2021年全国中考数学真题分项汇编-专题33几何综合压轴问题（解答题）（解析版）

2021年中考数学真题分项汇编【全国通用】（第01期）专题33几何综合压轴问题（解答题）一、解答题1.（湖南省郴州市2021年中考数学试卷）如 图1,在等腰直角三角形A B C中，ABAC=90.点E,F分别为A B,4 c的中点，”为线段 尸上一动点（不与点E,F重合），将线段A 绕点A逆时针方向旋转90。得到A G,连接G C,H B.（1）证明：（2）如图2,连接G F,H C,A77交A E于点Q.证明：在点”的运动过程中，总有“EG=9 0；若AB=AC=4,当E”的长度为多少时，AAQG为等腰三角形？【答案】（1）见详解：（2）见详解；当E H的长度为2或血 时，AAQG为等腰三角形【分析】（1）由旋转的性质得AH=AG,Z H A G=9O,从而得/8 A H=N C A G,进而即可得到结论；（2）由AAZ/B丝AA G C,得4H=A G,再证明会AA F G,进而即可得到结论；AAQG为等腰三角形，分 3 种情况：（。）当NQAG=NQGA=45。时，（匕）当/GAQ=NGQA=67.5。时，（c）当NAQG=/AGQ=45。时，分别画出图形求解，即可.【详解】解：（1）.线段A H绕点A逆时针方向旋转90得到A G,：.AH=AG,ZHAG=90,在等腰直角三角形A B C中，ABAC=90,A B=A C,：.Z BAW=90-ZCAH=ZCAG,/.A H B A G C；(2)在等腰直角三角形A B C中，4B=4C,点E，E分别为A 8,A C的中点,：,AE=AF,是等腰直角三角形，：AH=AG,ZBAH=ZCAG,:AAEH A F G,二 ZAEH=ZAFG=45,：.ZHFG=ZAFG+ZAFE=45+45o=90,即：ZHFG=90；AB=AC=4,点E，/分别为A B，A C的中点，：.AEAF=2,V ZAGH=45,AA Q G为等腰三角形，分3种情况：(4)当NQAG=NQGA=45时，如图，贝lj/4尸=90。-45。=45。，二4,平分/E 4 F,二点，是M的中点，EH=-y/AE2+AF2=-x/22+22=&.22 当N G A g/G Q A=(180-45)+2=67.5。时，如图，则GA0=67.5。,:.ZEHA=180o-45-67.5o=67.5,，NEHA=NEAH,：.EH=EA=2；AGEBHC（c）当NAQG=NAGQ=45。时，点 H 与点尸重合，不符合题意，舍去,综上所述：当 访 的 长度为2 或&时，AAQG为等腰三角形.G【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定定理，根据题意画出图形，进行分类讨论，是解题的关键.2.（2021湖北中考真题）问题提出如图（1）,在AABC和AOEC中，Z A C B =ZDCE=90 ,BC=A C,EC=DC,点 E 在AA B C内部，直线AQ 与 3 E 交于点F，线段A F,BF,C F 之间存在怎样的数量关系？问 题 探 究（D先将问题特殊化.如图（2）,当点。，F 重合时，直接写出一个等式，表示A F,B F,C F 之间的数量关系；（2）再探究一般情形.如图（1）,当点D,尸不重合时，证 明（1）中的结论仍然成立.问题拓展 如 图（3）,在 ABC1和 ）（7 中，Z A C B =ZDCE=90 ,BC=kA C,E C =k D C Qk 是常数），点 E在AA6 c 内部，直线A D 与 3 E 交于点尸，直接写出一个等式，表示线段A F,BF,C/之间的数量关系.【答案】（1）B F-A F =C C F .（2）见解析；问题拓展：B F-k-A F =yl+k2CF-【分析】（1）先证明 BCE丝AC。,得至U BF-BE=BF-AF=EF=6CF；（2）过点C 作 C G _ L b 交 比 于 点 G,证明二4 8 三BCE,A C F A B C G,CG R是等腰直角三角形即可：利用前面的方法变全等为相似证明即可.【详解】问 题 探 究（1）BF A F n J E C F.理由如下：如 图（2）,ZBCA=ZECF=90,：.NBCE=NACF,：8C=AC,EC=CF,BCE/XACF,：.BE=AF,：.BF-BE=BF-AF=EF=垃CF:（2）证明：过点C 作 CGJ_C户 交 BE于点G,则 NFCG=NAC8=90,/.ZBCG=ZACF.ZACB=NDCE=90，；ZBCE=ZACD.又，：AC=BC,DC=EC,：./ACD/BCE,，乙CAF=NCBG.AAC F A B C G.A AFBG,CF=CG，/.ACGF是等腰直角三角形.GF=41CF-BF AF=BF BG=GF=6CF问题拓展 B F-k AF=l+k2CF-理由如下:ABCA=ZECD=9Q,：.NBCE=NACD,:BC=kAC,EC=kCD,：./BCE/ACD,：./EBC=NFAC,过点 C 作 CM LCF 交 BE 于点、M,则 NFCM=ZACB=9 0,r.CM =Z ACF.：.BM:AF=BC:AC=MC:CF=k,：.BM=kAF,MC=kCF,：.BF-BM=MF,MF=M C2+C F2=Jk2CF2+C F2=y/l+k2 CF:.BF-kAF=g CF.【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理，熟练掌握三角形全等的判定，三角形相似的判定，勾股定理是解题的关键.3.（20 21浙江中考真题）（证明体验）（1）如 图1,4）为AABC的角平分线，N A D C =6 0。，点E在4 3上，A =A C.求证：D E平分N A D B.（思考探究）（2）如图2,在（1）的条件下，尸为A B上一点，连 结 也 交AD于点G.若E B =F C,DG=2,8 =3,求3。的长.（拓展延伸）（3）如图3,在四边形A 8 C Q中，对角线A C平分Z B M ,N 3 C 4 =2 N O C 4,点E在AC上,Z EDC=Z AB C.若 6 c =5,。=2后,4。=2 4 6，求 A C 的长.9 1 6【答案】（1）见解析；（2）；（3）2 3【分析】（1）根据SA S证明E 4 0白C 4。，进而即可得到结论;（2）先证明E B AG C D,得 吧=匹,进而即可求解;CD DG（3）在AB上取一点F,使得AF=AD，连结CF,可得 AFC丝AA D C,从而得DCEBCF,可得 =上,NCED=NBFC,CE=4,最后证明E 4 2AD 4 C,即可求解.BC CF【详解】解：（1）：AO 平分 N&4C,/.ZEADZCAD,：AEAC,AD=AD.：.EADCAD（SAS）,：.ZA D E ZAD C O f,；NEDB=180。ZADE-ZADC=60。,：/BD E=/A D E，即。E 平分 N A D B；（2）,:FB=FC,：.ZEBD=ZGCD,ZBDE=ZGDC=60,:,AEBDS.GCD,.BD DECDDGEADACAD，:.DE=DC=3.,/DG=2,9二 BD=；2（3）如图，在A8上取一点F，使得A尸=A）,连结CF.；AC 平分 44Z），r.ZFAC=ZDAC,:AC=AC,：.AFCADC(SAS),：.CF=CD,ZACF=ZACD,ZAFC=ZADC.ZACF+NBCF=ZACB=2ZACD，ZDCE=ZBCF.,/ZEDC=ZFBC,:.ADCESBCF,ZCE=ZBFC.BC CF*BC=5,CF=CD=2后，/CE=4.V ZAED=180-NCED=180 ABFC=ZAFC=ZADC,又,:ZEADZDAC,EADDAC.EA ADD A C 2 AC=4AE.4AC=-C E=316T【点 睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，添加辅助线，构造全等三角形和相似三 角 形，是解题的关键.4.（2021浙江中考真题）如 图1,四 边 形ABC。内 接于。，8。为直径，A。上 存 在 点E,满 足A=C，连 结 皿 并 延 长 交C D的延长线于点尸，鹿 与AO交 于 点G.图I图2(1)若Z D B C =a,请用含。的代数式表列NAGB.(2)如图 2,连结C E,C E=3G.求证；E F =D G.(3)如图3,在(2)的条件下，连结CG,4)=2.若tan/AOB=4 3,求A/GO的周长.2求CG的最小值.【答案】(1)Z AGB =9 0-a-.(2)见解析；(3)3 t立；石2【分析】(1)利用圆周角定理求得/84。=90。，再根据AE=CD，求得N AB G=N DB C=a,即可得到答案；(2)由 ZBEC=N8DC=90 a,得到 4 E C =NAGB，从而推出 NCER=N3GO,证得 CEE也 3G(AS4),由此得到结论：(3)连 结 利 用 已 知 求 出45=4。=百，证得D4=CE，得到8G=A=2,利用汝AABG2中，根据正弦求出NAGB=60,4G=BG=1,求出E尸的长，再利用用0EG中，Z EGD=60.2求出EG及DE,再利用勾股定理求出DF即可得到答案；过点C作C”,所 于，证明 84。名(?”/(44S),得到7=4%证明57/CS AS 7 7,得到箸=黑，设6 =，得到C 2=2(2 x),利用勾股定理得到CG2=G2+C”2 ,求得CG2X2+2(2 一x)=(X+3，利用函数的最值解答即可.【详解】解：8 0为 的 直 径，:.NBAD=90。,AE=CD：-ZABG=4DBC=a,/.ZAGB=90 a.(2)：B。为OO的直径，/.NBCD=90。,；NBEC=NBDC=90。-a，/.NBEC=ZAGB,：NCEF=180-NBEC,ZBGD=180-ZAGB././CEF=/BG D.又 CE=BG/ECF=ZGBD,CFEBDG(ASA),EF=DG.(3)如 图,连结。E.,/BD为O。的宜径，ZA=/BED=90./Q在 RtAABD 中，tanZADB=,AD=2,2 AB=BAD=62 AE=CO，AE+DE=CD+DE，即。A=CE，AD=CE.,:CE=BG，BG=AD=2.在 RhABG 中，sin ZAGB=BG 2ZAGB1-2：.EF=DG=AD-AG=l.;在 Rf/XDEG 中,NEGD=60,:，EG=-D G =-,D E =DG=.2 2 2 2在 RtVFED 中,DF=A/EF2+DE2=，FG+DG+DF=5，2二AF G D 的周长为正.2如图，过点C作CHL8F于凡,/ABDG 4 FE,/.BD=CF,ZCFH=ABDA.ABAD=ZCHF=90,：.BADCHF(AAS).:FH=AD、AD=BG,：.FH=BG.,：NBCF=90,，/BCH+ZHCF=90.:/BCH+NHBC=90。,：.ZHCF=/H B C,NBHC=NCHF=90,：.&BHCS&CHF.BH CH设 GH=x,：.BH=2-x,，C”2=2(2-%).在 RMGHC 中,CG2 =GH?+CH2，：.CG2=X2+2(2-X)=(X-1)2+3,当x=l 时，CG2的最小值为3,CG 的最小值为6.【点睛】此题考查圆周角的定理，弧、弦和圆心角定理，全等三角形的判定及性质，勾股定理，三角函数，相似三角形的判定，函数的最值问题，是一道综合的几何题型，综合掌握各知识点是解题的关键.5.(2021浙江中考真题)在扇形A 0 8 中，半径。4=6,点 P 在。4 上，连结尸3,将AOBF沿尸5 折叠得到AOBP.图1 图2(1)如 图L若NO =75,且8。与AB所在的圆相切于点艮求N A P O 的度数.求A P的长.如 图2,3。与A B相 交 于 点 若 点。为AB的中点，且PD/I OB,求 相 的 长.【答案】(1)6 0。；6-2&；(2)M【分析】