = \ 4W2+”- 2 — + > V 4 2 A M 2 故CN为定值，故B正确； 如图2 ,取A。中点E ，取AM中点。，连结B g, O E, B Q , DO,, 第 4 2 页 共 8 8 页  对于选项C,由= 得,若易得平面4。。 ，故有AA/L8, 从而A D = A / £ ） ，显然不可能，故C错误； 对于选项D,由题易知当平面A B | M与平面AAQ垂直时， 三棱锥小 -A M。的体积最大，此时用。，平面 AM D,则与。，。后，由A 3 = 3 M=1,易求得8。 =手，DM = 6 ,故 4 £ 1 * + 0炉停| +佟］ = 1 ，因此6 4= E 4 = E D = EM , E为三棱锥用-AMO的外 \ \ 2 J I 2 , 接球球心，此外接球半径为1 ，表面积为4 % ，故D正确. 故选：B D . 1 4 . （ 2 0 2 0 2 0 2 0届山东省淄博市高三二模）如图所示，在四棱锥中，底面A 8 C O是边长为2的 正方形，A C O E是正三角形，M为线段OE的中点，点N为底面A B C D内的动点，则下列结论正确的是 （ ） B.若BCLDE时，直线E 4与平面A B C D所成的角的正弦值为巫 4 C.若 直 线 和EN异面时，点N不可能为底面A 3 C D的中心 第4 3页 共8 8页  D .若平面COE_L平面ABC。，且点N为底面ABCD的中心时，BM = EN 【 答案】AC 【 解析】 •rB C u平面ABC。，所以平面ABC。，平面CDE, A项正确； 设C D的中点为尸，连接E F、A F ,则 瓦'LCZX • . •平面ABCZ） _L平面C D E ,平面A3CZ） n平面COE =。，E E u平面CDE. .•.EP_L平面ABC。，设£ 4平面ABC。所成的角为8 ,则8 = / £ 4 / ， EF = ylCE2-CF2 = 6 , AF = ylAD2 +FD2 =V5 - AE = > JEF2 + AF2 = 2>/2 > 则 sin 0 = —— = - - > B 项错误; EA 4 E 连接BO，易知平面8O E ，由3、M、E确定的面即为平面BOE， 当直线BM和EN异面时，若点N为底面ABC。的中心，则N eB O , 又E e平面B D E ,则EN与8M共面，矛盾，C项正确； 连接 MV, •••FNu 平面 ABC。，EF 上平面 ABCD, ：.EF 工 FN, • . •尸、N分别为C。 、8D的中点，则FN =』BC = 1, 2 又 EF = \lj，故 ENVEA + FM =2, BM 々Be? +CM° = B 则 BMHEN, D 项错误• 故选：AC. 15.（ 2020-山东高三下学期开学） 在三棱锥D-ABC中，4 ? = 3。= 8 =。4 = 1 ,且4 6 , 3。，8 , 0 4 , M, N分别是棱BC, CQ的中点，下面结论正确的是（ ） A. A C LB D B. M/V〃平面 A3。 第 4 4 页 共 8 8 页  C .三棱锥A-CMN的 体 积 的 最 大 值 为 " D. A。与BC一定不垂直 12 【 答案】ABD 【 解析】 根据题意，画出三棱锥。-ABC如下图所示，取AC中点0 ,连接 对于 A ,因为 A3 = BC=CD=D4 = 1 ,且 ABLBC, CDLDA, 所以A4BC,AADC为等腰直角三角形， 则 0D1 AC, BO 1 AC,且 ODcBO=O, 则ACJ_平面3QD, 所以AC_ L 3 0 ,即A正确； 对 于B ,因为M, N分别是棱BC, C。的中点， 由中位线定理可得M N //B D ,而5 D u平面/WO，平 面 的 , 所以肱V //平面即B正确； 对于C ,当平面R4CJ_平面ABC时，三棱锥A-CMN的体积最大， VA-CMN = VN-ACM =/' （ 品 ；* lx l） x等xg = ^ ,即 C 错误; 对于 D ,假设 A D L 3 C ,由 ABJ.BC,且 AT>cA3 = A, 所以8C_ L平面" £>,则BCJ_ 8D, 又因为A C _ LB D ,且ACA6C = C, 所以BDJ_平面A B C ,由Q B u平面A B C ,则 %>J_ O3, 由题意可知O B = O D ,因而8£>_ LQB不能成立，因而假设错误，所以D正确； 综上可知，正确的为ABD, 故选：ABD. 第4 5页 共8 8页  1 6. （ 2 0 2 0届山东省潍坊市高三模拟一） 沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个 狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间 称为该沙漏的一个沙时. 如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为8 c m ,细沙全部在上 2 部时，其高度为圆锥高度的§ （ 细管长度忽略不计）. 假设该沙漏每秒钟漏下0 . 0 2。 / ？的沙，且细沙全部漏 入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆. 以下结论正确的是（ ） A.沙漏中的细沙体积 为 胆 加3 8 1 B.沙漏的体积是1 2 8万 。 '机3 C.细沙全部漏入下部后此锥形沙堆的高度约为2 A c m D.该沙漏的一个沙时大约是1 98 5秒 （ 万^ 3. 1 4 ） 【 答案】A C D 【 解析】 A .根据圆锥的截面图可知：细沙在上部时，细沙的底面半径与圆锥的底面半径之比等于细沙的高与圆锥的 高之比， , , , , 2 . 8 T. 1 , 2 h 1 64乃 1 6 1 0 2 4万 所以细沙的底面半径r = —X4 = -C7 % ,所以体积V = 一♦乃广- - - -- - - - - - - - - - - -- - - - - - 3 3 3 3 3 9 3 8 1 B .沙漏的体积 V = x h - 2 x - x 7 rx 42 x S - ^ ^ - T rc m3 ； 3 ⑶ 3 3 C .设细沙流入下部后的高度为九，根据细沙体积不变可知: ”， ，10 24乃 16万,”， ，，三“ 所以------=---- ", 所以 4 a 2. 4 c ' 〃 z ； 81 3 D.因 为 细 沙 的 体 积 为 , 沙漏每秒钟漏下0 . 0 2c 〃?3的沙, 所以一个沙时为: 10 24万 五二10 24 x3 . 14 x5 0 58 5 秒 0 . 0 2 81 故选：A CD . 第 4 6 页 共 8 8 页  17 . （ 20 20届山东省潍坊市高三模拟二）如图,正方体A B C。- 44G A的棱长为1,则下列四个命题正确的 TT A.直线3c与平面ABG。 所成的角等于」 4 B. 点 。到面A8 C Q的距离为立 2 7 T C .两条异面直线2 C和8 G所成的角为二 D.三棱柱4 4 ,2 - 6gG外接球半径为立 2 【 答案】A B D 【 解析】 正方体A B C。-A旦G 2的棱长为1, 7T 对于A,直线BC与平面A B C。 所成的角为N C S q =^，故选项A正确； 对于B,因为gC ，面ABG A，点C到面A B C Q i的距离为耳。长度的一半，即力=①，故选项B正 2 确： 对于C ,因为B G / / A。 ，所以异面直线。。和8 G所成的角为乙4RC ，而口A3。为等边三角形，故两 条异面直线QC和Bq所成的角为? ，故选项C错误； 对于D ,因为4A ， A 4 , AA两两垂直， 所以三棱柱A 4 ,A - 8gG外接球也是正方体A B C。-A8 G A的 外接球，故 厂 = 也 过 士 二 = @ ，故选项D正确. 22 第 4 7 页 共 8 8 页  故选：ABD. 18. （ 20 20届山东省六地市部分学校高三3月线考）已知正四棱柱A B C。-A4G A的底面边长为2 ,侧 棱4 4 1= 1, p为上底面4月G A上的动点，给出下列四个结论中正确结论为（ ） A.若P O = 3,则满足条件的P点有且只有一个 B.若P D = C，则点P的轨迹是一段圆弧 C .若 〃 平 面A CS一 则 。尸长的最小值为2 D .若P O 〃平面ACB,,且= 6 ,则平面8 D P截正四棱柱A B C D - \ B XCXD,的外接球所得平面图形 的面积 为 巨 4 【 答案】A B D 【 解析】 如图： ♦ . • 正四棱柱— 的底面边长为2, :.B \ D \ = 2 M ，又侧棱 A A = 1, ； .DB[ =#8j + f = 3 ,则P与B 1重合时P D = 3,此时P点唯一，故A正确： V P D = V 3 e （ l ,3 ） , DD, = 1,则=也 ，即点P的轨迹是一段圆弧，故B正确； 连接。A， oq,可 得 平 面 〃 平 面A c q ,则当尸为4 c l中点时，D P有最小值为= G ， 故c错误； 由C知， 平面5 DP即为平面, 平面8 D P截 正 四 棱 柱 — 的外接球所得平面图形为 外接球的大圆，其半径为一122 +22 + 『=2 ,面积为一，故 。正确. 2 2 4 第4 8页 共8 8页  故选：ABD. 19. （ 2020届山东济宁市兖州区高三网络模拟考）如图，在四棱锥P -A B C 。 中，底面ABC。为菱形, ZD AB = 60° 1 侧面？ A D 为正三角形，且平面E 4£） _L平面A B C D ,则下列说法正确的是（ ） A . 在 棱 上 存 在 点 M ,使平面PMB B . 异面直线A O 与 所 成 的 角 为 90。 C . 二面角P -B C — A 的大小为45。 D. 8 。，平面 PAC 【 答案】ABC 【 解析】 如图，对于A ，取 A。的中点M ，连接♦ . •侧面PA D 为正三角形, : .P M ± A D，又底面A 8C D 是菱形，ND4B = 60°，是等边三角形， ：.A D ± B M .又 P M c B M = M , P M，B M u 平面尸M B ， .• .4 ） ，平面P B M ,故 A 正确. 对于8 , •.•4 ） ，平面P B M ，.•.AT>_LPB，即异面直线A£） 与 所 成 的 角 为 90。 ，故 5 正确. 对于 C , • . •平面 PBCCI 平面 ABCD = B C , BC //AD , :.B C 上平面 P B M，：.B C 上 PB BC 上 BM , .•.N P8W 是二面角P —B C -A 的平面角，设 4 3 = 1 , 则 8 " = 走，PM = —， 2 2 PM 在 RtZXPBM 中，ta n /P 6 M = ——= 1 , 即 N P B M = 45°，故二面角 P —3 C —A 的大小为 45。 ，故C 正 BM 确 . 第 4 9 页 共 8 8 页  对于。，因为BO 与 2 4 不垂直，所以8D 与平面2 4 c 不垂直，故 。错误. 故选：A B C 20. （ 2020届山东省济宁市第一中学高三一轮检测）如图，在正方体A BC。—4 4 G 2中，尸是棱4 。 上 动点，下列说法正确的是（ ）. A A .对任意动点F，在平面A O A A 内存在与平面C M 平行的直线 B . 对任意动点F，在平面A 8CO 内存在与平面C Bb垂直的直线 C . 当点F 从 A 运动到。 的过程中，FC与平面A BCO所成的角变大 D .当点F 从 A 运动到R 的过程中，点 £） 到 平 面 的 距 离 逐 渐 变 小 【 答案】AC 【 解析】 因为AZ） 在平面A D RA 内，且平行平面CB凡 故 A 正确； 平面CBF即平面A Q C 8 , 又平面4 A C B 与平面A 8CD斜相交，所以在平面A BCD内不存在与平面C8F 垂直的直线，故 B 错误； F 到平面48C。的距离不变且尸C 变小，FC与平面ABCO所成的角变大，故 C 正确； 平面CBF即平面A R C 6 ,点 。到平面A R C S的距离为定值，故 。错误. 故选：A C. 21. （ 2020届山东省青岛市高三上期末）如图,正方体A 8CO- 4 4 G 2 的棱长为1,则下列四个命题正确的 是（） 第 5 0 页 共 8 8 页  c TT A . 直线3 c 与平面ABG A 所成的角等于一 4 B . 点 。到面A 8 G A 的距离为立 2 IT C . 两条异面直线。c和 所 成 的 角 为 一 4 D . 三棱柱朋 4外接球半径为立 2 【 答案】ABD 【 解析】 正方体A B C D -A 4 G A 的棱长为1， 7T 对于A , 直 线 与 平 面 A BC。 所成的角为N C 5G = ^ ，故选项A 正确； 对于B , 因为用C J•面 ABG。 ，点 C 到面ABC。 的 距 离 为 长 度 的 一 半 ，即// = 注，故选项B 正 2 确； 对于C , 因为8 G / / A " , 所以异面直线。。和 8 c l所成的角为N A 0 C ，而口A 3 。为等边三角形，故两 条异面直线2 c 和B C1所成的角为?，故选项C 错误； 对于D,因为AA， ABI， AA两两垂直， 所以三棱柱的 9一5 反。 |外接球也是正方体ABCD-ABCQI的 外接球，故 r = 也;1旧1 = 立，故选项D 正确. 2 2 故选：A B D . 22. （ 2020届山东省泰安市肥城市一模）在空间四边形ABC。中, E ,R G ,”分别是43,BC,8 , 0 4 上的点， 当3 。//平面E F G H 时， 下面结论正确的是（ ） 第5 1页 共8 8页  A. E,一定是各边的中点 B. G ,” 一 定 是 的 中 点 C. AE: E B = A H : H D , 且 BF: F C = D G . G C D . 四边形E F G H 是平行四边形或梯形 【 答案】CD 【 解析】 由B D H平面E F G H， 所以由线面平行的性质定理， 得B D / / E H . BD//FG,^\ A E : E B = A H : H D， 且 B F : F C = D G : G C ,且EH//FG,四边形E F G H是平行四边形或梯形. 故选：CD. 23. （ 2020届山东省泰安市肥城市- - 模）如图, 正方体A B C O -A g G 。 的棱长为1,则下列四个命题正确的 是（） A . 直线8 。与平面A B G 2 所成的角等于色 4 B. 点 C 到面A 8 G A 的距离为走 2 1T C . 两条异面直线0 c 和 8 G 所成的角为一 4 D . 三棱柱AA A - B B G外接球半径为B 2 【 答案】ABD 【 解析】 正方体ABCO—ABCI。的棱长为1, TT 对于A , 直线B C 与平面A 3 £ A 所成的角为NCBG = z ，故选项A 正确: 第 5 2 页 共 8 8 页  对于B , 因 为 与 面 ABC 。 ，点 C 到面A B G R的距离为q C 长度的一半，即力= 迎，故选项B 正 2 确； 对于C , 因为B C J / A " , 所 以 异 面 直 线 和 B G 所成的角为NA。。，而口 A。。为等边三角形，故两 条异面直线2 c 和 B G 所成的角为号，故选项C 错误； 对于D ,因为4 A A 4 , 4 〃 两两垂直， 所以三棱柱A 4 ,A —8 4 G 外接球也是正方体ABC。—4 6 c A 的 外接球，故 r = 走,故选项D 正确. 2 2 故选：ABD. 24. （ 2020届山东省潍坊市高三下学期开学考试） 三棱锥P-ABC的各顶点都在同一球面上， PC , 底面ABC, 若 P C = AC = 1, A B = 2 ,且 4 4 c = 60。 ，则下列说法正确的是（ ） A. AE4B是钝角三角形 B . 此球的表面积等于5万 C. 平面以C D . 三棱锥A-P8C的体积为且 2 【 答案】BC 【 解析】 如图， C 在底面三角形A3C中，由AC = 1, AB = 2, ZBAC = 60°, 利用余弦定理可得：B C = ^12 + 22- 2X1X2X1 =上 , /• A C 2 + B C2 = A B2» 即 ACJ_ BC, 由于PC ，底面A B C ,，PC_ LAC, P C ^ B C , ♦.•PCf lAC = C, BCJ_ 平面以C , 故 C 正确； PB = ^PC2 +BC1 =2 = AB' 第 5 3 页 共 88 页  由于尸52 + AB2-P A2 > 0 ，即N P84为锐角， .•・A7%8是顶角为锐角的等腰三角形，故 A 错误； 取 。为 AB中点，则 。为口班。的外心，可得三角形A 3C 外接圆的半径为1, 设三棱锥。一 A B C 的外接球的球心为O , 连接OP,则= +1 = 4 即三棱锥P - A B C的外接球的半径为R二盘, 2 （内 . ..三棱锥球的外接球的表面积等于4;rx 工 = 5万，故 8 正确; I 2 J V„ Altr = —x - x lx 5/3 x 1 = ,故 D 错误； P-ABC 3 2 6 故选：BC. 三、填空题 25. （ 2020届山东省高三高考模拟） 若一个圆柱的轴截面是面积为4 的正方形，则该圆柱的外接球的表面积 为. 【 答案】8万 . 【 解析】 作出圆柱与其外接球的轴截面如下： 设圆柱的底面圆半径为厂 ，则 3 c = 2厂 ，所以轴截面的面积为S正 方 形AB8 = （ 2〃 ）2 = 4 ,解得厂= 1 ， 因此，该 圆 柱 的 外 接 球 的 半 径 氏 =些 =也 二 生 =也 ， 2 2 所以球的表面积为S = 4万（ 拉 / = 8万. 故答案为8% 第 5 4 页 共 8 8 页  2 6 . ( 2 02 0届山东省潍坊市高三下学期开学考试) 双曲线上— J = 1 的渐近线与直线x = 6 围成的图形绕y 3 轴旋转3 6 0°, 则所得旋转体的体积为一 ;表面积为 【 答案】4 万 8 岳 【 解析】 双曲线事―> 2 = 1 的渐近线> = ± *X,与直线x = &的交点为( 6 , 1 ) 和( 6 , - 1 ) , 该旋转体为底面半径是6 , 高为2的圆柱， 挖掉两个底面半径为G ，高 为 1 ，母线长为2的圆锥， 所以所得旋转体的体积为V =匕 现 柱- 2%］傩= 万x(G T x2 — 2x；x乃x(、 回『xl = 4万， 表面积为S = 2x^-xV3X2 + 2X^-X->/3X2 = 8A/3 ^， 故答案为：4万 ,8& . 2 7 . ( 2 02 0•山东滕州市第一中学高三3月模拟) 已知正三棱锥P - A 8 C, 。为 BC 中点，P A = 叵,AB = 2 , 则正三棱锥P-ABC的 外 接 球 的 半 径 为 ； 过Q的平面截三棱锥P-ABC的外接球所得截面的面积范围 为. 【 答案】— 万 不 2 L 2 J 【 解析】 因为正三棱锥P-A 3C , P B = P C = P A = & A C = B C = A B = 2, 所以 = AB?，即m _ LR4， 同理P B_ LP C, P C 1P A , 因此正三棱锥P - A B C可看作正方体的一角，如图， 第 5 5 页 共 8 8 页  记正方体的体对角线的中点为。，由正方体结构特征可得，。点即是正方体的外接球球心, 所以点。也是正三棱锥P-ABC外接球的球心， 记外接球半径为七 则R, j 2 + 2 + 2 =逅 , 2 2 因为球的最大截面圆为过球心的圆， 3 所以过。的平面截三棱锥P-ABC的外接球所得截面的面积最大为5nm = I N =5〃 ； 又 。为BC中点，由正方体结构特征可得OQ = g p 4 = ^; 由球的结构特征可知，当0 Q垂直于过Q的截面时， 截面圆半径最小为r = yjR2 - O Q 2 = 1，所以Sm m = 兀f =兀. - 3 - 因此，过 。的平面截三棱锥P -A8C的外接球所得截面的面积范围为71 ,-71 . 故答案为：⑴ . — （ 2） . 71 ^-71 2L 2 J 28. （ 2020届山东省泰安市肥城市一模）在我国古代数学名著《 九章算术》中，把两底面为直角三角形的直 棱柱称为“ 堑堵” . 已知三棱柱ABC —A 4 G是一个“ 堑堵” ， 其中= = 2 ,点M是A G的中点， 则四棱锥M - B £ C B的 外 接 球 的 表 面 积 为 . 【 答案】81 【 解析】 由 题 意 得 四 边 形 为 正 方 形 ，设其中心为。，取用G中点N ,则 O N 工 M N • : O N = 1 ,M N = \ :. O M =叵=O B = O C = O B、 = OQ ,即。为四棱锥" 一 B g C B 的外接 球球心，球半径为0,球表面积为4元 （0尸 =8元 . 29. （ 2020•山东高三模拟）如图，直线/_ L平面a,垂足为O ,三棱锥A — 的底面边长和侧棱长都为 4, C在平面a内，3是直线/ 上的动点，则点5到平面A C D的距离为,点O到 直 线 的 距 离 的 最 大 值 为 . 第 5 6 页 共 8 8 页  4 f- 【 答案】yV6 2V2 + 2 【 解析】 A4CD边长为4 ,则中线长为4 x @ , 2 点B到平面A C D的距离为，16 - (4 x2 x走 ］= 士 戈 , N I 3 2 ； 3 点。是以BC为直径的球面上的点， 所以。到直线A D的距离为以B C为直径的球面上的点到A D的距离, 最大距离为分别过BC和AO的两个平行平面间距离加半径. 又三棱锥A - B C D的底面边长和侧棱长都为4, 以下求过8 c利AD的两个平行平面间距离， 分别取BC, A D中点瓦F ,连BF,CF, E F , 则 BE = C£.・.EF_ LBC,同 理 所 _ LAD， 分别过 E, F 做 E M / / A D , F N I I B C , 直线确定平面a ,直线A£>,KV确定平面夕， 则 E F 上 F N , F N C A D = F,;.EF 工。 ，同 理 砂 a , « H P ， E F 为所求，= J16-4 = 273， :.EF = <12-4 = 2 0 , 所以。到直线AD最大距离为2a + 2 . 4 故答案为； 2>/2 4- 2 • 第5 7页 共8 8页  A 3 0 . （ 2 0 2 0届山东省济宁市高三3月月考）如图所示，某几何体由底面半径和高均为1的圆柱与半径为1的 半球对接而成，在该封闭几何体内部放入一个小圆柱体，且小圆柱体的上下底面均与外层圆柱的底面平行, 则 小 圆 柱 体 积 的 最 大 值 为 . 【 解析】 由题意，设小圆柱体底面半径为C O S。, 则高为 1 + s i n。 ，6 ( 0 , 小圆柱体体积V = ^ - - c o s 2 6 - ( l + s i n 6 ) , 设 s i n 6 = f , ? e ( 0 , l ) , 则 V = % . （ 1 —r） （ ］ + / ） = 〃. （ 一/ 一产+ . + ］ ） 则 V ， = 〃. （ _3 f 2 _ 2 t + l ） = 〃. （ _3 t + l ） « + l ） , 1 . _ _ 3 2 7 当 ， = 一 时 ，v =- - - - 3 m a x 2 7 3 2 4 故答案为：- - - - 2 7 3 1 . （ 2 0 2 0届山东济宁市兖州区高三网络模拟考）农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称 粽屹，俗称“ 粽子” ，古称“ 角黍” ，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱 国主义诗人屈原. 如图，平行四边形形状的纸片是由六个边长为1的正三角形构成的，将它沿虚线折起来， 第 5 8 页 共 8 8 页  可以得到如图所示粽子形状的六面体，则该六面体的体积为一；若该六面体内有一球，则该球体积的最 大值为 ( 1 ) 每个三角形面积是S = = 1 , 由对称性可知该六面是由两个正四面合成的, 3 2 7 4 可求出该四面体的高为J 1 - ( 立 ］ =X6,故四面体体积为lx走=巫， V 3 3 3 4 3 1 2 因此该六面体体积是正四面体的2 倍， 所以六面体体积是也； 6 ( 2 ) 由图形的对称性得，小球的体积要达到最大，即球与六个面都相切时，由于图像的对称性，内部的小球 要是体积最大，就是球要和六个面相切, 连接球心和五个顶点，把六面体分成了六个三棱锥设球的半径为R , 7 2 f l x/ 3 J6 4 所以' 丁 = 6 x - x ^ - x / ? = > / ? = 1, 所以球的体积V=」R3 6 ( 3 4 J 9 3 故答案为：旦;遏. 6 7 2 9 四、解答题 3 2 . ( 2 0 2 0 届山东省济宁市第一中学高三二轮检测) 已知如图1 直角梯形A B C 。，AB///CD, NZM 8 = 9 ( ) °， A8 = 4， AQ = CD = 2 , E 为 AB的中点， 沿 E C将梯形ABCO 折起( 如图2 ) , 使平面B E D 平面A E C D . 图2 第 5 9 页 共 8 8 页  ( 1 ) 证明： 6 E 1 平面AECO； 2 ( 2 ) 在线段C O上是否存在点凡 使得平面E 钻 与平面EBC所成的锐二面角的余弦值为不，若存在，求 出点F 的位置；若不存在，请说明理由. 【 答案】( 1 ) 见解析；( 2 ) 存在，尸 为 中 点 【 解析】 ( 1 ) 证 明 连 接 A C , 则 AC_ LO£, 又平面或应_ L平面A E C D ,平面B D E C 平面AECD = Z)H, 4 。( = 平面4 £ 。 £ ) , 所以AC J•平面8 D E ， 所以 又BE LC E , A CC\CE = C , AC , C £ u 平面 AECD, 所以B E 1 平面AECD. (2) ( 1 ) 得 B E 1 平面 A E C O,所以 所以E 4 ，E B，EC两两垂直， 分 别 以 丽 ，EB，反方向为x, y, z轴正方向，建立空间直角坐标系石一砂z, 如图所示, 则石(0,0,0), A (2,0,0), * 0 ,2 ,0 ), 设尸(a,0,2), 0 < a < 2 , 所 以 丽 = (a —2,0,2), BF = (a , - 2 , 2 ), 设平面E钻的法向量为〃 = (x ,y ,z ), 第 6 0 页 共 8 8 页  A F n = ( x- 2 ) x + 2 z = 0 , B F • n = QX—2 y + 2 z = 0 , 取x = 2,得〃 = ( 2 , 2 , 2 —〃 ) . 取平面E B C的法向量为送= ( 1 , 0 , 0 ) . 所以c o s ( 力 切 = " 小川 夜 2 一4 〃 + 1 2 2 3 所以a = 1 . 所以线段。。上存在点F ,且尸为。。 中点时，使得平面£钻 与平面E8C所成的锐二面角的余弦值为2 . 3 3 3 . ( 2 0 2 0 届山东省济宁市第一中学高三一轮检测) 如图所示， 直角梯形ABCD中，AD//BC, A D ± A B , 4 B = BC = 2 A T> = 2,四边形 E D C F 为矩形，C F = 6 平面 E O C F _ L 平面 A B C D . ( 1 ) 求证：□平面A B E ； ( 2 ) 求平面A B E 与平面E F B 所成锐二面角的余弦值. ( 3 ) 在线段D F 上是否存在点P , 使得直线B P 与平面A B E 所成角的正弦值为 立 ，若存在，求出线段B P 的 长，若不存在，请说明理由. 【 答案】⑴见 解 析 ( II) 苦( HI) | 丽| = 2 【 解析】 (I )取 。为原点，D4所在直线为x 轴，O E所在直线为z轴建立空间直角坐标系，如图，则 A ( l , 0 , ( ) ) , 3 0 , 2 , 0 ) , E ( 0 , 0 询,网-1 , 2 , 句，. •. 诙 = ( - 1 , - 2 , 网,荏= ( 0 , 2 , 0 ) , 设平面ABE的法向量万 不妨设为= ( 6 , 0 / ) ，又 而 = ( - 1 , 2 , 6 ) , 第6 1页 共8 8页  . . . 而•万= 一6 + 6 = 0，而 J_万，又：。尸2平面 ABE，，" 7 /平面 ABE. (ID V BE = ( - 1 , - 2 , ^ ) ,丽= (— 2 , 0 , 6 ) ,设平面8石厂的法向量比= (x,y,z), — x — 2y + y/3z = 0, - 2x + >/3z - 0, 不妨设初=(2月 , 后4卜 10 _ 5后 2.而一31 平面A B E与平面£FB所成锐二面角的余弦值为三叵. 31 (III)设 历 = 几 丽 = /1(— 1 ,2 ,6 ) = (—2G[0,1], .-.P(-2,22,732), A BP = (-2-l,2A -2,V 3A),又• . •平面 ABE的法向量开= (6 ,0 ,1 ), sin^ = |cosBP,/7| = |-V 32-V 3 + V3A| 2^(2 + 1)2+(2 2 -2)2+322 B V 8 /2 — 6 / + 1 = 0, .•・/1 = 7 2 或 7 1 = 二 4. 当4 =, 时 ，丽 =— 3, — 1,也，：.\BP\ = 2；当4 =, 时 ，B P = 2 1 2 2 J । । 4 ，二 冏= 2 . 综上，|而| = 2. 34. (20202020届山东省淄博市高三二模) 图1是由矩形ADEB, RsABC和菱形BFGC组成的一个平面图 形，其中AB=1, BE=BF=2, ZFBC=60° ,将其沿AB, BC折起使得BE与8尸重合，连结O G ,如图2. (1)证明：图2中的A, C, G ,。四点共面，且平面ABC,平面BCGE； ( 2 )求图2中的二面角B - C G - A的大小. 第 6 2 页 共 8 8 页  【 答案】⑴见详解；(2) 30°. 【 解析】 (1)证：••• A D //B E , BF / / C G ,又因为E 和尸粘在一起. AD / / C G , A, C, G, D 四点共面. 又；ABLBE , AB 上 B C. .•.A8_ L平面 BCGE, •.•A B u平面 ABC, . •. 平面 ABCJ_ 平面 BCGE,得证. (2)过 B 作 B”_ LGC延长线于H , 连结A H ,因为AB_ L平 面 BCGE,所以A 3 L G C 而又BH L G C ,故 G C ,平面所以A〃 _ LGC.又因为所以ZB/Z4是二面角 3 - C G -A 的平面角，而在中NBHC = 90°，又因为NEBC = 60°故N B C " =60°，所以 B” = BC sin60°=技 而在口 / 48” 中 ZABH = 90°,tanZB HA = —= - ^ = —,即二面角 B —C G -A 的度数为30。 . BH 垂, 3 35. (2020. 山东高三模拟)如图，在四棱锥P—ABC。中， R4_ L平面A B C D ,四边形A8CO为正方形， 点户为线段PC 上的点， 过 A 。, 尸三点的平面与尸5 交于点E.将①A5 = A P,② 8E = PE ,③ 中的两个补充到已知条件中，解答下列问题： 第 6 3 页 共 8 8 页  ( 1 )求平面ADEE将四棱锥分成两部分的体积比; ( 2 )求直线PC与平面ADEE所成角的正弦值. 【 答案】(1 ) -； ( 2 )旦 . 3 3 【 解析】 第一种情况：若将①A B = AP，② B E = PE作为已知条件，解答如下: ( 1 ) 设平面ADEE为平面a . ：B C / / A D，, 3c 〃平面。,而平面a D 平面 P B C = E F , A E F / / B C , 又 E 为 P B 中点. 设 A P = A B = 1 ，则 E F = — B C = —. 2 2 在三角形 Q 4 8 中，P B = y/2,AE = — = —， 2 2 由 A £ > _ L P A , AD，A 8 知 AD _ L 平面 R W , A D L A E , E F L A E , 二梯形AEFD的面积 SAEFD ;如 巴 心 房 *旦 述 , 2 2 2 8 A B = AP, B E = P E , P B 工 A E , A D ± P B , AD n A £ = A , P 8 _ L 平面 A E F D , 1 Z 1 30 夜 1 ” _ 1 . ,1 P - A E F D 3 8 2 8 3 3 .v ・ ・ E F - A B CD 3 g 2 4 ' 1 故 V p A E F D =8=3, VEF-ABCD = 9 ^ E F - A B CD _ _ 5 ^ P - A E F D 3 2 4 ( 2 ) 如图，分 别 以 所 在 直 线 为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系, 设 AB = AD = AP = 1 ，则 C (l , 1 , 0 ), m o , l ) , 8 (1 , 0 , 0 ) P B = (1 , 0 , - 1 ), P C = (1 , 1 , - 1 ), 第6 4页 共8 8页  由 （ 1）得 而 为 平 面 AOEE的一个法向量, 因为cos〈 南丽〉 PC PB 2 76 \PC \\PB\~ y [2 - y f3 ~ ~ 所以直线PC 与 平 面 庄 所 成角的正弦值为逅. 3 第二种情况：若将①AB = A P，③ 。 8_ LH > 作为已知条件， 则由 4 ） _ LAP , 4 ） ，4 5 知 4 ） ，平面 A 5 P，AD ± PB， 又 PBL F D ，所 以 依 J_ 平面 AD EE，PBrAE , 又 AB = A P，故 E 为 中 点 ，即B E = PE ，解答如上不变. 第三种情况：若 将 ② = ③ 作 为 已 知 条 件 ， 由 依 _ LED及第二种情况知/ >B，A E ，又 B E = PE ， 易知AB = A P, 解答仍如上不变. 36. （ 2020届山东省烟台市高三模拟） 如图， 已知四棱锥尸-A B C 。 的底面是等腰梯形，AD / / BC , 4 ） = 2, 3 c = 4, NABC = 60°, △ RU ） 为等边三角形，且点P在底面ABCO上的射影为A O的中点G , 点 E 在线段B C 上，且 CE:EB = 1:3. （ 1）求证：平面尸A 0 . （ 2）求二面角A -PC —。的余弦值. 【 答案】（ 1）证明见解析（ 2） 返 13 【 解析】 第 6 5 页 共 8 8 页  (1 )在等腰梯形ABC。中， • • •点E在线段BC上， 且CE:EB = 1:3, ・ ・ ・点E为BC上靠近C点的四等分点， ,/ AD = 2,3C = 4,CE = 1, DEJ.AD, • . •点P在底面ABCD上的射影为A£＞的中点G,连接PG, .•.PG_L 平面 u 平面 ABCD,;. P G L D E . 又 AO c PG = G, AO u 平面「AD, PG u 平面 PAD, 平面 Q4。. B (2 )取3C的中点F,连接G F ,以G为原点,G A所在直线为X轴,GF所在直线为y轴,G P所在直线为z轴, 建立空间直角坐标系， 如图所示， 由(1 )易知,OEJ_C8,CE = 1, 又 Z A B C = A D C B = 0 , ： .DE = G F = 6 ••• AD = 2, △PAD为等边 三 角 形 ,PG =6， 则 G(0,0,0), A(1,O,O) ,0(-1,0,0), P(0, 0,A/3),C(-2,区 0), AC = (-3 /,0 ), A P = (-1,0, J3 )，D C = (-1,73,0), D P = (1,O,V3), 设平面APC的法向量为沅= (%,y,Z|), 第6 6页 共8 8页  则《 m -AC - 0 m - AP -- 0 令内=6,则 X = 3 , 4 = l , . - . / n = (> / 3 , 3 , l ), 设平面DPC的法向量为万=（ % ， % ， Z2 ） , 则《 n - DC - 0 — x, + \/3y-, = 0 — ， 即 4 r~ ii - DP = 0 [ / + 也 z2= 0 令 ％ =g , 则 % = 1 * 2 =T = (6 , 1 , 7 ), 设平面APC与平面DPC的夹角为6 , 则 n |w - n| |3 + 3 - l | > / 6 5 M闲『ET B • •・二面角A-PC—。的余弦值为 画 . 1 3 3 7 . （ 2 0 2 0 届山东省荷泽一中高三2月月考）《 九章算术》是我国古代数学名著， 它在几何学中的研究比西方 早 1 0 0 0 多年， 在 《 九章算术》中, 将底面为直角三角形， 且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵（ 切助血） ; 阳马指 底面为矩形, 一侧棱垂直于底面的四棱锥， 鳖膈S i e 指四个面均为直角三角形的四面体.如图在堑堵 ABC-ABG 中,ABJ_AC. （ 1） 求证:四棱锥8 — 4 A CG为阳马; （ 2） 若 C 1C = B C = 2, 当鳖膈q —A BC体积最大时， 求锐二面角C — 4 3 —G的余弦值・ 【 答案】（ 1） 证明见解析; （ 2） 巫 5 【 解析】 第6 7页 共8 8页  (I)： 底面 ABC，AB 1 面 ABC A.AVAB 又A BLA C, 4A l AC = A ：. 4?_|_面 ACCiAi , 又四边形A CGA为矩形 . , .四棱锥3 —AACG为阳马. (2)V A B L A C，B C ^2 , AB2 + AC2 =4 又•••A A _L 底面 ABC, -'.VCi_ABC= ^ C tC -A B -A C 1 “ 1 AB2+AC2 2 = -- AB- AC <------------------ = - 3 3 2 3 当且仅当AB = AC =夜 时 ，％_A B C = g • AB • AC取最大值 V AB L A C，4 A ,底面 ABC . •.以A为原点，建立如图所示空间直角坐标系 B(V2,0,0), C(0,V2,0), 4(0,0,2) UUU / — \ : ( L L \ UUtai z L \ AB = (@ 0 ,-2), BC = (-V2,V2,0), ^C, =(0,V2,0) 设面\B C的一个法向量勺=(X1,y,zJ 由［段；得勾 同 理 得 %二 ( 四,0,1) U L B I . - 心 叫 小・心 >/15 \ "1nll・141 5 二面角c 一 A B— G的余弦值为 —. 5 第 6 8 页 共 8 8 页  38. (2020届山东省泰安市肥城市一模) 如图所示的几何体中， 4 3 。-4 片。 1为三棱柱， 且 4 4 ，平面48(7, A 4 = A C , 四边形ABC。为平行四边形，A D ^ 2 C D , NAOC = 6()°. ( 1 ) 求证：AB_ L 平面 A C G A ； ( 2 ) 若 CD = 2 , 求四棱锥G —4 4 C 。的体积. 【 答案】( 1 ) 证明见解析(2) 8 【 解析】 ( 1) 证明:• • •四边形A B C D为平行四边形,A D = 2CD, Z A D C = 60°. N A C D = N B A C = 90°, /. A B ± A C , 几何体中,A B C - A ^ C ,为三棱柱， 且 A4, 1 平面ABC, D 第 6 9 页 共 8 8 页  A B J . AA. A C c AA, = A , .•.A8_ L 平面 A C G 4 . ( 2)连结AC , Q AB _ L 平面 A C C A， C D / /AB, \ c z ) A 平面 C G A, 四棱锥G—A 4 c。的体积： V — % -CGA + ^ C - A, 5, C 1 =§ x C D x 5 & G C + § x C C 1 x 5 A耳G =—x 2x —x2y/3x 2> /3 + —x2邪)x —x 2x 2石 3 2 3 2 =8 . 39 . ( 2020届山东省六地市部分学校高三3月线考) 如图，三棱柱中，C A = CB, N B A 4 = 45° ,平面 A4C .C ± 平面 A A ^ B . ( 1)求证：AA.A.BC ； (2)若BB] = J ， A B = 2,直线BC与 平 面 所 成 角 为45°,。为C C ；的中点， 求二面角 的余弦值. 【 答案】( 1)见 解 析( 2)也 2 【 解析】 ( 1)过点。作C O - L A 4 ,垂足为。, 第 7 0 页 共 8 8 页  因为平面AA^C 1平面A A t B t B , 所以C O J•平面A 4 4 B,故COJ_QB, 又因为C 4 = C B , C O = CO, N C O A = N C O B = 9 0 ° , 所以 RtM O C三R t A B O C ,故 因为 N A AB = 45°,所以 A& J .08, 又因为A A _ L C。，所以A A _ L平面8 0 C,故AA- L B C . ( 2)以0为坐标原点，OA , OB , OC所在直线为x,九z轴，建立空间直角坐标系。一到z , 因为C O _ L平面A A与B , 所以4 C B 0是直线BC与平面M B , B所成角， 故"8 0 = 45。 ， 所以A8 = & ，A O = 3 O = C O = 1, A( 1, 0, 0) , B ( O J O ) , C ( 0, 0, l ) , A ( - 1, 0, 0) , 4 ( - 2, 1, 0) ,。( -1, 0, 1) , 设平面4月。的法向量为而= ( x , , y , z j ,则 n - A D = 0 Z1=0 〈L ,所以《 八， 小 BQ = 0 - y + Z1 = 0 令 玉= 1 ,得万= ( 1, 1, 0) , 因为O B _ L平面A & G C , 第7 1页 共8 8页  所 以 诙 为平面4 G 。 的一条法向量, 砺= （ 0,1,0） , COS (% a , O B V2 所以二面角用 一 A O - G 的余弦值为巫 2 40. （ 2020•山东滕州市第一中学高三3 月模拟）如图，四棱锥产一/W C D 中，Q4_ L底面ABC。，A B C D 为直角梯形，AD//BC, A D ± A B ，A B = B C = A P = - A D ^ 3 , 4 。口8 9 = O , 过 。点作平面 a 平 2 行于平面Q 4 6 ,平面a 与棱BC, A D ，P D ，PC 分别相交于点E ，F ，G , H. ⑴ 求 G H 的长度； （ 2） 求二面角B —F H - E 的余弦值. 【 答案】（ 1） W ； 【 解析】 （ 1）【 法一】（I ）因为a / / 平面Q 4 3 ,平面a c 平面ABC£） = £ F , OGEF , 平面 P4 3 c 平面 ABC。= A B ,所以 E F / / A B ,同理 E H //B P, _ FG/A4P , 因为 BC〃 AO,AO = 6,BC = 3, … a B C C O ADOA, 且 = A D A O 所以2= ! , C E= LC B = I,B E=A F = 2, O F 2 3 同 理 史 P C E H ~PB CO 1 C4 - 3 2 第 7 2 页 共 88 页  连 接 则 有 “ 0 〃Q4， 1i-2 所以 HOLE。，HO = \ ,所以 EH = — PB = y /2 ,同理，FG = -PA = 2, 3 3 过 点 、H作HN 〃 EF交FG于N ,则G H ^ H M +GM = 4 【 法二】因为c / / 平面F4B， 平面a c 平面ABC£> = EF , OsEF, 平面R W c平面ABCD = AB, 根据面面平行的性质定理，所以E F //A B ,同理E” //BP,EG//AP, 因为 BC / / A。 , AO = 25C,所以 ABOC^DOA , 且 生 = 卬 = , ， AD OA 2 又因为△C0ESA40F, A尸= 3后,所以3£ = 2£C, 同理 2AF = ED, 2PG = GQ, EF = AB = 3,EH = LPB = HFG = ZAP = 2 3 3 如图：作 HN//BC,HNcPB = N,GM I/AD,GM cPA = M , 所以 HN/ /GM,HN = GM , 故四边形GMNH为矩形，即G” = MN, 在\PMN 中， 所以 MN = 78 + 1-2x272 xms'450 = 5 所以GH =逐. （ 2） 建立如图所示空间直角坐标系3 （ 3,0,0） ， 尸（ 0,2,0） ,£ （ 3,2,0） ,“ （ 2,2,1） , BH = （ -1,2』 ） ,西 = （ 2,0,1） ， 设平面 BFH 的法向量为 n =（x, y,z）, n - BH = -x+2y + z = 0 A 一 」 ， 令z = — 2 , 得乃二 n- FH = 2x+z = 0 因为平面EFGH / / 平面PAB，所以平面EFGH的法向量初=（ 0,1,0） 第 7 3 页 共 8 8 页  /«•« eosin, n - ~ ~ n— 阿同 3 2 3\/29 3X/29 A 一— = 五 一 ，二面角—E 的余弦值为小〜 .9 . 29 29 1 + - + 4 4 41 . (2020届山东省淄博市部分学校高三3 月检测) 如图, 边长为2 的正方形ABCO所在的平面与半圆弧CO 所在平面垂直，M 是 C。上异于C, 。的点. ( 1 ) 证明：平面AMD_ L平面BM C ； ( 2 ) 当三棱锥M -A B C 体积最大时，求面与面M C D 所成二面角的正弦值. 【 答案】( 1 ) 见解析 ⑵ 巫 5 【 解析】 ( 1 ) 由题设知， 平面CM。，平面ABCD,交线为CD因为B C L C D , B C u平面A8CD,所 以 平 面 CMD,故 B C1 DM. 因为M 为 函 上 异 于 C，。的点， 且 OC为直径，所 以 。 例_ LCM. 又 BCp| CM=C， 所以。 例_ L平面BMC. 而D M u平面AMD,故平面4知 £ ) _ 1_ 平面BMC. ( 2 ) 以D为坐标原点， 次 的 方 向 为 x 轴正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz. 当三棱锥M-A8C体积最大时，历 为 丽 的 中点. 由题设得 0(0,0,0), A(2,0,0), 3(2,2,0), C((), 2,0), M (0,1,1), 第74页 共88页  府= ( - 2,1,1),通= (0,2,0),西= ( 2,0,0) 设〃 = (x,y,z)是平面MAB的法向量， 则 n - AM = 0, (-2x+ y + z -0 , n - AB = 0. 2y = 0. 可取 ” = (1,0,2) . 而是平面MCD的法向量， 因此 n - DA >/5 丽 二 丁 sin”,汽=~ ~ ~ 所以面MAB与面所成二面角的正弦值是2叵. 5 42. (2020届山东省高考模拟) 已知在四棱锥P —ABCD中，AD//BC, AB = BC = CD = -AD , G是PB 2 的中点，AR4O是等边三角形，平面平面A3CO. ( 1 )求证：C0_L平面GAC； ( 2 )求二面角P - 4 G - C的余弦值. 【 答案】( 1)见 解 析( 2) - 巫 5 【 解析】 ( 1 )证明：取AO的中点为 。，连结OP, OC, O B ,设OB交AC于 “，连结G” . 因为 AD//3C, AB=BC = CD = -AD , 2 四边形ABCO与四边形OBCD均为菱形， O B ± A C , OB//CD , CD 1 AC, 第75页 共88页  因为为等边三角形，。为 中 点 ， :.PO±AD, 因 为 平 面 平 面ABC。，且平面RA。。平面= PO u平面Q4O且尸O _L AD, ，PO_L 平面 ABC。 因为CO u平面ABC。， :.POA.CD, 因为H, G分别为OB, 总 的 中点， :.GH//PO, :.GH A.CD. 又因为G〃n A C = " ， AC,GH\ 平面 GAC, \ CD八平面G4C. （ 2）取BC的中点为E ，以。为空间坐标原点，分 别 以 诙 ， 前 ， 丽 的 方 向 为x轴、y轴、z轴的正方向, 建立如图所示的空间直角坐标系。- 型. （hi 、 设A D = 4,则P（ 0,0,2百 ） ,A（ 0,-2,0） , C（ V3,l,0） , D（ 0,2,0） , G ^ - ,-- ,7 3 I 2 2 ） 而= （ （ ） ,2,2百 ） ，而=（ 乎q , ® 设平面PAG的一法向量; =（ x, y, z） • 第 7 6 页 共 8 8 页  由, n-AP = Q n-AG = Q 2 y+ 2任=0 ='且 x + l +任=0 、 2 2 = 卜" z . 令 z = i ，则〃 = （ 1,一 6,1） . X= Z 由 （ 1）可知，平面AG C 的一个法向量丽=（ 一百,1,0） , 二二面角P—A G —C 的平面角的余弦值为一史 5 43. （ 2020届山东省潍坊市高三下学期开学考试）如图，在直三棱柱A B C - 4 4 c l中，M 是 A 3 的中点. （ 1）求证：8G □平面 （ 2）若M M C 是正三角形，且 AB = B C 1 ,求直线A 8 与平面M C A 所成角的正弦值. 【 答案】（ 1）见解析. （ 2） 叵 5 【 解析】 （ 1）连接A G ，设 A G 与 4 c 的交点为N, 则 N 为 A G 的中点，连接M N , 又 M 是 的 中 点 ，所以 MN / /BQ .又MN u平面MCA1,平面加。 4, 所以3G / / 平面加。 4 . （ 2） M 是 的中点，口四0。是正三角形，则 NABC = 60°，N84C = 30°，NACB = 90" ， 设 3C = 1 , 则 AC = C G = J § ,以C q 为x 轴，CB为 y 轴，C 4为 z轴建立空间直角坐标系. 则 B （ 0,l,0） , A （ 0,0,V3） , A （ 6 0 ， @，通 = 似 , 一 句 ，西 J。 ,；,平 ］, k 2 2 7 I 2 2 J 页=（ 百 ,0,百 ） . 第 7 7 页 共 8 8 页  设万= (x,y,z)是平面M C 4的法向量，则＜ ： 丝=。, 可取平面MCA的法向量为a = (1 ,6 ,-1 )，则 n - CAj = 0 ' ' । __ । I AB - n| ^/i~5 cos〈3反 砌 = 三段= ? ，所以直线4 ?与平面MCA所成角的正弦值为 网\AB同\n\ 5 点睛: (1)两条异面直线所成角的求法：设两条异面直线m人的方向向量为a, h ,其 夹 角 为 仇 则cosp=|cosa = a-b 同同( 其中夕为异面直线a, b所成的角) . (2)直线和平面所成的角的求法：如图所示，设直线/ 的方向向量为e ,平面a的法向量为〃，直线/ 与平面 n-e a所成的角为夕，两向量e与" 的夹角为仇则有$ 抽9 = |8 $例= 匚匚［ . (3)求二面角的大小：①如图①，AB, C。是二面角a—/ 一/ ? 的两个面内与棱/ 垂直的直线，则二面角的大小 ①② ②如图②③, ③ 分别是二面角a - /一 £ 的两个半平面a , 4的法向量，则二面角的大小8 =〈 〃i, “2〉( 或 第 7 8 页 共 8 8 页  It—〈 " I, 712)). 44. (2020届山东省济宁市高三3 月月考) 如图，在三陵锥P—A 3 C 中，为等腰直角三角形, P A = P C , A C = 2, AABC为正三角形，。为 A C 的中点. ( 1) 证明：平面P / 汨 _ L平面P A C ； ( 2 ) 若二面角P—A C -8 的平面角为锐角，且棱锥P—A 3 C 的 体 积 为 立 ，求直线Q 4与平面PCB所成 6 角的正弦值. 【 答案】( 1 ) 证明见解析；(2) 叵. 7 【 解析】 (1) 证明：V P A = P C ,。为 A C 中点，• • • AC，P £), 又AABC为等边三角形，B A = B C , ： . A C L B D , 8。fl P 。=。 ，； • AC _ L 平面 P0 8 ， AC u 平面PA C , . . . 平面P4C _ L平面P / 汨 ； ( 2 ) 由 (1 )知点P在平面A B C 内的射影。在直线5 。上， 又二面角尸一4 C - B 的平面角为锐角，，。在 第 7 9 页 共 8 8 页  射线D5上 ,S w c = § x 4 = 5 MS " D P o ¥ ，•. •尸 ° =； 4J。 / 又 P D = 1 ，： . O D = 立,即。为8 0中点，取A 8中点E ，连接O E ,则OE//A。 , 2 ・ ・.O E ±平面P O B ,・ ・.OE, OB, O P两两互相垂直, 以0为坐标原点，所在直线分别为X轴，y轴，Z轴建立空间直角坐标系, 设平面P C B的法向量为n = (x, y, z) 1 2 由 ＜ 万・丽=0 n - B C = 0 [73 1 —— y—— z =0 2 2 -X-yJ3y = 0 令y = 1 ,得平面P C B的一个法向量为n = (-73,1,^), 又 小 卜4 , 设W与平面PCB所成角为a , 则 sin a 第8 0页 共8 8页  直线P A与平面P CS所成角的正弦值为恒. 7 4 5 . ( 2 02 0届山东省潍坊市高三模拟一) 已知在四棱锥。一 ABC。中，底面ABCO是边长为4的正方形, △Q4D是正三角形，C Q J _平面以。，E/G。分别是P CP DBCAQ的中点. ( I )求证：尸O J _平面ABCO ； ( I I )求平面E F G与平面ABCO所成锐二面角的大小； ( I I I )线段2上是否存在点M ,使得直线GM与平面EEG所成角为四，若存在，求线段PM的长度; 6 若不存在，说明理由. 【 答案】(I )证 明 见 解 析( I I ) - ( I I I )不存在，见解析 3 【 解析】 (I )证明:因为△ P AD是正三角形， 。是AD的中点， 所 以P O 1A D . 又因为CD_ L平面PA D，POu平面尸A D， 所以尸O _ L C D . A D Q C D ^ D , AD, C£)u平面ABC。， 所以「 。，面4BCD. ( I I )如图，以O点为原点分别以Q4、O G、OP所在直线为x轴、V轴、z轴建立空间直角坐标系. 第8 1页 共8 8页  则 0(0,0,0), A(2,0,0), BQ , 4,0),C (-2,4,0), D (- 2, 0, 0), G(0,4,0), P (0,0,2百 ) ， E (-l,2,拘， 尸(-1,0,® EF = (0, - 2, 0), EG = (l,2,- ® 设平面E F G的法向量为m = (x, y, z) 所以《 EF •玩=0 4 2 y = 0, E G m = Q 即 彳x + 2y-V 3z = 0, 令 z = l ，则 m = (y/ 3, 0A ) > 又平面ABC。的法向量« = (0,0,1), 设平面E FG 与平面ABC。所成锐二面角为6, m- n । । 所以 cos6 = = ij = = / = 5 . 啪帆+1 x l 2 所以平面EFG与平面ABC。所成锐二面角为- . 3 ( II I) 假设线段Q 4上存在点M ， T T 使得直线G M与平面EFG所成角为g , 6 即直线G M 与平面EFG法向量而所成的角为：, UUU UL1 八 「八 UULI LlLUl U U U m il u u GM = GP + PM = GP+九PA, ， 所 以 ㈱ = (2 4 -4 ,2 6 ( 1 一勾) 所以 cosX = bos/G M ,加) | =— . = 3 । 、 八 2"/ 一64 + 7 整理得2丸 2—32+ 2 = 0, Z K 0 , 方程无解， 所以，不存在这样的点 46. (2020届山东省潍坊市高三模拟二) 如图，在四棱锥P -A8C。中， A D = 2瓜 A B = 3, A P = ® A DUB C , AD J_ 平面 MB, ZAP B = 90°，点 E 满 足 屉 =§ 丽 + §丽. 第8 2页 共8 8页  D (1 )证明：PE工DC ； (2 )求 二 面 角 小 的 余 弦 值 . 【 答案】( 1 )证明见解析 ( 2 )名 叵 13 【 解析】 (1 )证明：在RtA/VLB中， 由勾股定理，得 PB = yjAB2-A P 2 =出 一 （ 舟 = 76 . 一 2 —► 1 —► 因为= + 民 荏 = 而 —百 ， 所 以 而 . 丽= （ g中+ g而 ）（ 方 一所） = _ l p ^ +LpB 2 + l-PAPB 3 3 3 = - -X（ V3） 2+ - X（ V6） 2+ - XO 3 3 3 =0. 所 以 而_L通，所以F>E_LAB- 因 为 平 面 南B, P E u平面以8, 所以 P£_LA。. 第 8 3 页 共 8 8 页  又因为 PE _ L AB, A B oA D ^A， 所以P £ _ L 平面A B C D 又因为DC u平面ABCD, 所以PE LOC —2— 1 一 （ 2 ）由 P E = § P A + §P 8 , 得 丽 = 2女 . 所以点E走靠近点A 的线段AB的三等分点. 所以A E = 』A B = 1 . 3 分 别 以 而 , 而 所 在 方 向 为 y 轴，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A - 盯 z . 则 A （ 0 , 0 , 0 ） , 0（ 0 , 0 , 2 百 ） ， £（ 0 , 1 , 0 ） , P （ 7 2 , 1 , 0 ） . 设平面PDE的法向量为五= （ % , % , Z 1 ） , fm - EP = 0 拒 玉 = 0 由《 — ，得〈 1 — • in-ED = 0 ［ 一 % + 264= 0 令 4= 1,则而= （ 0 , - 2 石 , 1 ） ； 设平面A PO的法向量为3 = （ 9,%， Z 2 ） , 而= （ 夜 , 1 , 0 ） , 而= （ 0 , 0 , 2 百 ） , \n-AP = Q /1&々 + > 2 = 。 由〈 - - - ，得 ） r — ， n-AD = 0 ［2y/3z2=0 令々 = 1,贝 = 设向量正与［的夹角为。， 第8 4页 共8 8页  则 cos 0 - m-n | 肩|・| 2| -276 J(2扬 2+ 12＞心+(_扬2 2726 13 所以二面角A -PD —E 的余弦值为 名 生 13 47. (2020届山东济宁市兖州区高三网络模拟考) 已知平行四边形ABQD中， A 5 = l ， AD = 2, ABL BD , E 是线段A O的中点，沿 8 。将 ABC。翻折到ABC'。，使得平面B C D 平面BCD. ( 1 ) 求证：C'O_ L平面BCD； ( 2 ) 求二面角E —8C '—。的余弦值. 【 答案】( 1 ) 见解析；(2) 叵 7 【 解析】 ( 1 ) 由题意可知CD = B4 = C 'O = 1, BC' = 3C = AT> = 2, ABL BD ， 即 5 c 故 C 'D L BD . 因为平面BC'O_ L平面他。，平面B C ,o n 平面= C D u 平面B C 'O, 所以C '。，平面BCD. ( 2 ) 由 ( 1 ) 知 C'O_ L平面板 ) ，且 C£>J_ 8。， 以。为原点，D B，C D , Q C 所在直线分别为％ , 九z轴 建立如图所示的空间直角坐标系。一孙z , 则 0 (0 ,0 ,0 ), A (A 1 ,O), f i(V 3,0,0), C '(0,0,l). f J3 1 1 由于E 是线段A£>的中点，所以七 ^ , - , 0在平面B E C 中， ( 2 2 J BE= 一 冬 工 , 0 , = (-73,0,1). 第85页 共88页  设平面B E C的法向量为n = （ x, y, z） BE- BC'n = Q — y/Sx + z = 0 令x = l ,得y = z = 5/3， 所以平面BEC'的一个法向量为n = （ 1,73,73） , 而平面比 ） 。 的一个法向量为反= （ 0, - 1,0） . 故s ,伍反卜谪 易知二面角E - B C '- O的平面角为锐角, 故二面角£ - B C '-。 的余弦值为 叵 . 7 48. （ 2020.山东高三下学期开学）如图，在四棱锥S-中，是边长为4的正方形，SZ5_ L平面 ABCD, E, E分别为A B S C的中点. （ 1）证明：E F〃平面池 . （ 2）若SD = 8 ,求二面角。一E F - S的正弦值. 第 8 6 页 共 8 8 页  【 答案】( 1 ) 证明见解析(2) 述 3 【 解析】 ( 1 ) 证明：记 SO的中点为G, 连接G F, GA . 因为E , 歹分别为AB, SC的中点， 则 GF〃C£＞，且 GF = ，C。. 2 因为 AE / / C D ,且 2 所以G f7 /A E ,且 GF = AE, 所以四边形GFE4为平行四边形， 则 " 〃 AG. 又平面S4T), A G u 平面S4D, 所以EF7/平面S4D. ( 2 ) 以。为原点，分别以D 4 ，D C , OS为x 轴、丁轴、z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标 系。一孙z , 则 S((),0,8), 0(0,0,0), £(4,2,0), 以 0,2,4), DE = (4, 2, 0), DF = (0, 2,4), EF = (-4 ,0,4), ES = (-4 ,-2 ,8) 设平面£ ＞ 七 户 的法向量初= ( % , y , z j , 则《 DE •比= 4再 + 2y} = 0 D F - m - 2yl + 4z1 =0 令尤1= 2 , 则沅= (2 ,—4,2). 设平面跖 尸 的法向量为万=( 马 ，％，Z2), 则《 EF - n - -4X2 + 4Z2 = 0 ES n = 一 4% 2 - 2y2 + 8z2 = 0 令元2 = 2 , 则为= (2 4 2 ). _ _ m- n cosm, n - -- r-- I时 词3 第 8 7 页 共 88 页  设二面角 O—EF —S 为 。，S in d =-3 即二面角。一 " 一5的正弦值为 迪 . 3 第8 8页 共8 8页