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2021年中考数学真题分项汇编【全国通用】(第01期)专题33几何综合压轴问题(解答题)一、解答题1.(湖南省郴州市2021年中考数学试卷)如 图1,在等腰直角三角形A B C中,ABAC=90.点E,F分别为A B,4 c的中点,”为线段 尸上一动点(不与点E,F重合),将线段A 绕点A逆时针方向旋转90。得到A G,连接G C,H B.(1)证明:(2)如图2,连接G F,H C,A77交A E于点Q.证明:在点”的运动过程中,总有“EG=9 0;若AB=AC=4,当E”的长度为多少时,AAQG为等腰三角形?【答案】(1)见详解:(2)见详解;当E H的长度为2或血 时,AAQG为等腰三角形【分析】(1)由旋转的性质得AH=AG,Z H A G=9O,从而得/8 A H=N C A G,进而即可得到结论;(2)由AAZ/B丝AA G C,得4H=A G,再证明会AA F G,进而即可得到结论;AAQG为等腰三角形,分 3 种情况:(。)当NQAG=NQGA=45。时,(匕)当/GAQ=NGQA=67.5。时,(c)当NAQG=/AGQ=45。时,分别画出图形求解,即可.【详解】解:(1).线段A H绕点A逆时针方向旋转90得到A G,:.AH=AG,ZHAG=90,在等腰直角三角形A B C中,ABAC=90,A B=A C,:.Z BAW=90-ZCAH=ZCAG,/.A H B A G C;(2)在等腰直角三角形A B C中,4B=4C,点E,E分别为A 8,A C的中点,:,AE=AF,是等腰直角三角形,:AH=AG,ZBAH=ZCAG,:AAEH A F G,二 ZAEH=ZAFG=45,:.ZHFG=ZAFG+ZAFE=45+45o=90,即:ZHFG=90;AB=AC=4,点E,/分别为A B,A C的中点,:.AEAF=2,V ZAGH=45,AA Q G为等腰三角形,分3种情况:(4)当NQAG=NQGA=45时,如图,贝lj/4尸=90。-45。=45。,二4,平分/E 4 F,二点,是M的中点,EH=-y/AE2+AF2=-x/22+22=&.22 当N G A g/G Q A=(180-45)+2=67.5。时,如图,则GA0=67.5。,:.ZEHA=180o-45-67.5o=67.5,,NEHA=NEAH,:.EH=EA=2;AGEBHC(c)当NAQG=NAGQ=45。时,点 H 与点尸重合,不符合题意,舍去,综上所述:当 访 的 长度为2 或&时,AAQG为等腰三角形.G【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质,旋转的性质,全等三角形的判定和性质,勾股定理,熟练掌握全等三角形的判定定理,根据题意画出图形,进行分类讨论,是解题的关键.2.(2021湖北中考真题)问题提出如图(1),在AABC和AOEC中,Z A C B =ZDCE=90 ,BC=A C,EC=DC,点 E 在AA B C内部,直线AQ 与 3 E 交于点F,线段A F,BF,C F 之间存在怎样的数量关系?问 题 探 究(D先将问题特殊化.如图(2),当点。,F 重合时,直接写出一个等式,表示A F,B F,C F 之间的数量关系;(2)再探究一般情形.如图(1),当点D,尸不重合时,证 明(1)中的结论仍然成立.问题拓展 如 图(3),在 ABC1和 )(7 中,Z A C B =ZDCE=90 ,BC=kA C,E C =k D C Qk 是常数),点 E在AA6 c 内部,直线A D 与 3 E 交于点尸,直接写出一个等式,表示线段A F,BF,C/之间的数量关系.【答案】(1)B F-A F =C C F .(2)见解析;问题拓展:B F-k-A F =yl+k2CF-【分析】(1)先证明 BCE丝AC。,得至U BF-BE=BF-AF=EF=6CF;(2)过点C 作 C G _ L b 交 比 于 点 G,证明二4 8 三BCE,A C F A B C G,CG R是等腰直角三角形即可:利用前面的方法变全等为相似证明即可.【详解】问 题 探 究(1)BF A F n J E C F.理由如下:如 图(2),ZBCA=ZECF=90,:.NBCE=NACF,:8C=AC,EC=CF,BCE/XACF,:.BE=AF,:.BF-BE=BF-AF=EF=垃CF:(2)证明:过点C 作 CGJ_C户 交 BE于点G,则 NFCG=NAC8=90,/.ZBCG=ZACF.ZACB=NDCE=90,;ZBCE=ZACD.又,:AC=BC,DC=EC,:./ACD/BCE,,乙CAF=NCBG.AAC F A B C G.A AFBG,CF=CG,/.ACGF是等腰直角三角形.GF=41CF-BF AF=BF BG=GF=6CF问题拓展 B F-k AF=l+k2CF-理由如下:ABCA=ZECD=9Q,:.NBCE=NACD,:BC=kAC,EC=kCD,:./BCE/ACD,:./EBC=NFAC,过点 C 作 CM LCF 交 BE 于点、M,则 NFCM=ZACB=9 0,r.CM =Z ACF.:.BM:AF=BC:AC=MC:CF=k,:.BM=kAF,MC=kCF,:.BF-BM=MF,MF=M C2+C F2=Jk2CF2+C F2=y/l+k2 CF:.BF-kAF=g CF.【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质,三角形全等的判定和性质,三角形相似的判定和性质,勾股定理,熟练掌握三角形全等的判定,三角形相似的判定,勾股定理是解题的关键.3.(20 21浙江中考真题)(证明体验)(1)如 图1,4)为AABC的角平分线,N A D C =6 0。,点E在4 3上,A =A C.求证:D E平分N A D B.(思考探究)(2)如图2,在(1)的条件下,尸为A B上一点,连 结 也 交AD于点G.若E B =F C,DG=2,8 =3,求3。的长.(拓展延伸)(3)如图3,在四边形A 8 C Q中,对角线A C平分Z B M ,N 3 C 4 =2 N O C 4,点E在AC上,Z EDC=Z AB C.若 6 c =5,。=2后,4。=2 4 6,求 A C 的长.9 1 6【答案】(1)见解析;(2);(3)2 3【分析】(1)根据SA S证明E 4 0白C 4。,进而即可得到结论;(2)先证明E B AG C D,得 吧=匹,进而即可求解;CD DG(3)在AB上取一点F,使得AF=AD,连结CF,可得 AFC丝AA D C,从而得DCEBCF,可得 =上,NCED=NBFC,CE=4,最后证明E 4 2AD 4 C,即可求解.BC CF【详解】解:(1):AO 平分 N&4C,/.ZEADZCAD,:AEAC,AD=AD.:.EADCAD(SAS),:.ZA D E ZAD C O f,;NEDB=180。ZADE-ZADC=60。,:/BD E=/A D E,即。E 平分 N A D B;(2),:FB=FC,:.ZEBD=ZGCD,ZBDE=ZGDC=60,:,AEBDS.GCD,.BD DECDDGEADACAD,:.DE=DC=3.,/DG=2,9二 BD=;2(3)如图,在A8上取一点F,使得A尸=A),连结CF.;AC 平分 44Z),r.ZFAC=ZDAC,:AC=AC,:.AFCADC(SAS),:.CF=CD,ZACF=ZACD,ZAFC=ZADC.ZACF+NBCF=ZACB=2ZACD,ZDCE=ZBCF.,/ZEDC=ZFBC,:.ADCESBCF,ZCE=ZBFC.BC CF*BC=5,CF=CD=2后,/CE=4.V ZAED=180-NCED=180 ABFC=ZAFC=ZADC,又,:ZEADZDAC,EADDAC.EA ADD A C 2 AC=4AE.4AC=-C E=316T【点 睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质,相似三角形的判定和性质,添加辅助线,构造全等三角形和相似三 角 形,是解题的关键.4.(2021浙江中考真题)如 图1,四 边 形ABC。内 接于。,8。为直径,A。上 存 在 点E,满 足A=C,连 结 皿 并 延 长 交C D的延长线于点尸,鹿 与AO交 于 点G.图I图2(1)若Z D B C =a,请用含。的代数式表列NAGB.(2)如图 2,连结C E,C E=3G.求证;E F =D G.(3)如图3,在(2)的条件下,连结CG,4)=2.若tan/AOB=4 3,求A/GO的周长.2求CG的最小值.【答案】(1)Z AGB =9 0-a-.(2)见解析;(3)3 t立;石2【分析】(1)利用圆周角定理求得/84。=90。,再根据AE=CD,求得N AB G=N DB C=a,即可得到答案;(2)由 ZBEC=N8DC=90 a,得到 4 E C =NAGB,从而推出 NCER=N3GO,证得 CEE也 3G(AS4),由此得到结论:(3)连 结 利 用 已 知 求 出45=4。=百,证得D4=CE,得到8G=A=2,利用汝AABG2中,根据正弦求出NAGB=60,4G=BG=1,求出E尸的长,再利用用0EG中,Z EGD=60.2求出EG及DE,再利用勾股定理求出DF即可得到答案;过点C作C”,所 于,证明 84。名(?”/(44S),得到7=4%证明57/CS AS 7 7,得到箸=黑,设6 =,得到C 2=2(2 x),利用勾股定理得到CG2=G2+C”2 ,求得CG2X2+2(2 一x)=(X+3,利用函数的最值解答即可.【详解】解:8 0为 的 直 径,:.NBAD=90。,AE=CD:-ZABG=4DBC=a,/.ZAGB=90 a.(2):B。为OO的直径,/.NBCD=90。,;NBEC=NBDC=90。-a,/.NBEC=ZAGB,:NCEF=180-NBEC,ZBGD=180-ZAGB././CEF=/BG D.又 CE=BG/ECF=ZGBD,CFEBDG(ASA),EF=DG.(3)如 图,连结。E.,/BD为O。的宜径,ZA=/BED=90./Q在 RtAABD 中,tanZADB=,AD=2,2 AB=BAD=62 AE=CO,AE+DE=CD+DE,即。A=CE,AD=CE.,:CE=BG,BG=AD=2.在 RhABG 中,sin ZAGB=BG 2ZAGB1-2:.EF=DG=AD-AG=l.;在 Rf/XDEG 中,NEGD=60,:,EG=-D G =-,D E =DG=.2 2 2 2在 RtVFED 中,DF=A/EF2+DE2=,FG+DG+DF=5,2二AF G D 的周长为正.2如图,过点C作CHL8F于凡,/ABDG 4 FE,/.BD=CF,ZCFH=ABDA.ABAD=ZCHF=90,:.BADCHF(AAS).:FH=AD、AD=BG,:.FH=BG.,:NBCF=90,,/BCH+ZHCF=90.:/BCH+NHBC=90。,:.ZHCF=/H B C,NBHC=NCHF=90,:.&BHCS&CHF.BH CH设 GH=x,:.BH=2-x,,C”2=2(2-%).在 RMGHC 中,CG2 =GH?+CH2,:.CG2=X2+2(2-X)=(X-1)2+3,当x=l 时,CG2的最小值为3,CG 的最小值为6.【点睛】此题考查圆周角的定理,弧、弦和圆心角定理,全等三角形的判定及性质,勾股定理,三角函数,相似三角形的判定,函数的最值问题,是一道综合的几何题型,综合掌握各知识点是解题的关键.5.(2021浙江中考真题)在扇形A 0 8 中,半径。4=6,点 P 在。4 上,连结尸3,将AOBF沿尸5 折叠得到AOBP.图1 图2(1)如 图L若NO =75,且8。与AB所在的圆相切于点艮求N A P O 的度数.求A P的长.如 图2,3。与A B相 交 于 点 若 点。为AB的中点,且PD/I OB,求 相 的 长.【答案】(1)6 0。;6-2&;(2)M【分析】
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