2015-2021七年高中数学联赛真题分类汇编专题基本初等函数（学生版+解析版）（共7讲）

2015-2021七年高中数学联赛真题分类汇编专题05基本初等函数第一讲1.【2021年江西预赛】方 程 工+工=焉 的正整数解的组数为x y 2021-2.【2021年江西预赛】设对每个实数x,f(x)的值皆取M,6-X,2X+1 5 中的最小值，则/(X)的最大值是一3.【2021年江西预赛】函数/(x)=点焉的值域是.4.2021年吉林预赛】已知函数/(x)=x3-ax2+(a2-2)x+1.若存在nt 0，使得/(m)0，则实数a的最大值为.5.【2021年福建预赛】已知/(%)=2+妥，若f (a-2)/(2 a+1)成立，贝 布 的取值范围为6.【2021年福建预赛】已知/(x)和g(x)是两个二次项系数均为1 的二次函数.若g(6)=3 5，窗=怒=，则/=.7.2021 年重庆预赛】设正实数 a,b,c 满足abc=1 0 ，且Iga lg(bc)+Igb-lg(ca)4-Ige-lg(ab)=4 0，则y/lg2a 4-lg2b 4-lg2c=.8.【2021年重庆预赛】已知函数f(%)为R 上的奇函数，当 N O 时/(%)=产，则不等式/(/(%)+一1)1,满足(a 2 b)惋/=a (加/(巴则l o g&b)的值为一1 6 .【2 0 2 0 高中数学联赛A卷(第 0 1 试)】设a 0,函数x)=x+在区间(0,a 上的最小值为巾1，在区间 a,+8)上的最小值为机2.若小1 巾2 =2 0 2 0 厕 a 的值为.1 7 .【2 0 2 0 高中数学联赛A卷(第 0 1 试)】设a,b 0,满足:关于x 的 方 程 加 +麻而=8恰有三个不同的实数解与,%2，%3,且X x2 x3=b,则a +b 的值为.1 8 .【2 0 2 0 高中数学联赛B卷(第 0 1 试)】若实数x 满足l o g 2 X =l o g 4(2 x)+l o g 8(4 x)l x=1 9.2 0 2 0 高中数学联赛B卷(第 0 1 试)】已知首项系数为1 的五次多项式/(x)满足：/(n)=8 n,n =1,2，5则/(x)的一次项系数为.2 0 .(2 0 2 0 年福建预赛】已知函数/(%)是定义在R 上的偶函数,且对任意实数x，均有f(x+l)=/(1-乃成立，当1%2时,/(x)=I n x.若关于x 的方程/(尤)+a x-1 =0在x e 3,5 上有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是.2 1 .【2 0 2 0 年福建预赛】设正整数n 为合数,/(n)为n 的最小的三个正约数之和,g(n)为n 的最大的两个正约数之和.若g(n)=/3(n)J i Jn的所有可能值为.2 2 .【2 0 2 0 年甘肃预赛】已知a =e-2,b =a a,c =a i.则a,b,c 的 大小关系为.2 3 .【2 0 2 0 年甘肃预赛】若关于x 的 方 程 旦=k/有四个不同的实数解，则实数k的取值范围是一2 4.【2020年广西预赛】设关于x 的方程b/+因+白 2 9=0 有唯一实数解x=a.则a+b 的值为.25.【2020年四川预赛】设函数/(乃=72x2+2x+41-1 2/+4x+4(x e R).则f(x)的最大值为26.【2020年浙江预赛】设r 为方程/一无+3=0 的解，则以为解、1 为首项系数的整系数一元三次方程为.27.【2020年浙江预赛】已知/(a)=min x2-2x-1.则/(a)在 区 间 上 的 最 大 值 为xa,a+l28.【2020年重庆预赛】若二次实系数方程a/+版+c=0 有两个虚根卬K2，且 后 6 R，则黄=29.2020 年重庆预赛】若实数 x、y 满足2+4x+12=log2(y-l)3+3y+12=0，则x+y=30.【2019年全国】已知正实数a 满足a。=(9 a)8 a,则loga(3a)的值为.31.2019年江苏预赛】设/(x)是定义在Z上的函数，且对于任意的整数n,满足/(n +4)-/(n)6(n+5),/(-I)=-5 0 4,则喀叟的值是.32.2019年江苏预赛】函数/(%)=/+一 3的值域是:.33.(2019年内蒙古预赛】若 函 数 产/满 足=/(0)=lj(2 x)-/(x)=则尸.x-034.(2019年浙江预赛】如图，将长度为1的线段分为x,y两段，再将长度为x的线段弯成半圆周4 C B,将长度为y 的线段折成矩形4BDE三条边(8D,D E,E 4),构成闭“曲边形Z C B D E 4,则该曲边形面积的最大值为_XA-BE Dy35.2019 年浙江预赛】设/(%)=黑:：；,定义/(x)=/(%),/(%)=2,3,-,则八用(%)=.2015-2021七年高中数学联赛真题分类汇编专题05基本初等函数第一讲L【2。21年江西预赛】方程”:人 的 正 整 数 解 的 组 数 为-【答案】9【解析】由:+；=寂，得到(x-2 0 2 1)(y-2 0 2 1)=202仔=432.4 7 2，因432.4 7?共有(2+1)(2+1)=9个正因数,x-2 02 1可 取9个值，即x可 取9个值，而当x取定后,y的值便唯确定;因此方程有9组正整数解.2.【2021年江西预赛】设对每个实数x,/(x)的值皆取/,6-2%+1 5中的最小值，则/(x)的最大值是一【答案】92x+15,x4 3,【解析】如图，解出其交点，则有f(x)=/,一342,6-x,x 2,则当x -3 ,f(x)9;当-3 x 2,f(x)9;当%)2,f(x)4,因此f (x)0，使得/(m)S 0，则实数a的最大值为.【答案】1【解析】a=l时，f=0,符合题设；al 时，fix)=(x d)2x+ax2 2x+1 ax2 2x+l x2 2x+l 0 ,不符合题设.综上，实数a 的最大值为1.5.【2021年福建预赛】已知f (x)=或+曰，若a-2)|2a+1|0.解 得 3 a ；，且a 力1.所以，a 的取值范围为(一3,-.6.2021年福建预赛】已知/(尤)和g(x)是两个二次项系数均为1 的二次函数.若g(6)=35,与之=*=U，则/=,【答案】35【解析】解法一:设/(x)=x2+ax+b,g(x)=x2+ex+d,则由题设条件可得：20(1-a +h)=21(1-c +d).(1),20(1+a+b)=21(1+c+d).(2),、(2)两式左右两边分别相加，得40+40匕=42+42420/?=1+214；、(2)两式左右两边分别相减，得一40a=-42c,20a=21c.另由g(6)=3 5，得36+6c+d=35.所以,36+6 x-a +=35,6a+b=-1 .21 21所以,/(6)=36+6a+b=35.解法二:设/i(x)=21g(x)-2 0/(x)，则由条件知h(x)是二次项系数为1 的二次函数.又似1)=21g(-l)-2 0/(-1)=0,h=21g(l)-20/(1)=0,所以，九(%)=(X +1)(%-1)=x2 1 .因此，九(6)=2 1 g(6)2 0/(6)=62-1 =3 5 .所以,2 1 X 3 5 -2 0/(6)=3 5 J(6)=3 5 .7.2 0 2 1 年重庆预赛】设正实数 a,b,c 满足a b c =I O”，且I g a -l g(h c)+g b-l g(c a)+I g e l g(a b)=40，则Jl g 2 q +g 2 b +g 2 c =【答案】1 9【解析】令%=I g a,y =lg b,z=I g e，则 +y +z =ll,2(x y+y z +z x)=4 0 ,从而+y 2 +z 2 =V i l2 4 0 =y/81=9.8.2 0 2 1 年重庆预赛】已知函数f (%)为R上的奇函数，当 NO时,/。)=%2，则不等式/(/(%)+/(%1)0的解集为.【答案】(一8,亨)【解析】由函数/(X)为奇函数，不等式等价于，由于单调递增，所以f(x)0,x2 1 -x，解得0 x 当 匚；当x 0,X2 0，所以当 1时，g(x)0恒成立，只需要当x 0 恒成立，即2 m%2 _ 2mx 8%4-9 0 .(1)4 =(2 m +8)2-72m 0，解得2 V m 0，且 誓 1 ,解得0 1 时,f(x)l./(x)在 0,1 单调，/(0)/(1)0 .故f(x)在 0,1 内有唯一实根，从而f(x)在。+8)内有唯一实根.于是，由/(x)为偶函数可得原方程有且只有2 个实根.1 1.【2 0 2 1 年广西预赛】设n为正整数，函数(%)=C (0,1)的值域为儿/=U N/n ,则/=【解析】A(x)单调递增益(0)f n W A(o)=I，/n d)A(1)=J 因此/=联).O *r O Q,1 2.【2 0 2 1 年新疆预赛】设/(x)=|l n x|,若函数g(x)=/(x)-ax在区间(0,4)上有三个零点，则实数a 的取值范围是,【答案】偿9【解析】方法一:因为函数g(%)=/(%)-ax在区间(0,4)上有三个零点，即|l n%|-Q%=0在(0,4)上有三个不同的解.令&=幽=XInx 八一 一 4-,0 X 1In4,11 )x 4则当0 X 1 时，一等 e(0,+oo),当1 W x 4 时，令h(x)=?在 l,e 上单调递增，在(e,4)上单调递减.因此，苧-0时，当x 6(0,1)时，存在一个零点；当x 6 (1,+oo),/(x)=I n 久,g(x)=I n x -a x,x&(l,4,g，(x)=a =，当x /时,g(x)0,g(x)单调递减；当0%O,g(x)单调递增.所以，/(x)与 丫 =。在(1,4)上有两个交点.(g P)0(：)2 q 1=V3 1,当x=等时等号成立.所以/(x)在(0,+8)上的最小值为百1.14.2021年全国高中数学联赛B 卷一试】设函数/(x)的定义域为。=(-oo,0)U(0,+8),且对任意 G。，均有f(x)=/后?“T,则/(x)的所有零点之和为.【答案】-4解析令x=L2,分别得/=/(I)+f -1与/=2/(1)+/一 i解 得/=1/=(从而/(x)=：Q x2+x 1)(x 4 0)令/(幻=0,得x=-2 +2低,故f(x)的所有零点之和为-4.15.2021年全国高中数学联赛B 卷一试】设a,b,c 1,满足(a2b)腕丁=a.(切)抽。则b g/a b)的值为【答案】2【解析】对原式两边取以a 为底的对数，得lo g/(2+lo g/)=1+lo g/,(1+lo g/)，化简得 2 1 og a。=1 +l og/.所以 c?=a b.进而 l og ja b)=l ogcc2=2.1 6.1 2 0 2 0 高中数学联赛A卷(第 0 1 试)】设a 0,函数f(x)=%+?在区间(0,可上的最小值为恤，在区间 阿+8)上的最小值为m 2.若m 1 根2 =2 0 2 0,则a 的值为.【答案】1 或 1 0()【解析】注意到f(x)在(0,1 0 上单调减，在 1 0,+8)上单调增.当a G (0,1 0 时,m1=f (a),m2=/(1 0);当Q G 1 0,+8)时，r n1=/(1 0)lm2=/(a).因此总有 f (a)f (1 0)=m m2=2 0 2 0,即Q +詈=B新=1 0 1,解得Q =1 或Q =1 0 0.1 7.1 2 0 2 0 高中数学联赛A卷(第 0 1 试)】设a,b 0,满足:关于x的 方 程 炳 +巧用=6 恰有三个不同 的 实 数 解 且%1 x2 x3=A则a +b 的值为.【答案】1 44【解析】令 士 =x +今则关于t的方程Ffl+J|t+H=b 恰有三个不同的实数解。=%=1,2,3).由f(t)=偶函数，故方程/(t)=b 的三个实数解关于数轴原点对称分布，从而必有b =/(0)=5以下求方程/)=碗的实数解.当用 时，/(t)=J -t+J +t=V a +