资源描述
2021年山东省新高考数学总复习:立体几何与空间向量
命题规律揭秘
从近几年的高考试题来看, 所考的主要内容是:
( 1)有关线面位置关系的组合判断, 试题通常以选择题的形式出现, 主要是考查空间线线、线面、面面位置关系
的判定与性质;
( 2)有关线线、 线面和面面的平行与垂直的证明, 试题以解答题中的第一问为主, 常以多面体为载体, 突出考查学
生的空间想象能力及推理论证能力;
( 3)线线角、线面角和二面角是高考的热点, 选择题、 填空题皆有, 解答题中第二问必考, 一般为中档题, 在全卷
的位置相对稳定,主要考查空间想象能力、逻辑思维能力和转化与化归的应用能力.
预测2021年将保持稳定, 一大二小. 其中客观题考查面积体积问题、 点线面位置关系( 各种角的关系或计算)
等;主观题以常见几何体为载体,考查平行或垂直关系的证明、线面角或二面角三角函数值的计算等.
精选试题解析
一、单选题
1. ( 2020•山东高三下学期开学)设机, 〃, / 为三条不同的直线,” , 力为两个不同的平面,则下面结论正确的
是 ( )
A .若 m ua、nu /3 , a / / 0 ,则〃 B.则 a_L/7
C .若加 a ," _L 夕,a _L 夕,则D. m /la, n ! la, I L m, I Vn,则 /_La
2. ( 2020届山东省潍坊市高三模拟二) 已知三棱锥。一 ABC的所有顶点都在球。的球面上,AB=BC = 2 ,
AC = 2叵 ,若三棱锥。—ABC体积的最大值为2 ,则球。的表面积为()
3. ( 2020•山东高三下学期开学)在四面体A B 8中,且A C 1C D . AB,C。所成的角为
30°, A B = 5 , AC = 4, C D = 3,则四面体ABC。的体积为( )
A. 8 B. 6 C. 7 D. 5
4.( 2020届山东省济宁市第一中学高三二轮检测) 已知四棱锥M -ABC。,M4_L平面ABC。,AB1BC ,
NBCD+NB4T> = 180°, M4 = 2 ,B C = 2 5 NA3M =30°.若四面体MACD的四个顶点都在同一
个球面上,则该球的表面积为()
A. 20% B. 22% C. 404 D. 44〃
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5. ( 2020届山东省烟台市高三模拟)《 九章算术》中记载,堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱,阳马指底
面为矩形,一侧棱垂直于底面的四棱锥. 如图,在堑堵ABC - 4 4 G中,A C 1 B C , A A = 2 ,当阳马
4
8 - ACCM体积的最大值为1时,堑 堵 的 外 接 球 的 体 积 为 ( )
C
.4 872 「32 6472
A. - 7 1 B. ------7 T C. 7 1 D. -------T C
3 3 3 3
6. ( 2020届山东省淄博市部分学校高三3月检测)已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球。的球面上,
PA=PB=PC, ZiABC是边长为2的正三角形,E ,尸分别是以,AB的中点,NCEF=9 0。 ,则球。的体积为
A. 8 6兀 B. 4 # ) 兀 C. 2娓兀 D .遍兀
7. ( 2020届山东省潍坊市高三模拟一) 在边长为2的等边三角形A 8C中,点D E分别是边AC, A 3上的
A f)
点,满足D E / / B C 且——=A ( A6 ( 0,1) ) ,将沿直线O E折到口4。£的位置. 在翻折过程中,下列
A C
结论成立的是( )
A .在边4 E上存在点F ,使得在翻折过程中,满足8F7/平面A'CD
B .存 在 使 得 在 翻 折 过 程 中 的 某 个 位 置 ,满足平面A 'B C ,平面8CDE
C .若2 = g ,当二面角A -D E — 5为直二面角时,|4却 = 乎
D .在翻折过程中,四棱锥A '-B CD E体积的最大值记为/ U ) ,/( ㈤ 的 最 大 值 为 当
二、多选题
8. ( 2020届山东省淄博市部分学校高三3月检测)如图,正方体A 8 C D -4用G A的棱长为1 ,线段与。
上有两个动点E、F ,且 £ / = 工 ,则下列结论中正确的是( )
2
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A. A C ± B E
B. E F //平面 ABCD
C. 口 AE尸的面积与口5 砂的面积相等
D . 三棱锥A —私 户 的体积为定值
9. ( 2020届山东省荷泽一中高三2 月月考)如图, 正方体ABC。-%旦的棱长为1,则下列四个命题正
确的是()
n
y r
A . 直 线 与 平 面 A 3 C R 所成的角等于一
4
B. 点 。到面A 3 G R 的距离为注
2
7 T
C . 两条异面直线0 c 和 所 成 的 角 为 一
4
D . 三棱柱- B B © 外接球半径为也
2
10. ( 2020届山东省济宁市第一中学高三二轮检测)如图,在以下四个正方体中,直线A 3 与平面CD E垂
直 的 是 ( )
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11. ( 2020届山东省烟台市高三模拟)如图,在四棱锥P —ABC。中,PC ,底面ABC。,四边形ABC。
是直角梯形,AB//CD,ABLAD,AB = 2 AD = 2CD = 2 ,尸是A 3的中点,E是P 8上的一点,则下列说法正
确 的 是 ( )
A .若P B = 2 P E ,则五户/ / 平面PAC
B .若P B = 2 P E ,则四棱锥P -A 8C D的体积是三棱锥E-ACB体积的6倍
C .三棱锥P -A 0 C中有且只有三个面是直角三角形
D .平面3 c p,平面ACE
12. ( 2020•山东高三模拟) 在正方体ABC。—A与G 9中, 如图,M ,N分别是正方形ABC。,BCQ用的
中心. 则下列结论正确的是( )
A .平面D、M N与5,C,的交点是g G的中点
B .平面R M N与BC的 交 点 是 的 三 点 分 点
C .平面R M N与AD的交点是AO的三等分点
D .平面。M N将正方体分成两部分的体积比为1 : 1
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13. ( 2020届山东省高考模拟)如图,矩形ABC。中,M为B C的中点,将口段加沿直线A M翻折成
口连结用。,N为耳。的中点,则在翻折过程中,下列说法中所有正确的是( )
A .存在某个位置,使得C N L A B
B .翻折过程中,C N的长是定值
C .若4 ? =驷,则A M,旦。
D .若A B = B M = 1 ,当三棱锥片-A M O的体积最大时,三棱锥片 - A M D的外接球的表面积是47
14. ( 20202020届山东省淄博市高三二模)如图所示,在四棱锥£-ABC。中,底面ABC O是边长为2的
正方形,AC O E是正三角形,M为线段D E的中点,点N为底面A 8 C D内的动点,则下列结论正确的是
( )
B .若B C L D E时,直线E 4与平面A 3C D所成的角的正弦值为巫
4
C .若直线8 M和E N异面时,点N不可能为底面ABC。的中心
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D.若平面COE_ L 平面A B C 。,且点N 为底面ABCD的中心时,BM = E N
1 5 . ( 2 0 2 0 - 山东高三下学期开学) 在三棱锥D - A B C中, A 3 = 3 C = CD = = 1 , 且 A3 ,3 C, C £ > _ L ,
M, N分别是棱B C , CO的中点,下面结论正确的是( )
A . AC 1BD B . M / V 〃平面 A 3。
C.三棱锥4 - C M N 的体积的最大值为正 D . AO与 BC一定不垂直
1 2
1 6 . ( 2 0 2 0 届山东省潍坊市高三模拟一)沙漏是古代的一种计时装置,它由两个形状完全相同的容器和一个
狭窄的连接管道组成,开始时细沙全部在上部容器中,细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间
称为该沙漏的一个沙时. 如图,某沙漏由上下两个圆锥组成,圆锥的底面直径和高均为8 c m , 细沙全部在上
2
部时,其高度为圆锥高度的§ ( 细管长度忽略不计). 假设该沙漏每秒钟漏下0 . 0 2 。 ? ?的沙,且细沙全部漏
入下部后,恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆. 以下结论正确的是( )
A.沙漏中的细沙体积为“叫 :0 加3
8 1
B.沙漏的体积是1 2 8 万
C.细沙全部漏入下部后此锥形沙堆的高度约为2.4CM
D.该沙漏的一个沙时大约是1 9 8 5 秒 ( 7 ^ 3 . 1 4 )
1 7 . ( 2 0 2 0 届山东省潍坊市高三模拟二)如图, 正方体A B C 。-44G。 的棱长为1 , 则下列四个命题正确的
是()
C
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TT
A . 直线3 c 与平面A 8G 。 所成的角等于一
4
B. 点 C 到面A 8 G A 的距离为注
2
7 T
C . 两 条 异 面 直 线 和 B G 所成的角为一
4
D . 三棱柱A41A - 6 5 G 外接球半径为走
2
18. ( 2020届山东省六地市部分学校高三3 月线考)已知正四棱柱的底面边长为2 , 侧
棱 A 4 ,= l, P 为上底面4 耳。 | 。 上的动点,给出下列四个结论中正确结论为( )
A .若 P D = 3 ,则满足条件的P 点有且只有一个
B .若 P D = «,则点P 的轨迹是一段圆弧
C . 若 P£> 〃平面A C S,则 O P 长的最小值为2
D .若 〃 平 面 4 C & ,且 P 0 = G,则平面8 D P 截正四棱柱ABC。-A g G A 的外接球所得平面图形
的面积为彳
19. ( 2020届山东济宁市兖州区高三网络模拟考)如图,在四棱锥P -A 3 C D 中,底面ABC。为菱形,
Z D A B = 6 0 \侧面尸AZ) 为正三角形,且平面平面ABC。,则下列说法正确的是( )
A . 在棱AZ) 上存在点使平面PMB
B . 异面直线A O 与 依 所成的角为90°
C . 二面角P —B C —A 的大小为45。
D. 3 。,平面 PAC
20. ( 2020届山东省济宁市第一中学高三一轮检测)如图,在正方体A B C D -A 4 G R 中,尸是棱A 4 上
动点,下列说法正确的是( ).
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A . 对任意动点尸,在平面A O A A 内存在与平面C即平行的直线
B . 对任意动点F, 在平面A 8C O 内存在与平面CB/ 垂直的直线
C . 当点F 从 A1运动到A 的过程中, 上 与平面ABC。所成的角变大
D . 当 点 / 从 A1运动到£) , 的过程中,点D到平面C B F的距离逐渐变小
21. ( 2020届山东省青岛市高三上期末)如图, 正方体ABC。-A 4 G 。 的棱长为1,则下列四个命题正确的
是()
n
JT
A . 直 线 与 平 面 A 6 G 2 所成的角等于一
4
B. 点 C 到面A 8 G 2 的距离为YZ
2
7 T
C . 两 条 异 面 直 线 和 B G 所成的角为一
4
D . 三棱柱- B B G外接球半径为立
2
22. ( 2020届山东省泰安市肥城市一模)在空间四边形ABCO中,E, F,G, H分别是AB, BC,CD, D A上的点,
当B。/ / 平面E F G " 时, 下面结论正确的是( )
A . g E G" 一定是各边的中点
B. G , " 一定是8 , 0 4 的中点
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C. A E : E B = A H : H D , 豆 B F : F C = D G : G C
D . 四边形EEG”是平行四边形或梯形
23. ( 2020届山东省泰安市肥城市一模)如图, 正方体ABC。-A 4 G 。 的棱长为1,则下列四个命题正确的
A . 直线8 c 与平面A 6G 。 所成的角等于四
4
B. 点 C 到面A 8 G 2 的距离为巫
2
7T
C . 两条异面直线R C 和 8 a 所成的角为一
4
D . 三棱柱AA。 - B B G外接球半径为立
2
24. ( 2020届山东省潍坊市高三下学期开学考试) 三棱锥P-ABC的各顶点都在同一球面上, P C _L底面ABC,
若 PC = AC = 1, A B = 2 ,且 N5 4 c = 60。 ,则下列说法正确的是( )
A. ARAB是钝角三角形 B . 此球的表面积等于5万
C. 平面B4C D . 三棱锥4 -P 8 C 的体积为立
2
三、填空题
25. ( 2020届山东省高三高考模拟) 若一个圆柱的轴截面是面积为4 的正方形,则该圆柱的外接球的表面积
为.
„2
26. ( 2020届山东省潍坊市高三下学期开学考试) 双 曲 线 土 - 丁 = 1的渐近线与直线x = G围成的图形绕丫
3 '
轴旋转360。 ,则所得旋转体的体积为一;表面积为
27. ( 2020•山东滕州市第一中学高三3 月模拟)已知正三棱锥P-ABC,。为 BC中点,P A = O,A B = 2,
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则正三棱锥P-ABC的 外 接 球 的 半 径 为 ; 过Q的平面截三棱锥P-ABC的外接球所得截面的面积范围
为.
28. ( 2020届山东省泰安市肥城市一模)在我国古代数学名著《 九章算术》中,把两底面为直角三角形的直
棱柱称为“ 堑堵” . 己知三棱柱ABC —A 4 G 是一个“ 堑堵” , 其中A B = B C = B B [ = 2 , 点 、 M是的中点,
则四棱锥M - B © C B的 外 接 球 的 表 面 积 为 .
29. ( 2020. 山东高三模拟)如图,直线/ _L平 面 垂 足 为 O, 三棱锥A - 38的底面边长和侧棱长都为
4, C 在平面a 内,8 是直线/ 上的动点,则点8 到平面A8 的距离为,点。到直线A O 的距离
的 最 大 值 为 .
30. ( 2020届山东省济宁市高三3 月月考)如图所示,某几何体由底面半径和高均为1 的圆柱与半径为1 的
半球对接而成,在该封闭几何体内部放入一个小圆柱体,且小圆柱体的上下底面均与外层圆柱的底面平行,
则 小 圆 柱 体 积 的 最 大 值 为 .
31. ( 2020届山东济宁市兖州区高三网络模拟考)农历五月初五是端午节,民间有吃粽子的习惯,粽子又称
粽核,俗称“ 粽子” ,古称" 角黍” ,是端午节大家都会品尝的食品,传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱
国主义诗人屈原. 如图,平行四边形形状的纸片是由六个边长为1 的正三角形构成的,将它沿虚线折起来,
可以得到如图所示粽子形状的六面体,则该六面体的体积为一;若该六面体内有一球,则该球体积的最
大值为
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四、解答题
32. ( 2020届山东省济宁市第一中学高三二轮检测) 已知如图1直角梯形ABC。,AB///CD, NZM3 = 9( ) °,
AB = 4 , AD = CD = 2, E 为 A B 的中点, 沿 EC将梯形ABC。折起( 如图2) , 使平面B E D_ L平面A E C D .
图1 A
图2
( 1)证明:8 E 1 平面AEC。;
( 2)在线段C D 上是否存在点F , 使得平面E 4 3与平面EBC所成的锐二面角的余弦值为:,若存在,求
3
出点尸的位置;若不存在,请说明理由.
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33. (2020届山东省济宁市第一中学高三一轮检测) 如图所示, 直角梯形ABCD中,AD//BC, A D ± A B ,
A B = B C = 2 A D = 2 ,四边形EDCF为矩形,C F =6,平面EOCF J_ 平面ABCD.
⑴求证:。尸□平面ABE;
(2)求平面ABE与平面EFB所成锐二面角的余弦值.
(3)在线段DF上是否存在点P , 使得直线BP与平面ABE所成角的正弦值为 立 ,若存在,求出线段BP的
4
长,若不存在,请说明理由.
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34. (20202020届山东省淄博市高三二模) 图1是由矩形AOEB, R t"B C和菱形BFGC组成的一个平面图
形,其中A8=l, BE=BF=2, ZFBC=60° ,将其沿AB, BC折起使得BE与B尸重合,连结O G ,如图2.
( 1 )证明:图2中的A, C, G ,。四点共面,且平面A B C ,平面BCGE;
( 2 )求图2中的二面角B - C G - A的大小.
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35. ( 2020・山东高三模拟)如图,在四棱锥P—A8CZ)中,Q4J_平面A B C Q ,四边形ABCZ)为正方形,
点厂为线段PC上的点, 过4 ,。, 口三点的平面与P3交于点E. 将①AB = A P, ②= ③ P3 J .F D
中的两个补充到已知条件中,解答下列问题:
( 1)求平面4 )在将四棱锥分成两部分的体积比;
( 2)求直线PC与平面A D E E所成角的正弦值.
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36. (2020届山东省烟台市高三模拟) 如图, 已知四棱锥P -A B C D 的底面是等腰梯形,A D //B C, AD = 2 ,
BC = 4, NABC = 60°, △ P4O为等边三角形,且点P 在底面ABCD上的射影为A。的中点G , 点 E
在线段8 C 上,且 CE:q= 1:3.
(1 )求证:£>E_L平面 PAD.
(2 )求二面角4 一P C - 。的余弦值.
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37. (2020届山东省荷泽一中高三2月月考) 《 九章算术》是我国古代数学名著, 它在几何学中的研究比西方
早1000多年, 在 《 九章算术》中 川 各底面为直角三角形, 且侧 棱 垂 直 于 底 面 的 三 棱 柱 称 为 堑 堵 办) ; 阳马指
底面为矩形, 一侧棱垂直于底面的四棱锥, 鳖膈S ie w )指四个面均为直角三角形的四面体. 如图在堑堵
A B C - A 4 G 中 ,
(1)求证: 四棱锥8 — 4 A C G为阳马;
(2)若G C = = 2 ,当鳖膈G - A 5 C体积最大时, 求锐二面角C一 4 8 - G的余弦值・
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38. (2020届山东省泰安市肥城市一模) 如图所示的几何体中, 4 3 。-4 月&为三棱柱, 且 441,平面48<7,
A \ = A C ,四边形 ABCD 为平行四边形,A D = 2 C D , N4£>C = 60°.
( 1 ) 求证:AB_ L平面 A C G 4 ;
( 2 )若 C D = 2 ,求 四 棱 锥 A 与8的体积.
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39. (2020届山东省六地市部分学校高三3月线考) 如图,三棱柱A8C- 4 4 G中,C A ^ C B ,
ZBAA, = 45° ,平面 AAGC J•平面 AA.B.B.
( 1)求证:A4 ± B C •
(2)若B4 = J5AB = 2 , 直线8 C与平面A B B /所成角为4 5 ° ,。为CG的中点, 求二面角4 -A O -G
的余弦值.
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40. (2020•山东滕州市第一中学高三3 月模拟) 如图,四棱锥P —A 8C D 中,B4_L底面ABC。,ABCD
为直角梯形,A D //B C , A D ± A B,AB = BC = AP = ^ A D = 3 , ACDBr> = O , 过 。点作平面 a 平
行 于 平 面 平 面 a 与棱8 C , A D,P D,P C 分别相交于点E , F , G , H .
⑴ 求 G” 的长度:
(2)求二面角3 —FH —E 的余弦值.
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4 1 . ( 2 0 2 0 届山东省淄博市部分学校高三3月检测) 如图, 边长为2的正方形A B C 。所在的平面与半圆弧C D
所在平面垂直,A f 是 CO上异于C,。的点.
( 1 )证明:平面AMD J _ 平面BMC ;
( 2 )当三棱锥M —ABC体积最大时,求 面 与 面 所 成 二 面 角 的 正 弦 值 .
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42. (2020届山东省高考模拟) 已知在四棱锥产一 A5CD中,AD//BC, AB = BC = C D = - A D , G 是 P B
2
的中点,是等边三角形,平面平面ABCD.
( 1 ) 求证:CD_L平面GAC;
( 2 ) 求二面角P — AG — C的余弦值.
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4 3 . ( 2 0 2 0届山东省潍坊市高三下学期开学考试) 如图,在直三棱柱A B C -中,M是A8的中点.
( 1 )求证:8 G 口平面MCA;
( 2 )若MMC是正三角形,且= 求直线AB与平面MCA所成角的正弦值.
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44. (2020届山东省济宁市高三3 月月考) 如图,在三陵锥产一 A B C 中,APAC为等腰直角三角形,
PA=PC ,AC = 2, AABC为正三角形,。为 A C 的中点.
( 1 ) 证明:平 面 叨 B_ L平面PAC;
( 2 ) 若二面角P—AC —B 的平面角为锐角,且棱锥尸一 A B C 的 体 积 为 ― ,求 直 线 与 平 面 PCB所成
6
角的正弦值.
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4 5 . ( 2 0 2 0 届山东省潍坊市高三模拟一)己知在四棱锥P - A B C D 中,底面A 5 C O 是边长为4 的正方形,
△ B4Z) 是正三角形,C Z H 平面以。,E , E G Q 分别是PC,PDBC,AD的中点.
(I )求证:P"平面A B C D ;
( I I )求平面E F G与平面A 3 C 。所成锐二面角的大小;
7 E
( I I I )线段2 4 上是否存在点M , 使得直线G M 与平面瓦G 所成角为二,若存在,求 线 段 的 长 度 ;
6
若不存在,说明理由.
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46. (2020届山东省潍坊市高三模拟二) 如图,在四棱锥P -A8C。中,
_ _ _ 2 _ _ ] _ _ _
AD = 2瓜 AB = 3, A P = 6 , AD / / BC , A D _ L平面布8, ZAPB = 90°,点 E满 足 庵 = 耳 阳 + §丽 .
( 1 )证明:PE1DC ;
( 2 )求二面角小P D-E的余弦值.
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47. (2020届山东济宁市兖州区高三网络模拟考) 已知平行四边形A8CZ)中,AB = 1,AD = 2, AB±BD ,
£是线段AO的中点,沿8。将 凶 。翻折到ABC'。,使得平面5C'O_L平面8CZX
( 1 ) 求证:。 。_ 1平面3。 。;
( 2 ) 求二面角七一8。'一 。的余弦值.
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48. (2020•山东高三下学期开学) 如图,在四棱锥S-ABC。中,A3C D 是边长为4 的正方形,SZ)_L平面
ABCD, E,尸分别为AB, SC的中点.
( 1 ) 证明:所 〃 平 面 SAO.
( 2 ) 若 S0 = 8 , 求二面角O —所 一 S 的正弦值.
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2021年山东省新高考数学总复习:立体几何与空间向量教师版
命题规律揭秘
从近几年的高考试题来看, 所考的主要内容是:
( 1) 有关线面位置关系的组合判断, 试题通常以选择题的形式出现, 主要是考查空间线线、线面、面面位置关系
的判定与性质;
( 2 ) 有关线线、 线面和面面的平行与垂直的证明, 试题以解答题中的第一问为主, 常以多面体为载体, 突出考查学
生的空间想象能力及推理论证能力;
( 3 ) 线线角、线面角和二面角是高考的热点, 选择题、 填空题皆有, 解答题中第二问必考, 一般为中档题, 在全卷
的位置相对稳定,主要考查空间想象能力、逻辑思维能力和转化与化归的应用能力.
预测2021年将保持稳定, 一大二小. 其中客观题考查面积体积问题、 点线面位置关系( 各种角的关系或计算)
等;主观题以常见几何体为载体,考查平行或垂直关系的证明、线面角或二面角三角函数值的计算等.
精选试题解析
一、单选题
1. ( 2 0 2 0 •山东高三下学期开学)设机, 〃, / 为三条不同的直线,” , 力为两个不同的平面,则下面结论正确的
是 ( )
A.若 m ua、nu /3 , a / / 0 ,则〃 B.则 a _ L / 7
C .若加 a , " _ L 夕, a _ L 夕,则D. m /la, n ! la, I L m, I Vn,则 / _ L a
【 答案】c
【 解析】
A选项中,加, 〃可能异面; B选项中,也可能平行或相交; D 选项中,只有加, ”相交才可推出/ J . a . C
选项可以理解为两个相互垂直的平面,它们的法向量相互垂直.
故选:C
2 . ( 2 0 2 0 届山东省潍坊市高三模拟二) 已知三棱锥。-ABC 的所有顶点都在球。的球面上,= B C = 2 ,
AC = 2舱 ,若三棱锥。一 ABC 体积的最大值为2 ,则球。的表面积为()
【 答案】D
【 解析】
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分析:根据棱锥的最大高度和勾股定理计算球的半径,从而得出外接球的表面积.
详解:因为45 = BC = 2,AC = 2 0 ,所以
过A C的中点M作平面A B C的垂下M N,则球心。在MN上,
设OM = 〃,球的半径为R ,则棱锥的高的最大值为R + 〃,
因为%_ABC = - x - x 2 x 2 x (/? + /?) = 2 ,所以 R + 〃 = 3,
3 2
由勾股定理得R? =(3—/ ? 尸+2 ,解得R = U ,
所以球的表面积为S = 4»x坦 =也 乙 ,故选D.
36 9
3. (2020•山东高三下学期开学) 在四面体A8CO中,且ABJ_AC,A C L C D , A B ,8 所成的角为
30°, A B = 5, AC = 4, C D = 3 ,则四面体A8CD的体积为( )
A. 8 B. 6 C. 7 D. 5
【 答案】D
【 解析】
由题意, 如图所示,A B A . A C , A C 1C D ,过点A作CO的平行线A E,则A C ,平面A 6 E ,且NE45
为 30。 或 150°,
从3点向AE作垂线,垂足为E ,
易证B E ,平面ACZX
则点B到平面A C D的距离B E = A B sinZEAB = 5 x ' = * ,
2 2
则 %s = ;ACCZ) = 6,
则四面体ABCO的体积为V B E = 5.
故选:D.
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4.( 2020届山东省济宁市第一中学高三二轮检测) 已知四棱锥M-ABCZ) , MAJ_平面ABC。,A B ± B C ,
Z B C D + Z B A D = 1 8O0, M4 = 2 ,B C = 2瓜,Z4BM =30°.若四面体MACD的四个顶点都在同一
个球面上,则该球的表面积为()
A. 20万 B. 22万 C. 40乃 D. 44%
【 答案】C
【 解析】
因为NBCZ) + NBAD = 180°,所以A ,B, C ,。四点共圆,Z A D C = Z A B C = 9 0°.
由 tan30° = *,得 AB = 2百 ,所以 4 c = +( 2 n j = 6.
设AC的中点为E ,M C的中点为O ,因为AM_ L平面ABC。,所以O E ,平面ABCD.
易知点0为四面体M4c。外接球的球心,所以O C = J ( g ) + ( | )= 回,S球=4万•O CZuzU)乃 .
故选C
5. ( 2020届山东省烟台市高三模拟)《 九章算术》中记载,堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱,阳马指底
面为矩形,一侧棱垂直于底面的四棱锥. 如图,在堑堵ABC - A A G中,A C Y B C , A A = 2 ,当阳马
4
8 —体积的最大值为]时,堑堵ABC- 4与 £ 的外接球的体积为( )
第 3 0 页 共 8 8 页
c
. 4 0 8五 「32 64夜
A. - 7 1 B. K C. - 7 1 D. ---------7 1
3 3 3 3
【 答案】B
【 解析】
由 题 意 易 得 平 面 A C £ 4 ,
当且仅当A C = BC时等号成立,
4
又阳马B-ACGA体积的最大值为
所以A 3 = 2,
所以堑堵A B C - A 旦G 的外接球的半径RV2,
所以外接球的体积丫 = ± 乃 / = 述 乃 ,
3 3
故选: B
6. ( 2020届山东省淄博市部分学校高三3 月检测)已知三棱锥P -ABC的四个顶点在球。的球面上,
P A =P B =P C, AABC是边长为2 的正三角形,E, F 分别是以 ,AB的中点,NCEF=90。 ,则球。的体积为
A. 8y/ 6n B. 4娓兀 C. 2娓兀 D. " 兀
【 答案】D
【 解析】
解法一: •••P A = PB=PC, A 4BC 为边长为2 的等边三角形,.•.P—ABC 为正三棱锥,
: . PB1 AC ,又E , E 分别为2 4 、A 3 中点,
: . E F / / PB, . . E F 1 AC ,又 EF 上 CE, C E Q AC ^C , .•.EF_ L 平面尸A C , 依 _ 1 _ 平面PA C ,
第3 1页 共8 8页
.•.NAP5 = 90o,;.PA = PB = PC =夜,,P-ABC为正方体一部分,2R = ,2 + 2 + 2 = 6 ,即
芭,• .W = M = 5 x* 扁, 故选D.
设Q4 = P3 = PC = 2x, 分别为PAAB中点,
:.E F //P B ,且EF = LpB = x, ♦.•△ ABC为边长为2的等边三角形,
2
:.CF = #> 又 /CEF = 90° . . " = 13 — ' , AE^-PA^x
2
A4EC中余弦定理cos/H4C= ' + 4 -( 3-,作POLAC于 。,-.-PA^PC,
2x2xx
An i
Q O为AC 中点,cosZE4C =—= —
PA 2x
尤2 + 4 - 3 + X ? 1
4x 2x
.1 . 2x2 +1 = 2 x2 =—
2
x = W,;.PA=PB = PC = & 又AB=BC=AC=2, ..% ,P B ,P C两两
第 3 2 页 共 88 页
垂直,2R ~ y]l + 2 + 2 = 5/6 > R - V = 3±7tx 8色 =, 故选 D.
2 3 3 8
7. ( 2020届山东省潍坊市高三模拟一)在边长为2的等边三角形ABC中,点D E分别是边AC, AB上的
A P )
点,满足DE/ / B C且——=2 Q e ( 0,1) ) ,将口 人 。£沿直线。七折到口 A D E的位置. 在翻折过程中,下列
A C
结论成立的是( )
A .在边A E上 存 在 点 使 得 在 翻 折 过 程 中 ,满足8/7/ 平面A'CD
B .存 在 使 得 在 翻 折 过 程 中 的 某 个 位 置 ,满足平面A'8C_ L平面8CDE
C .若2 = g ,当二面角A —0E— 8为直二面角时,|4却 =乎
D .在翻折过程中,四棱锥A'-BCOE体积的最大值记为/( 丸 ) ,/( ㈤ 的最大值为”
【 答案】D
【 解析】
对于A ,假 设 存 在 尸 使 得 〃 平 面A'CD,
如 图1所示,
因 为 防 u平面A'BE,平面A 'B E c平面A'CD = A 'A ,故B/7/AA,
但在平面4’8 E内,8 RA A是相交的,
故假设错误,即不存在E e A E ,使得8/〃平面A 'C O,故A错误.
对于B ,如图2,
第 3 3 页 共 8 8 页
A'
取 的 中 点 分 别 为/,H ,连接
因为AA8C为等边三角形,故A /L 3C ,
因为 DE//BC,故 ZA'DE = ZA'DE = ZACB = 60°, ZA'ED = ZAED = ZABC = 60°,
所以均为等边三角形,故A”AH DE,
因为 DE//BC, A I1B C , AI I B C ,故 A,” , /共线,
所以/H L D E ,因为 A 'H c/H = H ,故 。EL平面 A” /,
而OE u平面CBED,故平面A'HI,平面CBED,
若某个位置,满足平面A'3C_L平面BCDE,则A'在平面3C£>E的射影在田 上 ,也在BC上,故A'在
平面BCDE的射影为 " ,所以
此时九
AD
~AC
_
A
_
H
_ _ ___
A_'H
__
_ _1
Al ~ AH+IH 2
这与矛盾,故B错误.
对于C ,如图3 ( 仍取6C,DE的中点分别为/ , ” ,连接出,A'H,A'B,W7 )
因为A'H ± D E ,IH ± B C ,所以ZA,HI为二面角A — DE— /的平面角,
因为二面角A'—力七一8为直二面角,故NA7〃 = 9 0 °,所以A " J. AH,
而IH cD E = H,故 A " _L平面CBED,因 B H u平面C 5E D ,故.K H 1B H .
第3 4页 共8 8页
因为a=;,所以= 〃/ =」A/
2 2 2
在 RtAIHB 中 ,BH=,I^+1=— ,
V4 2
在 & A A '" 8 中,A!B =
对于D ,如图4 ( 仍取3C,£)E的 中 点 分 别 为 连 接/” ,A H ,A B ,A 'C ) ,
作A'在底面CBED上的射影0 ,则 。在 田 上 .
因 为 四 =4 8。〃 。£,所 以 笔= 4且 匹= X ,所以A ” = 6 /1其DE = 2/1.
AC 73 2
又吸_ 年 & = ; X ( x ( OE + C8) X /” X A O
= -(2 2 + 2)x73(1-A)xA
,O< l(2A + 2 )x ^(l-A )x > /3 /l = -23+ 2,
6、6、
令 / (a )= —几3 +4 x e (0 ,1 ),则/''(/I) = -3A2 + 1,
( 向
当4 e 0,—时,
I
3 )
/ ' ( X) >0;当力时,/ ' ⑷ <0.
所以“4)在为增函数,在
e
、
』 为减函数,故 / ( 九 入 , ”=/
7
2A/3
~9~
故D正确.
故选:D.
A'
二、多选题
8. ( 2020届山东省淄博市部分学校高三3月检测)如图,正方体ABC0-A田G "的棱长为1,线段与。
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上有两个动点E 、 F,且= 则下列结论中正确的是( )
2
A. A C 1 B E
B. E F / / 平面 ABCD
C. 口 A EF的面积与□虎户的面积相等
D .三棱锥A - 班户的体积为定值
【 答案】ABD
【 解析】
D A
可证A C J•平面DQB片 , 从而A C L 5 E ,故 A 正确;由回。" / 平 面 A 8C。,可 知 跖 / / 平面A 8CD ,
B 也正确; 连 结 交 A C于 。, 则 A 0为三棱锥A —血 下 的高,%B E F= 1XLX1 = 1,三棱锥A —
2 2 4
的体积为!X』XY 2 = N 2为定值,D 正确;很显然,点 A 和点3 到的E E 距离是不相等的,C 错误.
3 4 2 24
故选:ABD
9. ( 2020届山东省荷泽一中高三2 月月考)如图, 正方体ABC。-%用G A 的棱长为1,则下列四个命题正
确的是()
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c
TT
A . 直线3 c 与平面ABG A 所成的角等于一
4
B . 点 。到面A 8 G A 的距离为立
2
IT
C . 两条异面直线。c和 所 成 的 角 为 一
4
D . 三棱柱朋 4外接球半径为立
2
【 答案】ABD
【 解析】
正方体A B C D -A 4 G A 的棱长为1,
7T
对于A , 直 线 与 平 面 A BC。 所成的角为N C 5G = ^ ,故选项A 正确;
对于B , 因为用C J•面 ABG。 ,点 C 到面ABC。 的 距 离 为 长 度 的 一 半 ,即/ / =注,故选项B 正
2
确;
对于C , 因为8 G / / A " , 所以异面直线。。和 8 c l所成的角为N A 0 C ,而口A 3 。为等边三角形,故两
条异面直线2 c 和B C1所成的角为?,故选项C 错误;
对于D,因为AA, ABI, AA两两垂直, 所以三棱柱的 9一5 反。 | 外接球也是正方体ABCD-ABCQI的
外接球,故 r = 也;1旧1 =立,故选项D 正确.
2 2
故选:A B D .
10. ( 2020届山东省济宁市第一中学高三二轮检测)如图,在以下四个正方体中,直 线 与 平 面 CD E垂
直 的 是 ()
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【 答案】BD
【 解析】
对于4由AB与CE所成角为45°,
可得直线A B与平面CDE不垂直;
对于 3 ,由 A B ^ E D ,C E c E D = E ,
可得A B ,平面CDE;
对 于G由AB与CE所成角为60°,
可得直线A B与平面CDE不垂直;
对于。,连接A C ,由平面ABC,
可得E 3_L A B ,同理可得EC_L AB,
又E D c E C = E ,所以A B ,平面COE.
故选:BD
II. ( 2020届山东省烟台市高三模拟)如图,在四棱锥P-ABC。中,P C ,底面A B C D ,四边形ABC。
是直角梯形,AB//CD,AB± AD,AB = 2 AD = 2CD = 2, F是A 3的中点,E是P 8上的一点,则下列说法正
A .若 P B = 2 P E ,则"/ / 平面 PAC
B .若P B = 2 P E ,则四棱锥P-ABC。的体积是三棱锥E— ACB体积的6倍
C .三棱锥P —ADC中有且只有三个面是直角三角形
第3 8页 共8 8页
D . 平面3 c p ,平面ACE
【 答案】AD
【 解析】
对于选项A,因为P B = 2PE, 所以E 是 心 的 中 点 ,
因为F 是 的 中 点 , 所以防 / 〃 % ,
因为P A u 平面Q4C, E F (Z 平面PAC,所以EF / / 平面PAC,故 A 正确;
对于选项B,因为= 2PE,所以=
2 VE-ABCD,
因为 AB / /CD, AB _ L AD, AB = 240 = 2 8 = 2,
所以梯形ABC。的面积为L ( CQ + AB>AO = LX( 1 + 2)X1 = 3 ,S . 品 = 」4 5 .4 。= !、 2 、 1 = 1,所以
2 ^ 2 2 2
3
V
v E - A B CD = -
2
- V
* - ABC,
所以%" B 8 = 3 "YBC, 故 B 错误;
对于选项C,因为PC ,底面ABC。, 所以P C _ L A C , P C _ L 8,所以口口4。, 口 尸 。 £ > 为直角三角形,
又 AB / /CD, A B ,A。, 所以A£> _ L CD,则口 AC O为直角三角形,
所以 P A? = pc? + AC2 = P C2 + AD
2 + CD2,
P D2 = CD2 + P C2,
则P A
2 = PD2 + AD) ,所以A PA D 是直角三角形,
故三棱锥P- AD C的四个面都是直角三角形, 故 C 错误;
对于选项D,因为PC _ L底面ABCD,所以PC _ L AC,
在 / ? / □ ACO 中,AC = VAD2+ C£>2 =夜 ,
在直角梯形 ABC。中,B C = y]A D2 +( AB- C D )
2 = 6
,
所以 AC? + B C? = AB?,则 AC1BC,
因为B C c P C = C ,所以A C ,平面B CP ,
所以平面B CP ±平面ACE, 故 D 正确,
故选: AD
12. ( 2020. 山东高三模拟) 在正方体ABC。—4 4 G 9 中,如图,M ,N 分别是正方形ABCD, 的
中心. 则下列结论正确的是( )
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A .平面R M N与B,c,的交点是4 G的中点
B .平面RM N与 的 交 点 是BC的三点分点
C .平面0M N与 的 交 点 是AO的三等分点
D .平面RMN将正方体分成两部分的体积比为1 : 1
【 答案】BC
【 解析】
如图,取8 c的中点E ,延长。E,D、N ,并交于点F,
连接 并延长,设 FM cB C = P, FM r>AD = Q,
连接PN并延长交与G于点〃. 连接2。,DtH ,
则 平 面 四 边 形 就 是 平 面 与 正 方 体 的 截 面 ,如图所示.
NE / ICC\〃DD\,NE = qCC, = ^
D Di>
. •. 八的为公。。尸的中位线,; . £ 为 。尸中点,连BF,
\DCE = \FBE, BF = DC = AB, NFBE = ZDCE = 90°,
.・.A B ,/ 三点共线,取A 3中点S ,连MS,
则 MS//BP,MS =、BC,:.肚=坦=乙,
2 MS FS 3
第 4 0 页 共 8 8 页
2 2 1 1 1
:.BP = -M S = -x-B C = -BC,:.PE = -B C ,
3 3 2 3 6
•;E 为 DF 中点、 ,PE / / DQ,:. DQ = 2PE = ;BC = ;AD
N分别是正方形BCC,旦的中心,. •. 储" =BP = ; G始
所以点P是线段8C靠近点8的三等分点,
点。是线段AO靠近点。的三等分点,
点H是线段4 G靠近点G的三等分点.
做出线段BC的另一个三等分点尸' ,
做出线段A 2靠近A的三等分点G ,
连接Q p ,HP',QG,GH,^H-QPP, =VQ-GHD、 ,
所 以 魄面体2/WD.GC。= V氏 方 体0PHe一 永 弓 乃 = § KE方 体
从而平面D、M N将正方体分成两部分体积比为2 : 1.
故选:BC.
13. ( 2020届山东省高考模拟)如图,矩形ABCO中,M为 的 中 点 ,将口48加沿直线AM翻折成
□ ,连结用。 ,N为 片。的中点,则在翻折过程中,下列说法中所有正确的是( )
A .存在某个位置,使得CNLAB
第 4 1 页 共 8 8 页
B.翻折过程中,a v的长是定值
C .若 A B = B M ,则
D .若A5 = BAf = l ,当三棱锥用-AMD的体积最大时,三棱锥用 - AM。的外接球的表面积是41
【 答案】BD
【 解析】
如 图1,取AO中点E ,取A g中点K ,连结EC交于点/ ,连结,K N , B K ,
则易知 NE//AB,, N F g M , E F//AM , K N / / A D , NE = g A与,E C = A M
由翻折可知,ZMAB, = Z M A B , A B
t = A B ,
对于选项A ,易得K N / / B C ,则K、N、C、3四点共面,由题可知A 3 ,3 C ,若aV_L43 ,可得A 3 ,
平面8C N K ,故则AK = JAB? + B K
2 > A3,不可能,故A错误;
对于选项B ,易得N N E C = N M A B -
在口人心。中,由余弦定理得 C N = yJCE2 + N E
2 - 2 N E - C E - cosZ N E C
,
整理得CN = \ 4W2+”- 2 — + >
V 4 2 A M 2
故CN为定值,故B正确;
如图2 ,取A。中点E ,取AM中点。,连结B g, O E, B Q , DO,,
第 4 2 页 共 8 8 页
对于选项C,由= 得,若易得平面4。。 ,故有AA/L8,
从而A D = A / £ ) ,显然不可能,故C错误;
对于选项D,由题易知当平面A B | M与平面AAQ垂直时, 三棱锥小 -A M。的体积最大,此时用。,平面
AM D,则与。,。后,由A 3 = 3 M=1,易求得8。 =手,DM = 6 ,故
4 £ 1 * + 0炉停| +佟]
= 1 ,因此6 4= E 4 = E D = EM , E为三棱锥用-AMO的外
\ \ 2 J I 2 ,
接球球心,此外接球半径为1 ,表面积为4 % ,故D正确.
故选:B D .
1 4 . ( 2 0 2 0 2 0 2 0届山东省淄博市高三二模)如图所示,在四棱锥中,底面A 8 C O是边长为2的
正方形,A C O E是正三角形,M为线段OE的中点,点N为底面A B C D内的动点,则下列结论正确的是
( )
B.若BCLDE时,直线E 4与平面A B C D所成的角的正弦值为巫
4
C.若 直 线 和EN异面时,点N不可能为底面A 3 C D的中心
第4 3页 共8 8页
D .若平面COE_L平面ABC。,且点N为底面ABCD的中心时,BM = EN
【 答案】AC
【 解析】
•rB C u平面ABC。,所以平面ABC。,平面CDE, A项正确;
设C D的中点为尸,连接E F、A F ,则 瓦'LCZX
• . •平面ABCZ) _L平面C D E ,平面A3CZ) n平面COE =。,E E u平面CDE.
.•.EP_L平面ABC。,设£ 4平面ABC。所成的角为8 ,则8 = / £ 4 / ,
EF = ylCE2-CF2 = 6 , AF = ylAD2 +FD2 =V5 - AE = > JEF2 + AF2 = 2>/2 > 则
sin 0 = —— = - - > B 项错误;
EA 4
E
连接BO,易知平面8O E ,由3、M、E确定的面即为平面BOE,
当直线BM和EN异面时,若点N为底面ABC。的中心,则N eB O ,
又E e平面B D E ,则EN与8M共面,矛盾,C项正确;
连接 MV, •••FNu 平面 ABC。,EF 上平面 ABCD, :.EF 工 FN,
• . •尸、N分别为C。 、8D的中点,则FN =』BC = 1,
2
又 EF = \lj,故 ENVEA + FM =2, BM 々Be? +CM° = B 则 BMHEN, D 项错误•
故选:AC.
15.( 2020-山东高三下学期开学) 在三棱锥D-ABC中,4 ? = 3。= 8 =。4 = 1 ,且4 6 , 3。,8 , 0 4 ,
M, N分别是棱BC, CQ的中点,下面结论正确的是( )
A. A C LB D B. M/V〃平面 A3。
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C .三棱锥A-CMN的 体 积 的 最 大 值 为 " D. A。与BC一定不垂直
12
【 答案】ABD
【 解析】
根据题意,画出三棱锥。-ABC如下图所示,取AC中点0 ,连接
对于 A ,因为 A3 = BC=CD=D4 = 1 ,且 ABLBC, CDLDA,
所以A4BC,AADC为等腰直角三角形,
则 0D1 AC, BO 1 AC,且 ODcBO=O,
则ACJ_平面3QD,
所以AC_ L 3 0 ,即A正确;
对 于B ,因为M, N分别是棱BC, C。的中点,
由中位线定理可得M N //B D ,而5 D u平面/WO,平 面 的 ,
所以肱V //平面即B正确;
对于C ,当平面R4CJ_平面ABC时,三棱锥A-CMN的体积最大,
VA-CMN = VN-ACM =/' ( 品 ;*
lx l) x等xg = ^ ,即 C 错误;
对于 D ,假设 A D L 3 C ,由 ABJ.BC,且 AT>cA3 = A,
所以8C_ L平面" £>,则BCJ_ 8D,
又因为A C _ LB D ,且ACA6C = C,
所以BDJ_平面A B C ,由Q B u平面A B C ,则 %>J_ O3,
由题意可知O B = O D ,因而8£>_ LQB不能成立,因而假设错误,所以D正确;
综上可知,正确的为ABD,
故选:ABD.
第4 5页 共8 8页
1 6. ( 2 0 2 0届山东省潍坊市高三模拟一) 沙漏是古代的一种计时装置,它由两个形状完全相同的容器和一个
狭窄的连接管道组成,开始时细沙全部在上部容器中,细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间
称为该沙漏的一个沙时. 如图,某沙漏由上下两个圆锥组成,圆锥的底面直径和高均为8 c m ,细沙全部在上
2
部时,其高度为圆锥高度的§ ( 细管长度忽略不计). 假设该沙漏每秒钟漏下0 . 0 2。 / ?的沙,且细沙全部漏
入下部后,恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆. 以下结论正确的是( )
A.沙漏中的细沙体积 为 胆 加3
8 1
B.沙漏的体积是1 2 8万 。 '机3
C.细沙全部漏入下部后此锥形沙堆的高度约为2 A c m
D.该沙漏的一个沙时大约是1 98 5秒 ( 万^ 3. 1 4 )
【 答案】A C D
【 解析】
A .根据圆锥的截面图可知:细沙在上部时,细沙的底面半径与圆锥的底面半径之比等于细沙的高与圆锥的
高之比,
, , , , 2 . 8
T.
1 , 2 h 1 64乃 1 6 1 0 2 4万
所以细沙的底面半径r = —X4 = -C7 % ,所以体积V = 一♦乃广- - - -- - - - - - - - - - - -- - - - - -
3 3 3 3 3 9 3 8 1
B .沙漏的体积 V = x h - 2 x - x 7 rx 42 x S - ^ ^ - T rc m3 ;
3 ⑶ 3 3
C .设细沙流入下部后的高度为九,根据细沙体积不变可知:
”, ,10 24乃 16万,”, ,,三“
所以------=---- ", 所以 4 a 2. 4 c ' 〃 z ;
81 3
D.因 为 细 沙 的 体 积 为 , 沙漏每秒钟漏下0 . 0 2c 〃?3的沙,
所以一个沙时为:
10 24万
五二10 24 x3 . 14 x5 0 58 5 秒
0 . 0 2 81
故选:A CD .
第 4 6 页 共 8 8 页
17 . ( 20 20届山东省潍坊市高三模拟二)如图,正方体A B C。- 44G A的棱长为1,则下列四个命题正确的
TT
A.直线3c与平面ABG。 所成的角等于」
4
B. 点 。到面A8 C Q的距离为立
2
7 T
C .两条异面直线2 C和8 G所成的角为二
D.三棱柱4 4 ,2 - 6gG外接球半径为立
2
【 答案】A B D
【 解析】
正方体A B C。-A旦G 2的棱长为1,
7T
对于A,直线BC与平面A B C。 所成的角为N C S q =^,故选项A正确;
对于B,因为gC ,面ABG A,点C到面A B C Q i的距离为耳。长度的一半,即力=①,故选项B正
2
确:
对于C ,因为B G / / A。 ,所以异面直线。。和8 G所成的角为乙4RC ,而口A3。为等边三角形,故两
条异面直线QC和Bq所成的角为? ,故选项C错误;
对于D ,因为4A , A 4 , AA两两垂直, 所以三棱柱A 4 ,A - 8gG外接球也是正方体A B C。-A8 G A的
外接球,故 厂 = 也 过 士 二 = @ ,故选项D正确.
22
第 4 7 页 共 8 8 页
故选:ABD.
18. ( 20 20届山东省六地市部分学校高三3月线考)已知正四棱柱A B C。-A4G A的底面边长为2 ,侧
棱4 4 1= 1, p为上底面4月G A上的动点,给出下列四个结论中正确结论为( )
A.若P O = 3,则满足条件的P点有且只有一个
B.若P D = C,则点P的轨迹是一段圆弧
C .若 〃 平 面A CS一 则 。尸长的最小值为2
D .若P O 〃平面ACB,,且= 6 ,则平面8 D P截正四棱柱A B C D - \ B
XCXD,的外接球所得平面图形
的面积 为 巨
4
【 答案】A B D
【 解析】
如图:
♦ . • 正四棱柱— 的底面边长为2,
:.B \ D \ = 2 M ,又侧棱 A A = 1,
; .DB[ =#8j + f = 3 ,则P与B 1重合时P D = 3,此时P点唯一,故A正确:
V P D = V 3 e ( l ,3 ) , DD, = 1,则=也 ,即点P的轨迹是一段圆弧,故B正确;
连接。A, oq,可 得 平 面 〃 平 面A c q ,则当尸为4 c l中点时,D P有最小值为= G ,
故c错误;
由C知, 平面5 DP即为平面, 平面8 D P截 正 四 棱 柱 — 的外接球所得平面图形为
外接球的大圆,其半径为一122 +22 + 『=2 ,面积为一,故 。正确.
2 2 4
第4 8页 共8 8页
故选:ABD.
19. ( 2020届山东济宁市兖州区高三网络模拟考)如图,在四棱锥P -A B C 。 中,底面ABC。为菱形,
ZD AB = 60° 1 侧面? A D 为正三角形,且平面E 4£) _L平面A B C D ,则下列说法正确的是( )
A . 在 棱 上 存 在 点 M ,使平面PMB
B . 异面直线A O 与 所 成 的 角 为 90。
C . 二面角P -B C — A 的大小为45。
D. 8 。,平面 PAC
【 答案】ABC
【 解析】
如图,对于A ,取 A。的中点M ,连接♦ . •侧面PA D 为正三角形,
: .P M ± A D,又底面A 8C D 是菱形,ND4B = 60°,是等边三角形,
:.A D ± B M .又 P M c B M = M , P M,B M u 平面尸M B ,
.• .4 ) ,平面P B M ,故 A 正确.
对于8 , •.•4 ) ,平面P B M ,.•.AT>_LPB,即异面直线A£) 与 所 成 的 角 为 90。 ,故 5 正确.
对于 C , • . •平面 PBCCI 平面 ABCD = B C , BC //AD , :.B C 上平面 P B M,:.B C 上 PB BC 上 BM ,
.•.N P8W 是二面角P —B C -A 的平面角,设 4 3 = 1 , 则 8 " = 走,PM = —,
2 2
PM
在 RtZXPBM 中,ta n /P 6 M = ——= 1 , 即 N P B M = 45°,故二面角 P —3 C —A 的大小为 45。 ,故C 正
BM
确 .
第 4 9 页 共 8 8 页
对于。,因为BO 与 2 4 不垂直,所以8D 与平面2 4 c 不垂直,故 。错误.
故选:A B C
20. ( 2020届山东省济宁市第一中学高三一轮检测)如图,在正方体A BC。—4 4 G 2中,尸是棱4 。 上
动点,下列说法正确的是( ).
A
A .对任意动点F,在平面A O A A 内存在与平面C M 平行的直线
B . 对任意动点F,在平面A 8CO 内存在与平面C Bb垂直的直线
C . 当点F 从 A 运动到。 的过程中,FC与平面A BCO所成的角变大
D .当点F 从 A 运动到R 的过程中,点 £) 到 平 面 的 距 离 逐 渐 变 小
【 答案】AC
【 解析】
因为AZ) 在平面A D RA 内,且平行平面CB凡 故 A 正确;
平面CBF即平面A Q C 8 , 又平面4 A C B 与平面A 8CD斜相交,所以在平面A BCD内不存在与平面C8F
垂直的直线,故 B 错误;
F 到平面48C。的距离不变且尸C 变小,FC与平面ABCO所成的角变大,故 C 正确;
平面CBF即平面A R C 6 ,点 。到平面A R C S的距离为定值,故 。错误.
故选:A C.
21. ( 2020届山东省青岛市高三上期末)如图,正方体A 8CO- 4 4 G 2 的棱长为1,则下列四个命题正确的
是()
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c
TT
A . 直线3 c 与平面ABG A 所成的角等于一
4
B . 点 。到面A 8 G A 的距离为立
2
IT
C . 两条异面直线。c和 所 成 的 角 为 一
4
D . 三棱柱朋 4外接球半径为立
2
【 答案】ABD
【 解析】
正方体A B C D -A 4 G A 的棱长为1,
7T
对于A , 直 线 与 平 面 A BC。 所成的角为N C 5G = ^ ,故选项A 正确;
对于B , 因为用C J•面 ABG。 ,点 C 到面ABC。 的 距 离 为 长 度 的 一 半 ,即// = 注,故选项B 正
2
确;
对于C , 因为8 G / / A " , 所以异面直线。。和 8 c l所成的角为N A 0 C ,而口A 3 。为等边三角形,故两
条异面直线2 c 和B C1所成的角为?,故选项C 错误;
对于D,因为AA, ABI, AA两两垂直, 所以三棱柱的 9一5 反。 |外接球也是正方体ABCD-ABCQI的
外接球,故 r = 也;1旧1 = 立,故选项D 正确.
2 2
故选:A B D .
22. ( 2020届山东省泰安市肥城市一模)在空间四边形ABC。中, E ,R G ,”分别是43,BC,8 , 0 4 上的点,
当3 。//平面E F G H 时, 下面结论正确的是( )
第5 1页 共8 8页
A. E,一定是各边的中点
B. G ,” 一 定 是 的 中 点
C. AE: E B = A H : H D , 且 BF: F C = D G . G C
D . 四边形E F G H 是平行四边形或梯形
【 答案】CD
【 解析】
由B D H平面E F G H, 所以由线面平行的性质定理, 得B D / / E H . BD//FG,^\ A E : E B = A H : H D, 且
B F : F C = D G : G C ,且EH//FG,四边形E F G H是平行四边形或梯形.
故选:CD.
23. ( 2020届山东省泰安市肥城市- - 模)如图, 正方体A B C O -A g G 。 的棱长为1,则下列四个命题正确的
是()
A . 直线8 。与平面A B G 2 所成的角等于色
4
B. 点 C 到面A 8 G A 的距离为走
2
1T
C . 两条异面直线0 c 和 8 G 所成的角为一
4
D . 三棱柱AA A - B B G外接球半径为B
2
【 答案】ABD
【 解析】
正方体ABCO—ABCI。的棱长为1,
TT
对于A , 直线B C 与平面A 3 £ A 所成的角为NCBG = z ,故选项A 正确:
第 5 2 页 共 8 8 页
对于B , 因 为 与 面 ABC 。 ,点 C 到面A B G R的距离为q C 长度的一半,即力= 迎,故选项B 正
2
确;
对于C , 因为B C J / A " , 所 以 异 面 直 线 和 B G 所成的角为NA。。,而口 A。。为等边三角形,故两
条异面直线2 c 和 B G 所成的角为号,故选项C 错误;
对于D ,因为4 A A 4 , 4 〃 两两垂直, 所以三棱柱A 4 ,A —8 4 G 外接球也是正方体ABC。—4 6 c A 的
外接球,故 r = 走,故选项D 正确.
2 2
故选:ABD.
24. ( 2020届山东省潍坊市高三下学期开学考试) 三棱锥P-ABC的各顶点都在同一球面上, PC , 底面ABC,
若 P C = AC = 1, A B = 2 ,且 4 4 c = 60。 ,则下列说法正确的是( )
A. AE4B是钝角三角形 B . 此球的表面积等于5万
C. 平面以C D . 三棱锥A-P8C的体积为且
2
【 答案】BC
【 解析】
如图,
C
在底面三角形A3C中,由AC = 1, AB = 2, ZBAC = 60°,
利用余弦定理可得:B C = ^12 + 22- 2X1X2X1 =上 ,
/• A C
2 + B C2 = A B2»
即 ACJ_ BC,
由于PC ,底面A B C ,,PC_ LAC, P C ^ B C ,
♦.•PCf lAC = C, BCJ_ 平面以C , 故 C 正确;
PB = ^PC2 +BC1 =2 = AB'
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由于尸52 + AB2-P A2 > 0 ,即N P84为锐角,
.•・A7%8是顶角为锐角的等腰三角形,故 A 错误;
取 。为 AB中点,则 。为口班。的外心,可得三角形A 3C 外接圆的半径为1,
设三棱锥。一 A B C 的外接球的球心为O , 连接OP,则= +1 = 4
即三棱锥P - A B C的外接球的半径为R二盘,
2
(内
. ..三棱锥球的外接球的表面积等于4;rx 工 = 5万,故 8 正确;
I 2 J
V„ Altr = —x - x lx 5/3 x 1 = ,故 D 错误;
P-ABC 3 2 6
故选:BC.
三、填空题
25. ( 2020届山东省高三高考模拟) 若一个圆柱的轴截面是面积为4 的正方形,则该圆柱的外接球的表面积
为.
【 答案】8万 .
【 解析】
作出圆柱与其外接球的轴截面如下:
设圆柱的底面圆半径为厂 ,则 3 c = 2厂 ,所以轴截面的面积为S正 方 形AB8 = ( 2〃 )2 = 4 ,解得厂= 1 ,
因此,该 圆 柱 的 外 接 球 的 半 径 氏 =些 =也 二 生 =也 ,
2 2
所以球的表面积为S = 4万( 拉 / = 8万.
故答案为8%
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2 6 . ( 2 02 0届山东省潍坊市高三下学期开学考试) 双曲线上— J = 1 的渐近线与直线x = 6 围成的图形绕y
3
轴旋转3 6 0°, 则所得旋转体的体积为一 ;表面积为
【 答案】4 万 8 岳
【 解析】
双曲线事―> 2 = 1 的渐近线> = ± *X,与直线x = &的交点为( 6 , 1 ) 和( 6 , - 1 ) ,
该旋转体为底面半径是6 , 高为2的圆柱,
挖掉两个底面半径为G ,高 为 1 ,母线长为2的圆锥,
所以所得旋转体的体积为V =匕 现 柱- 2%]傩= 万x(G T x2 — 2x;x乃x(、 回『xl = 4万,
表面积为S = 2x^-xV3X2 + 2X^-X->/3X2 = 8A/3 ^,
故答案为:4万 ,8& .
2 7 . ( 2 02 0•山东滕州市第一中学高三3月模拟) 已知正三棱锥P - A 8 C, 。为 BC 中点,P A = 叵,AB = 2 ,
则正三棱锥P-ABC的 外 接 球 的 半 径 为 ; 过Q的平面截三棱锥P-ABC的外接球所得截面的面积范围
为.
【 答案】— 万 不
2 L 2 J
【 解析】
因为正三棱锥P-A 3C , P B = P C = P A = & A C = B C = A B = 2,
所以 = AB?,即m _ LR4,
同理P B_ LP C, P C 1P A ,
因此正三棱锥P - A B C可看作正方体的一角,如图,
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记正方体的体对角线的中点为。,由正方体结构特征可得,。点即是正方体的外接球球心,
所以点。也是正三棱锥P-ABC外接球的球心,
记外接球半径为七 则R, j 2 + 2 + 2 =逅 ,
2 2
因为球的最大截面圆为过球心的圆,
3
所以过。的平面截三棱锥P-ABC的外接球所得截面的面积最大为5nm = I N =5〃 ;
又 。为BC中点,由正方体结构特征可得OQ = g p 4 = ^;
由球的结构特征可知,当0 Q垂直于过Q的截面时,
截面圆半径最小为r = yjR2 - O Q
2 = 1,所以Sm m =
兀f =兀.
- 3 -
因此,过 。的平面截三棱锥P -A8C的外接球所得截面的面积范围为71 ,-71 .
故答案为:⑴ . — ( 2) . 71 ^-71
2L
2
J
28. ( 2020届山东省泰安市肥城市一模)在我国古代数学名著《 九章算术》中,把两底面为直角三角形的直
棱柱称为“ 堑堵” . 已知三棱柱ABC —A 4 G是一个“ 堑堵” , 其中= = 2 ,点M是A G的中点,
则四棱锥M - B £ C B的 外 接 球 的 表 面 积 为 .
【 答案】81
【 解析】
由 题 意 得 四 边 形 为 正 方 形 ,设其中心为。,取用G中点N ,则
O N 工 M N • : O N = 1 ,M N = \ :. O M =叵=O B = O C = O B、 = OQ ,即。为四棱锥" 一 B g C B 的外接
球球心,球半径为0,球表面积为4元 (0尸 =8元 .
29. ( 2020•山东高三模拟)如图,直线/_ L平面a,垂足为O ,三棱锥A — 的底面边长和侧棱长都为
4, C在平面a内,3是直线/ 上的动点,则点5到平面A C D的距离为,点O到 直 线 的 距 离
的 最 大 值 为 .
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4 f-
【 答案】yV6 2V2 + 2
【 解析】
A4CD边长为4 ,则中线长为4 x @ ,
2
点B到平面A C D的距离为,16 - (4 x2 x走 ]= 士 戈 ,
N I 3 2 ; 3
点。是以BC为直径的球面上的点,
所以。到直线A D的距离为以B C为直径的球面上的点到A D的距离,
最大距离为分别过BC和AO的两个平行平面间距离加半径.
又三棱锥A - B C D的底面边长和侧棱长都为4,
以下求过8 c利AD的两个平行平面间距离,
分别取BC, A D中点瓦F ,连BF,CF, E F ,
则 BE = C£.・.EF_ LBC,同 理 所 _ LAD,
分别过 E, F 做 E M / / A D , F N I I B C ,
直线确定平面a ,直线A£>,KV确定平面夕,
则 E F 上 F N , F N C A D = F,;.EF 工。 ,同 理 砂 a ,
« H P , E F 为所求,= J16-4 = 273,
:.EF = <12-4 = 2 0 ,
所以。到直线AD最大距离为2a + 2 .
4
故答案为; 2>/2 4- 2 •
第5 7页 共8 8页
A
3 0 . ( 2 0 2 0届山东省济宁市高三3月月考)如图所示,某几何体由底面半径和高均为1的圆柱与半径为1的
半球对接而成,在该封闭几何体内部放入一个小圆柱体,且小圆柱体的上下底面均与外层圆柱的底面平行,
则 小 圆 柱 体 积 的 最 大 值 为 .
【 解析】
由题意,设小圆柱体底面半径为C O S。,
则高为 1 + s i n。 ,6 ( 0 ,
小圆柱体体积V = ^ - - c o s
2
6 - ( l + s i n 6 ) ,
设 s i n 6 = f , ? e ( 0 , l ) ,
则 V = % . ( 1 —r) ( ] + / ) = 〃. ( 一/ 一产+ . + ] )
则 V , = 〃. ( _3 f 2 _ 2 t + l ) = 〃. ( _3 t + l ) « + l )
, 1 . _ _ 3 2 7
当 , = 一 时 ,v =- - - -
3
m a x
2 7
3 2 4
故答案为:- - - -
2 7
3 1 . ( 2 0 2 0届山东济宁市兖州区高三网络模拟考)农历五月初五是端午节,民间有吃粽子的习惯,粽子又称
粽屹,俗称“ 粽子” ,古称“ 角黍” ,是端午节大家都会品尝的食品,传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱
国主义诗人屈原. 如图,平行四边形形状的纸片是由六个边长为1的正三角形构成的,将它沿虚线折起来,
第 5 8 页 共 8 8 页
可以得到如图所示粽子形状的六面体,则该六面体的体积为一;若该六面体内有一球,则该球体积的最
大值为
( 1 ) 每个三角形面积是S = = 1 , 由对称性可知该六面是由两个正四面合成的,
3
2 7 4
可求出该四面体的高为J 1 - ( 立 ] =X6,故四面体体积为lx走=巫,
V 3 3 3 4 3 1 2
因此该六面体体积是正四面体的2 倍, 所以六面体体积是也;
6
( 2 ) 由图形的对称性得,小球的体积要达到最大,即球与六个面都相切时,由于图像的对称性,内部的小球
要是体积最大,就是球要和六个面相切,
连接球心和五个顶点,把六面体分成了六个三棱锥设球的半径为R ,
7 2 f l x/ 3 J6 4
所以' 丁 = 6 x - x ^ - x / ? = > / ? = 1, 所以球的体积V=」R3
6 ( 3 4 J 9 3
故答案为:旦;遏.
6 7 2 9
四、解答题
3 2 . ( 2 0 2 0 届山东省济宁市第一中学高三二轮检测) 已知如图1 直角梯形A B C 。,AB///CD, NZM 8 = 9 ( ) °,
A8 = 4, AQ = CD = 2 , E 为 AB的中点, 沿 E C将梯形ABCO 折起( 如图2 ) , 使平面B E D 平面A E C D .
图2
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( 1 ) 证明: 6 E 1 平面AECO;
2
( 2 ) 在线段C O上是否存在点凡 使得平面E 钻 与平面EBC所成的锐二面角的余弦值为不,若存在,求
出点F 的位置;若不存在,请说明理由.
【 答案】( 1 ) 见解析;( 2 ) 存在,尸 为 中 点
【 解析】
( 1 ) 证 明 连 接 A C , 则 AC_ LO£,
又平面或应_ L平面A E C D ,平面B D E C 平面AECD = Z)H, 4 。( = 平面4 £ 。 £ ) ,
所以AC J•平面8 D E ,
所以
又BE LC E , A CC\CE = C , AC , C £ u 平面 AECD,
所以B E 1 平面AECD.
(2) ( 1 ) 得 B E 1 平面 A E C O,所以
所以E 4 ,E B,EC两两垂直,
分 别 以 丽 ,EB,反方向为x, y, z轴正方向,建立空间直角坐标系石一砂z,
如图所示,
则石(0,0,0), A (2,0,0), * 0 ,2 ,0 ),
设尸(a,0,2), 0 < a < 2 ,
所 以 丽 = (a —2,0,2), BF = (a , - 2 , 2 ),
设平面E钻的法向量为〃 = (x ,y ,z ),
第 6 0 页 共 8 8 页
A F n = ( x- 2 ) x + 2 z = 0 ,
B F • n = QX—2 y + 2 z = 0 ,
取x = 2,得〃 = ( 2 , 2 , 2 —〃 ) .
取平面E B C的法向量为送= ( 1 , 0 , 0 ) .
所以c o s ( 力 切 =
" 小川
夜 2 一4 〃 + 1 2
2
3
所以a = 1 .
所以线段。。上存在点F ,且尸为。。 中点时,使得平面£钻 与平面E8C所成的锐二面角的余弦值为2 .
3
3 3 . ( 2 0 2 0 届山东省济宁市第一中学高三一轮检测) 如图所示, 直角梯形ABCD中,AD//BC, A D ± A B ,
4 B = BC = 2 A T> = 2,四边形 E D C F 为矩形,C F = 6 平面 E O C F _ L 平面 A B C D .
( 1 ) 求证:□平面A B E ;
( 2 ) 求平面A B E 与平面E F B 所成锐二面角的余弦值.
( 3 ) 在线段D F 上是否存在点P , 使得直线B P 与平面A B E 所成角的正弦值为 立 ,若存在,求出线段B P 的
长,若不存在,请说明理由.
【 答案】⑴见 解 析 ( II) 苦( HI) | 丽| = 2
【 解析】
(I )取 。为原点,D4所在直线为x 轴,O E所在直线为z轴建立空间直角坐标系,如图,则 A ( l , 0 , ( ) ) ,
3 0 , 2 , 0 ) , E ( 0 , 0 询,网-1 , 2 , 句,. •. 诙 = ( - 1 , - 2 , 网,荏= ( 0 , 2 , 0 ) ,
设平面ABE的法向量万
不妨设为= ( 6 , 0 / ) ,又 而 = ( - 1 , 2 , 6 ) ,
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. . . 而•万= 一6 + 6 = 0,而 J_万,又:。尸2平面 ABE,," 7 /平面 ABE.
(ID V BE = ( - 1 , - 2 , ^ ) ,丽= (— 2 , 0 , 6 ) ,设平面8石厂的法向量比= (x,y,z),
— x — 2y + y/3z = 0,
- 2x + >/3z - 0,
不妨设初=(2月 , 后4卜
10 _ 5后
2.而一31
平面A B E与平面£FB所成锐二面角的余弦值为三叵.
31
(III)设 历 = 几 丽 = /1(— 1 ,2 ,6 ) = (—2G[0,1], .-.P(-2,22,732),
A BP = (-2-l,2A -2,V 3A),又• . •平面 ABE的法向量开= (6 ,0 ,1 ),
sin^ = |cosBP,/7| =
|-V 32-V 3 + V3A|
2^(2 + 1)2+(2 2 -2)2+322
B
V
8 /2 — 6 / + 1 = 0, .•・/1 = 7
2 或
7 1 = 二
4.
当4 =, 时 ,丽 =— 3, — 1,也,:.\BP\ = 2;当4 =, 时 ,B P =
2 1 2 2 J । । 4
,二 冏= 2 .
综上,|而| = 2.
34. (20202020届山东省淄博市高三二模) 图1是由矩形ADEB, RsABC和菱形BFGC组成的一个平面图
形,其中AB=1, BE=BF=2, ZFBC=60° ,将其沿AB, BC折起使得BE与8尸重合,连结O G ,如图2.
(1)证明:图2中的A, C, G ,。四点共面,且平面ABC,平面BCGE;
( 2 )求图2中的二面角B - C G - A的大小.
第 6 2 页 共 8 8 页
【 答案】⑴见详解;(2) 30°.
【 解析】
(1)证:••• A D //B E , BF / / C G ,又因为E 和尸粘在一起.
AD / / C G , A, C, G, D 四点共面.
又;ABLBE , AB 上 B C.
.•.A8_ L平面 BCGE, •.•A B u平面 ABC, . •. 平面 ABCJ_ 平面 BCGE,得证.
(2)过 B 作 B”_ LGC延长线于H , 连结A H ,因为AB_ L平 面 BCGE,所以A 3 L G C
而又BH L G C ,故 G C ,平面所以A〃 _ LGC.又因为所以ZB/Z4是二面角
3 - C G -A 的平面角,而在中NBHC = 90°,又因为NEBC = 60°故N B C " =60°,所以
B” = BC sin60°=技
而在口 / 48” 中 ZABH = 90°,tanZB HA = —= - ^ = —,即二面角 B —C G -A 的度数为30。 .
BH 垂, 3
35. (2020. 山东高三模拟)如图,在四棱锥P—ABC。中, R4_ L平面A B C D ,四边形A8CO为正方形,
点户为线段PC 上的点, 过 A 。, 尸三点的平面与尸5 交于点E.将①A5 = A P,② 8E = PE ,③
中的两个补充到已知条件中,解答下列问题:
第 6 3 页 共 8 8 页
( 1 )求平面ADEE将四棱锥分成两部分的体积比;
( 2 )求直线PC与平面ADEE所成角的正弦值.
【 答案】(1 ) -; ( 2 )旦 .
3 3
【 解析】
第一种情况:若将①A B = AP,② B E = PE作为已知条件,解答如下:
( 1 ) 设平面ADEE为平面a .
:B C / / A D,, 3c 〃平面。,而平面a D 平面 P B C = E F ,
A E F / / B C , 又 E 为 P B 中点.
设 A P = A B = 1 ,则 E F = — B C = —.
2 2
在三角形 Q 4 8 中,P B = y/2,AE = — = —,
2 2
由 A £ > _ L P A , AD,A 8 知 AD _ L 平面 R W ,
A D L A E , E F L A E ,
二梯形AEFD的面积
SAEFD
;如 巴 心 房 *旦 述 ,
2 2 2 8
A B = AP, B E = P E , P B 工 A E , A D ± P B ,
AD n A £ = A , P 8 _ L 平面 A E F D ,
1 Z
1 30 夜 1 ” _ 1 . ,1
P - A E F D 3 8 2 8 3 3
.v
・ ・ E F - A B CD 3 g 2 4 '
1
故 V p A E F D =8=3, VEF-ABCD = 9
^ E F - A B CD _ _ 5 ^ P - A E F D 3
2 4
( 2 ) 如图,分 别 以 所 在 直 线 为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系,
设 AB = AD = AP = 1 ,则 C (l , 1 , 0 ), m o , l ) , 8 (1 , 0 , 0 )
P B = (1 , 0 , - 1 ), P C = (1 , 1 , - 1 ),
第6 4页 共8 8页
由 ( 1)得 而 为 平 面 AOEE的一个法向量,
因为cos〈 南丽〉
PC PB 2 76
\PC \\PB\~ y [2 - y f3 ~ ~
所以直线PC 与 平 面 庄 所 成角的正弦值为逅.
3
第二种情况:若将①AB = A P,③ 。 8_ LH > 作为已知条件,
则由 4 ) _ LAP , 4 ) ,4 5 知 4 ) ,平面 A 5 P,AD ± PB,
又 PBL F D ,所 以 依 J_ 平面 AD EE,PBrAE ,
又 AB = A P,故 E 为 中 点 ,即B E = PE ,解答如上不变.
第三种情况:若 将 ② = ③ 作 为 已 知 条 件 ,
由 依 _ LED及第二种情况知/ >B,A E ,又 B E = PE ,
易知AB = A P, 解答仍如上不变.
36. ( 2020届山东省烟台市高三模拟) 如图, 已知四棱锥尸-A B C 。 的底面是等腰梯形,AD / / BC , 4 ) = 2,
3 c = 4, NABC = 60°, △ RU ) 为等边三角形,且点P在底面ABCO上的射影为A O的中点G , 点 E
在线段B C 上,且 CE:EB = 1:3.
( 1)求证:平面尸A 0 .
( 2)求二面角A -PC —。的余弦值.
【 答案】( 1)证明见解析( 2) 返
13
【 解析】
第 6 5 页 共 8 8 页
(1 )在等腰梯形ABC。中,
• • •点E在线段BC上, 且CE:EB = 1:3,
・ ・ ・点E为BC上靠近C点的四等分点,
,/ AD = 2,3C = 4,CE = 1,
DEJ.AD,
• . •点P在底面ABCD上的射影为A£>的中点G,连接PG,
.•.PG_L 平面
u 平面 ABCD,;. P G L D E .
又 AO c PG = G, AO u 平面「AD, PG u 平面 PAD,
平面 Q4。.
B
(2 )取3C的中点F,连接G F ,以G为原点,G A所在直线为X轴,GF所在直线为y轴,G P所在直线为z轴,
建立空间直角坐标系, 如图所示,
由(1 )易知,OEJ_C8,CE = 1,
又 Z A B C = A D C B = 0 , : .DE = G F = 6
••• AD = 2, △PAD为等边 三 角 形 ,PG =6,
则 G(0,0,0), A(1,O,O) ,0(-1,0,0), P(0, 0,A/3),C(-2,区 0),
AC = (-3 /,0 ), A P = (-1,0, J3 ),D C = (-1,73,0), D P = (1,O,V3),
设平面APC的法向量为沅= (%,y,Z|),
第6 6页 共8 8页
则《
m -AC - 0
m - AP -- 0
令内=6,则 X = 3 , 4 = l , . - . / n = (> / 3 , 3 , l ),
设平面DPC的法向量为万=( % , % , Z2 ) ,
则《
n - DC - 0 — x, + \/3y-, = 0
— , 即 4 r~
ii - DP = 0 [ / + 也 z2= 0
令 % =g , 则 % = 1 * 2 =T = (6 , 1 , 7 ),
设平面APC与平面DPC的夹角为6 , 则
n
|w - n| |3 + 3 - l | > / 6 5
M闲『ET B
• •・二面角A-PC—。的余弦值为 画 .
1 3
3 7 . ( 2 0 2 0 届山东省荷泽一中高三2月月考)《 九章算术》是我国古代数学名著, 它在几何学中的研究比西方
早 1 0 0 0 多年, 在 《 九章算术》中, 将底面为直角三角形, 且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵( 切助血) ; 阳马指
底面为矩形, 一侧棱垂直于底面的四棱锥, 鳖膈S i e 指四个面均为直角三角形的四面体.如图在堑堵
ABC-ABG 中,ABJ_AC.
( 1) 求证:四棱锥8 — 4 A CG为阳马;
( 2) 若 C 1C = B C = 2, 当鳖膈q —A BC体积最大时, 求锐二面角C — 4 3 —G的余弦值・
【 答案】( 1) 证明见解析; ( 2) 巫
5
【 解析】
第6 7页 共8 8页
(I): 底面 ABC,AB 1 面 ABC
A.AVAB
又A BLA C, 4A l AC = A
:. 4?_|_面 ACCiAi ,
又四边形A CGA为矩形
. , .四棱锥3 —AACG为阳马.
(2)V A B L A C,B C ^2 , AB2 + AC2 =4
又•••A A _L 底面 ABC,
-'.VCi_ABC= ^ C
tC -A B -A C
1 “ 1 AB2+AC2 2
= -- AB- AC <------------------ = -
3 3 2 3
当且仅当AB = AC =夜 时 ,%_A B C = g • AB • AC取最大值
V AB L A C,4 A ,底面 ABC
. •.以A为原点,建立如图所示空间直角坐标系
B(V2,0,0), C(0,V2,0), 4(0,0,2)
UUU / — \ : ( L L \ UUtai z L \
AB = (@ 0 ,-2), BC = (-V2,V2,0), ^C, =(0,V2,0)
设面\B C的一个法向量勺=(X1,y,zJ
由[段;得勾
同 理 得 %二 ( 四,0,1)
U L B I . -
心 叫 小・心 >/15
\ "1nll・141 5
二面角c 一 A B— G的余弦值为 —.
5
第 6 8 页 共 8 8 页
38. (2020届山东省泰安市肥城市一模) 如图所示的几何体中, 4 3 。-4 片。 1为三棱柱, 且 4 4 ,平面48(7,
A 4 = A C , 四边形ABC。为平行四边形,A D ^ 2 C D , NAOC = 6()°.
( 1 ) 求证:AB_ L 平面 A C G A ;
( 2 ) 若 CD = 2 , 求四棱锥G —4 4 C 。的体积.
【 答案】( 1 ) 证明见解析(2) 8
【 解析】
( 1) 证明:• • •四边形A B C D为平行四边形,A D = 2CD, Z A D C = 60°.
N A C D = N B A C = 90°,
/. A B ± A C ,
几何体中,A B C - A ^ C ,为三棱柱, 且 A4, 1 平面ABC,
D
第 6 9 页 共 8 8 页
A B J . AA.
A C c AA, = A ,
.•.A8_ L 平面 A C G 4 .
( 2)连结AC ,
Q AB _ L 平面 A C C A, C D / /AB,
\ c z )
A
平面 C G A,
四棱锥G—A 4 c。的体积:
V — % -CGA + ^ C - A, 5, C 1
=§ x C D x 5 & G C + § x C C 1 x 5 A耳G
=—x 2x —x2y/3x 2> /3 + —x2邪)x —x 2x 2石
3 2 3 2
=8 .
39 . ( 2020届山东省六地市部分学校高三3月线考) 如图,三棱柱中,C A = CB,
N B A 4 = 45° ,平面 A4C .C ± 平面 A A ^ B .
( 1)求证:AA.A.BC ;
(2)若BB] = J , A B = 2,直线BC与 平 面 所 成 角 为45°,。为C C ;的中点, 求二面角
的余弦值.
【 答案】( 1)见 解 析( 2)也
2
【 解析】
( 1)过点。作C O - L A 4 ,垂足为。,
第 7 0 页 共 8 8 页
因为平面AA^C 1平面A A
t
B
t
B ,
所以C O J•平面A 4 4 B,故COJ_QB,
又因为C 4 = C B , C O = CO, N C O A = N C O B = 9 0 ° ,
所以 RtM O C三R t A B O C ,故
因为 N A AB = 45°,所以 A& J .08,
又因为A A _ L C。,所以A A _ L平面8 0 C,故AA- L B C .
( 2)以0为坐标原点,OA , OB , OC所在直线为x,九z轴,建立空间直角坐标系。一到z ,
因为C O _ L平面A A与B ,
所以4 C B 0是直线BC与平面M B , B所成角,
故"8 0 = 45。 ,
所以A8 = & ,A O = 3 O = C O = 1,
A( 1, 0, 0) , B ( O J O ) , C ( 0, 0, l ) , A ( - 1, 0, 0) , 4 ( - 2, 1, 0) ,。( -1, 0, 1) ,
设平面4月。的法向量为而= ( x , , y , z j ,则
n - A D = 0 Z1=0
〈L ,所以《 八,
小 BQ = 0 - y + Z1 = 0
令 玉= 1 ,得万= ( 1, 1, 0) ,
因为O B _ L平面A & G C ,
第7 1页 共8 8页
所 以 诙 为平面4 G 。 的一条法向量,
砺= ( 0,1,0) ,
COS (%
a , O B V2
所以二面角用 一 A O - G 的余弦值为巫
2
40. ( 2020•山东滕州市第一中学高三3 月模拟)如图,四棱锥产一/W C D 中,Q4_ L底面ABC。,A B C D
为直角梯形,AD//BC, A D ± A B ,A B = B C = A P = - A D ^ 3 , 4 。口8 9 = O , 过 。点作平面 a 平
2
行于平面Q 4 6 ,平面a 与棱BC, A D ,P D ,PC 分别相交于点E ,F ,G , H.
⑴ 求 G H 的长度;
( 2) 求二面角B —F H - E 的余弦值.
【 答案】( 1) W ;
【 解析】
( 1)【 法一】(I )因为a / / 平面Q 4 3 ,平面a c 平面ABC£) = £ F ,
OGEF , 平面 P4 3 c 平面 ABC。= A B ,所以 E F / / A B ,同理 E H //B P, _ FG/A4P ,
因为 BC〃 AO,AO = 6,BC = 3,
…
a B C
C O
ADOA, 且 =
A D A O
所以2= ! , C E= LC B = I,B E=A F = 2,
O F 2 3
同 理 史
P C
E H
~PB
CO 1
C4 - 3
2
第 7 2 页 共 88 页
连 接 则 有 “ 0 〃Q4,
1i-2
所以 HOLE。,HO = \ ,所以 EH = — PB = y /2 ,同理,FG = -PA = 2,
3 3
过 点 、H作HN 〃 EF交FG于N ,则G H ^ H M +GM = 4
【 法二】因为c / / 平面F4B, 平面a c 平面ABC£> = EF , OsEF,
平面R W c平面ABCD = AB,
根据面面平行的性质定理,所以E F //A B ,同理E” //BP,EG//AP,
因为 BC / / A。 , AO = 25C,所以 ABOC^DOA , 且 生 = 卬 = , ,
AD OA 2
又因为△C0ESA40F, A尸= 3后,所以3£ = 2£C,
同理 2AF = ED, 2PG = GQ,
EF = AB = 3,EH = LPB = HFG = ZAP = 2
3 3
如图:作 HN//BC,HNcPB = N,GM I/AD,GM cPA = M ,
所以 HN/ /GM,HN = GM ,
故四边形GMNH为矩形,即G” = MN,
在\PMN 中, 所以 MN = 78 + 1-2x272 xms'450 = 5 所以GH =逐.
( 2) 建立如图所示空间直角坐标系3 ( 3,0,0) , 尸( 0,2,0) ,£ ( 3,2,0) ,“ ( 2,2,1) ,
BH = ( -1,2』 ) ,西 = ( 2,0,1) , 设平面 BFH 的法向量为 n =(x, y,z),
n - BH = -x+2y + z = 0
A
一 」 , 令z = — 2 , 得乃二
n- FH = 2x+z = 0
因为平面EFGH / / 平面PAB,所以平面EFGH的法向量初=( 0,1,0)
第 7 3 页 共 8 8 页
/«•«
eosin, n - ~ ~ n—
阿同
3
2 3\/29 3X/29
A 一— = 五 一 ,二面角—E 的余弦值为小〜
.9 . 29 29
1 + - + 4
4
41 . (2020届山东省淄博市部分学校高三3 月检测) 如图, 边长为2 的正方形ABCO所在的平面与半圆弧CO
所在平面垂直,M 是 C。上异于C, 。的点.
( 1 ) 证明:平面AMD_ L平面BM C ;
( 2 ) 当三棱锥M -A B C 体积最大时,求面与面M C D 所成二面角的正弦值.
【 答案】( 1 ) 见解析
⑵ 巫
5
【 解析】
( 1 ) 由题设知, 平面CM。,平面ABCD,交线为CD因为B C L C D , B C u平面A8CD,所 以 平 面 CMD,故
B C1 DM.
因为M 为 函 上 异 于 C,。的点, 且 OC为直径,所 以 。 例_ LCM.
又 BCp| CM=C, 所以。 例_ L平面BMC.
而D M u平面AMD,故平面4知 £ ) _ 1_ 平面BMC.
( 2 ) 以D为坐标原点, 次 的 方 向 为 x 轴正方向, 建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz.
当三棱锥M-A8C体积最大时,历 为 丽 的 中点.
由题设得 0(0,0,0), A(2,0,0), 3(2,2,0), C((), 2,0), M (0,1,1),
第74页 共88页
府= ( - 2,1,1),通= (0,2,0),西= ( 2,0,0)
设〃 = (x,y,z)是平面MAB的法向量, 则
n - AM = 0, (-2x+ y + z -0 ,
n - AB = 0. 2y = 0.
可取 ” = (1,0,2) .
而是平面MCD的法向量, 因此
n - DA >/5
丽 二 丁
sin”,汽=~ ~ ~
所以面MAB与面所成二面角的正弦值是2叵.
5
42. (2020届山东省高考模拟) 已知在四棱锥P —ABCD中,AD//BC, AB = BC = CD = -AD , G是PB
2
的中点,AR4O是等边三角形,平面平面A3CO.
( 1 )求证:C0_L平面GAC;
( 2 )求二面角P - 4 G - C的余弦值.
【 答案】( 1)见 解 析( 2) - 巫
5
【 解析】
( 1 )证明:取AO的中点为 。,连结OP, OC, O B ,设OB交AC于 “,连结G” .
因为 AD//3C, AB=BC = CD = -AD ,
2
四边形ABCO与四边形OBCD均为菱形,
O B ± A C , OB//CD , CD 1 AC,
第75页 共88页
因为为等边三角形,。为 中 点 ,
:.PO±AD,
因 为 平 面 平 面ABC。,且平面RA。。平面=
PO u平面Q4O且尸O _L AD,
,PO_L 平面 ABC。
因为CO u平面ABC。,
:.POA.CD,
因为H, G分别为OB, 总 的 中点,
:.GH//PO,
:.GH A.CD.
又因为G〃n A C = " ,
AC,GH\ 平面 GAC,
\ CD八平面G4C.
( 2)取BC的中点为E ,以。为空间坐标原点,分 别 以 诙 , 前 , 丽 的 方 向 为x轴、y轴、z轴的正方向,
建立如图所示的空间直角坐标系。- 型.
(hi 、
设A D = 4,则P( 0,0,2百 ) ,A( 0,-2,0) , C( V3,l,0) , D( 0,2,0) , G ^ - ,-- ,7 3
I
2
2 )
而= ( ( ) ,2,2百 ) ,而=( 乎q , ®
设平面PAG的一法向量; =( x, y, z) •
第 7 6 页 共 8 8 页
由,
n-AP = Q
n-AG = Q
2 y+ 2任=0
='且 x + l +任=0
、 2 2
= 卜" z . 令 z = i ,则〃 = ( 1,一 6,1) .
X= Z
由 ( 1)可知,平面AG C 的一个法向量丽=( 一百,1,0) ,
二二面角P—A G —C 的平面角的余弦值为一史
5
43. ( 2020届山东省潍坊市高三下学期开学考试)如图,在直三棱柱A B C - 4 4 c l中,M 是 A 3 的中点.
( 1)求证:8G □平面
( 2)若M M C 是正三角形,且 AB = B C 1 ,求直线A 8 与平面M C A 所成角的正弦值.
【 答案】( 1)见解析. ( 2) 叵
5
【 解析】
( 1)连接A G ,设 A G 与 4 c 的交点为N, 则 N 为 A G 的中点,连接M N , 又 M 是 的 中 点 ,所以
MN / /BQ .又MN u平面MCA1,平面加。 4, 所以3G / / 平面加。 4 .
( 2) M 是 的中点,口四0。是正三角形,则 NABC = 60°,N84C = 30°,NACB = 90" ,
设 3C = 1 , 则 AC = C G = J § ,以C q 为x 轴,CB为 y 轴,C 4为 z轴建立空间直角坐标系.
则 B ( 0,l,0) , A ( 0,0,V3) , A ( 6 0 , @,通 = 似 , 一 句 ,西 J。 ,;,平 ],
k 2 2 7 I 2 2 J
页=( 百 ,0,百 ) .
第 7 7 页 共 8 8 页
设万= (x,y,z)是平面M C 4的法向量,则<
: 丝=。, 可取平面MCA的法向量为a = (1 ,6 ,-1 ),则
n - CAj = 0 ' '
। __ । I AB - n| ^/i~5
cos〈3反 砌 = 三段= ? ,所以直线4 ?与平面MCA所成角的正弦值为
网\AB同\n\ 5
点睛:
(1)两条异面直线所成角的求法:设两条异面直线m人的方向向量为a, h ,其 夹 角 为 仇 则cosp=|cosa =
a-b
同同( 其中夕为异面直线a, b所成的角) .
(2)直线和平面所成的角的求法:如图所示,设直线/ 的方向向量为e ,平面a的法向量为〃,直线/ 与平面
n-e
a所成的角为夕,两向量e与" 的夹角为仇则有$ 抽9 = |8 $例= 匚匚[ .
(3)求二面角的大小:①如图①,AB, C。是二面角a—/ 一/ ? 的两个面内与棱/ 垂直的直线,则二面角的大小
①②
②如图②③,
③
分别是二面角a - /一 £ 的两个半平面a , 4的法向量,则二面角的大小8 =〈 〃i, “2〉( 或
第 7 8 页 共 8 8 页
It—〈 " I, 712)).
44. (2020届山东省济宁市高三3 月月考) 如图,在三陵锥P—A 3 C 中,为等腰直角三角形,
P A = P C , A C = 2, AABC为正三角形,。为 A C 的中点.
( 1) 证明:平面P / 汨 _ L平面P A C ;
( 2 ) 若二面角P—A C -8 的平面角为锐角,且棱锥P—A 3 C 的 体 积 为 立 ,求直线Q 4与平面PCB所成
6
角的正弦值.
【 答案】( 1 ) 证明见解析;(2) 叵.
7
【 解析】
(1)
证明:V P A = P C ,。为 A C 中点,• • • AC,P £),
又AABC为等边三角形,B A = B C , : . A C L B D ,
8。fl P 。=。 ,; • AC _ L 平面 P0 8 ,
AC u 平面PA C , . . . 平面P4C _ L平面P / 汨 ;
( 2 ) 由 (1 )知点P在平面A B C 内的射影。在直线5 。上, 又二面角尸一4 C - B 的平面角为锐角,,。在
第 7 9 页 共 8 8 页
射线D5上 ,S w c = § x 4 = 5 MS " D P o ¥ ,•. •尸 ° =;
4J。 /
又 P D = 1 ,: . O D = 立,即。为8 0中点,取A 8中点E ,连接O E ,则OE//A。 ,
2
・ ・.O E ±平面P O B ,・ ・.OE, OB, O P两两互相垂直,
以0为坐标原点,所在直线分别为X轴,y轴,Z轴建立空间直角坐标系,
设平面P C B的法向量为n = (x, y, z)
1
2
由 <
万・丽=0
n - B C = 0
[73 1
—— y—— z =0
2 2
-X-yJ3y = 0
令y = 1 ,得平面P C B的一个法向量为n = (-73,1,^),
又 小 卜4
, 设W与平面PCB所成角为a ,
则 sin a
第8 0页 共8 8页
直线P A与平面P CS所成角的正弦值为恒.
7
4 5 . ( 2 02 0届山东省潍坊市高三模拟一) 已知在四棱锥。一 ABC。中,底面ABCO是边长为4的正方形,
△Q4D是正三角形,C Q J _平面以。,E/G。分别是P CP DBCAQ的中点.
( I )求证:尸O J _平面ABCO ;
( I I )求平面E F G与平面ABCO所成锐二面角的大小;
( I I I )线段2上是否存在点M ,使得直线GM与平面EEG所成角为四,若存在,求线段PM的长度;
6
若不存在,说明理由.
【 答案】(I )证 明 见 解 析( I I ) - ( I I I )不存在,见解析
3
【 解析】
(I )证明:因为△ P AD是正三角形,
。是AD的中点,
所 以P O 1A D .
又因为CD_ L平面PA D,POu平面尸A D,
所以尸O _ L C D .
A D Q C D ^ D , AD, C£)u平面ABC。,
所以「 。,面4BCD.
( I I )如图,以O点为原点分别以Q4、O G、OP所在直线为x轴、V轴、z轴建立空间直角坐标系.
第8 1页 共8 8页
则 0(0,0,0), A(2,0,0), BQ , 4,0),C (-2,4,0), D (- 2, 0, 0), G(0,4,0), P (0,0,2百 ) ,
E (-l,2,拘, 尸(-1,0,® EF = (0, - 2, 0), EG = (l,2,- ®
设平面E F G的法向量为m = (x, y, z)
所以《
EF •玩=0
4 2 y = 0,
E G m = Q
即 彳x +
2y-V 3z = 0,
令 z = l ,则 m = (y/ 3, 0A ) >
又平面ABC。的法向量« = (0,0,1),
设平面E FG 与平面ABC。所成锐二面角为6,
m- n । ।
所以 cos6 = = ij = = / = 5 .
啪帆+1 x l 2
所以平面EFG与平面ABC。所成锐二面角为- .
3
( II I) 假设线段Q 4上存在点M ,
T T
使得直线G M与平面EFG所成角为g ,
6
即直线G M 与平面EFG法向量而所成的角为:,
UUU UL1 八 「八
UULI LlLUl U U U m il u u
GM = GP + PM = GP+九PA, ,
所 以 ㈱ = (2 4 -4 ,2 6 ( 1 一勾)
所以 cosX = bos/G M ,加) | =— . =
3 । 、 八 2"/ 一64 + 7
整理得2丸 2—32+ 2 = 0,
Z K 0 , 方程无解,
所以,不存在这样的点
46. (2020届山东省潍坊市高三模拟二) 如图,在四棱锥P -A8C。中,
A D = 2瓜 A B = 3, A P = ® A DUB C , AD J_ 平面 MB, ZAP B = 90°,点 E 满 足 屉 =§ 丽 + §丽.
第8 2页 共8 8页
D
(1 )证明:PE工DC ;
(2 )求 二 面 角 小 的 余 弦 值 .
【 答案】( 1 )证明见解析 ( 2 )名 叵
13
【 解析】
(1 )证明:在RtA/VLB中,
由勾股定理,得
PB = yjAB2-A P
2 =出 一 ( 舟
= 76 .
一 2 —► 1 —►
因为= + 民 荏 = 而 —百 ,
所 以 而 . 丽= ( g中+ g而 )( 方 一所)
= _ l p ^
+LpB
2
+
l-PAPB
3 3 3
= - -X( V3)
2+ -
X( V6)
2+ -
XO
3 3 3
=0.
所 以 而_L通,所以F>E_LAB-
因 为 平 面 南B, P E u平面以8,
所以 P£_LA。.
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又因为 PE _ L AB, A B oA D ^A,
所以P £ _ L 平面A B C D
又因为DC u平面ABCD,
所以PE LOC
—2— 1 一
( 2 )由 P E = § P A + §P 8 , 得 丽 = 2女 .
所以点E走靠近点A 的线段AB的三等分点.
所以A E = 』A B = 1 .
3
分 别 以 而 , 而 所 在 方 向 为 y 轴,z 轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系A - 盯 z .
则 A ( 0 , 0 , 0 ) , 0( 0 , 0 , 2 百 ) , £( 0 , 1 , 0 ) , P ( 7 2 , 1 , 0 ) .
设平面PDE的法向量为五= ( % , % , Z 1 ) ,
fm - EP = 0 拒 玉 = 0
由《 — ,得〈 1 — •
in-ED = 0 [ 一 % + 264= 0
令 4= 1,则而= ( 0 , - 2 石 , 1 ) ;
设平面A PO的法向量为3 = ( 9,%, Z 2 ) , 而= ( 夜 , 1 , 0 ) , 而= ( 0 , 0 , 2 百 ) ,
\n-AP = Q /1&々 + > 2 = 。
由〈 - - - ,得 ) r — ,
n-AD = 0 [2y/3z2=0
令々 = 1,贝 =
设向量正与[的夹角为。,
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则 cos 0 -
m-n
| 肩|・| 2|
-276
J(2扬 2+ 12>心+(_扬2
2726
13
所以二面角A -PD —E 的余弦值为 名 生
13
47. (2020届山东济宁市兖州区高三网络模拟考) 已知平行四边形ABQD中, A 5 = l , AD = 2, ABL BD ,
E 是线段A O的中点,沿 8 。将 ABC。翻折到ABC'。,使得平面B C D 平面BCD.
( 1 ) 求证:C'O_ L平面BCD;
( 2 ) 求二面角E —8C '—。的余弦值.
【 答案】( 1 ) 见解析;(2) 叵
7
【 解析】
( 1 ) 由题意可知CD = B4 = C 'O = 1, BC' = 3C = AT> = 2, ABL BD ,
即 5 c 故 C 'D L BD .
因为平面BC'O_ L平面他。,平面B C ,o n 平面= C D u 平面B C 'O,
所以C '。,平面BCD.
( 2 ) 由 ( 1 ) 知 C'O_ L平面板 ) ,且 C£>J_ 8。,
以。为原点,D B,C D , Q C 所在直线分别为% , 九z轴
建立如图所示的空间直角坐标系。一孙z ,
则 0 (0 ,0 ,0 ), A (A 1 ,O), f i(V 3,0,0), C '(0,0,l).
f J3 1 1
由于E 是线段A£>的中点,所以七 ^ , - , 0在平面B E C 中,
( 2 2 J
BE= 一 冬 工 , 0 , = (-73,0,1).
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设平面B E C的法向量为n = ( x, y, z)
BE-
BC'n = Q
— y/Sx + z = 0
令x = l ,得y = z = 5/3,
所以平面BEC'的一个法向量为n = ( 1,73,73) ,
而平面比 ) 。 的一个法向量为反= ( 0, - 1,0) .
故s ,伍反卜谪
易知二面角E - B C '- O的平面角为锐角,
故二面角£ - B C '-。 的余弦值为 叵 .
7
48. ( 2020.山东高三下学期开学)如图,在四棱锥S-中,是边长为4的正方形,SZ5_ L平面
ABCD, E, E分别为A B S C的中点.
( 1)证明:E F〃平面池 .
( 2)若SD = 8 ,求二面角。一E F - S的正弦值.
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【 答案】( 1 ) 证明见解析(2) 述
3
【 解析】
( 1 ) 证明:记 SO的中点为G, 连接G F, GA .
因为E , 歹分别为AB, SC的中点,
则 GF〃C£>,且 GF = ,C。.
2
因为 AE / / C D ,且
2
所以G f7 /A E ,且 GF = AE,
所以四边形GFE4为平行四边形,
则 " 〃 AG.
又平面S4T), A G u 平面S4D,
所以EF7/平面S4D.
( 2 ) 以。为原点,分别以D 4 ,D C , OS为x 轴、丁轴、z 轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标
系。一孙z ,
则 S((),0,8), 0(0,0,0), £(4,2,0), 以 0,2,4),
DE = (4, 2, 0), DF = (0, 2,4), EF = (-4 ,0,4), ES = (-4 ,-2 ,8)
设平面£ > 七 户 的法向量初= ( % , y , z j ,
则《
DE •比= 4再 + 2y} = 0
D F - m - 2yl + 4z1 =0
令尤1= 2 , 则沅= (2 ,—4,2).
设平面跖 尸 的法向量为万=( 马 ,%,Z2),
则《
EF - n - -4X2 + 4Z2 = 0
ES n = 一 4% 2 - 2y2 + 8z2 = 0
令元2 = 2 , 则为= (2 4 2 ).
_ _ m- n
cosm, n - -- r--
I时 词3
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设二面角 O—EF —S 为 。,S in d =-3
即二面角。一 " 一5的正弦值为 迪 .
3
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