【2017-2021】近五年普通高等学校招生全国统一考试数学真题（附答案）

【20172021】近五年普通高等学校招生全国统一考数学真题（附答案）2021年普通高等学校招生全国统一考数学（全国甲卷）理科数学一、选择题。1.设集合M=%|0%4,N =j xWxW5,则MCN=（）A.%|0%|j B.%x 4j C.%|4%5 D.%|0%0,乙：S J 是递增数列，则（）A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件8.2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m）,三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一.如图是三角高程测量法的一个示意图，现有以4 B,C三点，且A,B,C在同一水平而上的投影4,B,C满足乙4 夕=45。，AABC=6 0 ,由C点测得B点的仰角为15,与CC的差为1 0 0,由B点测得A点的仰角为45,则4C两点到水平面4 夕C的高度差/A-C L 约 为（）（百 1.732）AA.346 B.373 C.4469.若a E(0,-Y tan2a=cosa,则tana=(2/2-sinaA.逗 BW CW15 5 3D.473)10.将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为()11.已 知B,C是半径为1的球。的球面上的三个点，且/CJ.BC,AC=BC=1,则三棱锥。ABC的体积为()12.设函数/(%)的定义域为R,/(%+1)为奇函数，/(X+2)为偶函数，当%1,2 时，/(%)=a x2+b.若/(0)+f(3)=6,则/0=()9 3 7 5A.B.C.-D.4 2 4 2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。曲线y=崇 在 点(-L 一 3)处 的 切 线 方 程 为.已知向量a=(3,1),b =(1,0),c =a +k b,若a-L c,则/c=.2 2已 知 尸 2为椭圆C噌+?=1的两个焦点，P，Q为c 上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|=|凡 尸 2 ,则四边形PF1QF2的面积为.已知函数f(%)=2cos(3%+切的部分图像如图所示，则满足条件(/(X)-f (一子)(/(%)-/(y)。的 最 小 正 整 数%为.三、解答题：共 70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第 1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23题为选考题，考生根据要求作答。甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：一级品二级品合计甲机床15050200乙机床1208 0200合计270130400(1)甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？(2)能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异？附.K2 =n(abc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P(K2 k)0.0500.0100.001K3.8 416.63510.8 28已知数列。工的各项均为正数，记又为 的 前 7 1 项和.从下面中选取两个作为条件.证明另外一个成立.数列 d J 是等差数列；数歹U 至 是等差数列；a2=3a注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.已知直三棱柱ABC A iB iG 中，侧面4 4/为正方形，AB=BC=2,E,产分别为/C和C G 的中点，。为棱A%上的点，BF(1)证明：BF 1 DE；(2)当为&D 何值时，面B B G G 与面DFE所成的二面角的正弦值最小？抛物线C的顶点为坐标原点。，焦点在工轴上，直线L:%=1 交C于P,Q两点,且。P 1 0 Q.已知点M(2,0),且。旦与L相切,(1)求C,O M 的方程；(2)设4，A2,4 是C上的三个点，直线4 4,均与O M 相切，判断&与O M 的位置关系，并说明理由.己知a 0且a H 1,函数/(%)=(x 0).(1)当a=2 时，求)(%)的单调区间；(2)若曲线y=/(%)与直线y=1有且仅有两个交点，求a的取值范围.在直角坐标系Oy中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为p=2V2cos0.(1)将C的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)设点/的直角坐标为(1,0),M为C上的动点，点P满足4 =加 而 写出P的轨迹6 的参数方程，并判断C与G 是否有公共点.已知函数f(x)=|x 2|,g(x)=|2x+3|2x 1|.(1)画出f(x)和y=g(%)的图像；(2)若+a)2 g(x),求a的取值范围.参考答案与试题解析2021年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 数 学(全 国 甲 卷)理 科 数 学一、选 择 题。1.【答 案】B【考 点】交集及其运算【解 析】此题暂无解析【解 答】解：由图知，M nN=%K x 0,则数列 S 单 调 递 增；的 5恒成立.an+1 0,则a 4 0恒成立./.at 0,g 0,由 乙 可以推出甲，综 上：甲是乙的必要条件但不是充分条件.故选B.8.【答 案】B【考 点】解三角形的实际应用正弦定理【解析】此题暂无解析【解答】解：过C作 的 垂 线 交B夕于点M,过B作44,的垂线交44,于点N,连接CN,设 BC=CM=m,AB=BN=n,在三角形 ABC中，三=一三,sm75 sm45在三角形CBM中，三，sin75 sinl50联立求得九=要幺 273,V3-1又乙 ABN=乙 NAB=45。，则AN=BN h 273,则4 C两点到水平面A夕C的高度差4 4 一 CC约为:273+100=373.故选B.9.【答案】A【考点】三角函数的化简求值同角三角函数间的基本关系【解析】此题暂无解析【解答】c o sa解：tan2a=2-sina_ 2 t ana _ 2 sinac o sa _ c o sal-t an2a c o s2a-sin2a 2-sina，2sina(2 sina)=cos2a sin2cr,4sina 2sin2a=cos2a sin2a=1 2sin2a,故选410.【答案】c【考点】古典概型及其概率计算公式【解析】此题暂无解析【解答】解：把位置依次标为1到6.先排2个0,有 底=15种排法，再排4个1,有1种排法，故共有15种排法.先排4个1,有1种排法，其间有5个空，选2个空插入0,则有废=10种排法.故 P=吧=215 3故选C.11.【答案】A【考点】柱体、锥体、台体的体积计算球内接多面体【解析】此题暂无解析【解答】解析：己。为4 B,C 所在圆面的圆心，则0 O 1 A B C,又AB=五,所以0。=40 炉一/-1 1所以-4B C =7 1 S&ABC.00=-：故选412.【答案】D【考点】函数奇偶性的性质函数的周期性函数的求值【解析】此题暂无解析【解答】解析：；/0+1）为奇函数，.10,2=J12-(T)=争1 d d V2 y 2-1 1 二.2 2 12./(%)关于(L 0)中心对称，1)=0,f(x +2)为偶函数，./(0)=-/(2),f 二(a+b=0,(a=-14a +b=6/U =2故噌G)=-f(l)=f(%)关于 =2 轴对称，周期为4,=f ,即f -/(2)=6,2)=-6,-2,-(-2X*2)=|.故选D.二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20分。【答案】y =5%+2【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】此题暂无解析【解答】解：f(T)=5,/(-1)=Y=-3,切线方程为：y +3 =5(x +1)0y =5%+2.故答案为：y =5x +2.【答案】10一至【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系【解析】此题暂无解析【解答】解：c=(3 +k,1),a c=0 3(3 +k)+1=0,所以k =故答案为：【答案】8【考点】椭圆的定义和性质【解析】此题暂无解析【解答】解：如图，由|PQ|=|&尸2|及椭圆对称性可知：四边形PaQF2为矩形.设|P F i l =租，IP F 2 I=几，则 z n+n=8(m2+n2=FIP22=48 :得7 T m=8.所以，四边形P F 1QF 2面积为n m =8.故答案为：8.【答案】2【考点】由y=A s i n(co x+4)的部分图象确定其解析式余弦函数的周期性余弦函数的定义域和值域【解析】此题暂无解析【解答】解：由图可知，f (%)的最小正周期T =g x 兀一；)=兀，3 =2,f (詈)=2.；2 co s(等+8)=2,(p -F 2k.Ti,f c G Z,*6 /(%)=2 co s(2 x-J),A f)=%)=0,f(一9 =/)=2 co s(-J)=l,(f(x)-1)(/(%)-0)0 /(%)0或f(x)1,联系图象可知；满足f(x)2 1的离y轴最近的正数区间为(0,9,无整数；/(%)6,635,(Q+b)(c+d)(Q+c)b+d 200 x200 x270 x130所以有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异.【考点】概率的应用独立性检验【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)由表格数据得：甲机床生产的产品中一级品的频率为黑=：;200 4乙机体生产的产品中一级品的频率为拦=3200 5(2)由题意k2=一皿应-=竺(。X 8 9二 120X5叱*10,256 6,63 5,(a+b)(c+d)(a+c)b+d 200 x200 x270 x130所以有9 9%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异.【答案】证明：选作为已知条件.设等差数列&J的公差为公因为a2=3%,所以+d=3 a1 ,则d=2al.所以为=71al+Dd=71al+n(n 1)%=n2,所以 JSn_i=ny/a (n 1)V7=V i所以 西 是首项为何，公差为晒的等差数列【考点】数列的求和等差数列的性质【解析】此题暂无解析【解答】证明：选作为已知条件.设等差数列%的公差为d,因为a2=3 a1 ,所以+d=3 a1，贝卜=2al.所以 Sn=71al+“(7)d=nat+n(n 1)%=n2,所以-J Sn_1=ny/a (n 1)V7=V i所以 庖 是首项为a，公差为何的等差数列.【答案】(1)证明：连&E,取BC中点M,连接/M,EM.因为E,M分别为AC,BC的中点，则EMAB,又AB AB所以力/E M,则4 V M E共面,故DE u 面又在侧面B CC/i中，FCB=MBBi，易得BF 1 MB1,又B F-LA/i，MBi A A1Bl=,MBr,A1B1 c jS/AyByME,所以BE _ L 则BFJ_DE.(2)解：BF 1 AB1,则 BF J.力B=AF2O9OAF=3,又4产=pC2+A C2 0 A C2=8,则AB 1 BC,如图以B为原点建立如图所示坐标轴，则B(0,0,0),C(2,0,0),4(0,2,0),-(1,1,0),F(2,0,l),设叫=3 则0(0,t,2),0 t A C2=8,则A B 1 BC,如图以B为原点建立如图所示坐标轴，则8(0,0,0),C(2,0,0),7 1(0,2,0),E(l,1,0)，5(2,0,1),设=t,则0(0,t,2),0 t 0,2_ 2x 2x-2xn2 x2 _ x(2-xln2)_ 也2%(放 一%)/一 (2多2 2 2，当 e(0,意)时，/(X)0,/(%)单调递增；当 e(意,+8)时，/(X)o,f(x)单调递减.故f(x)在(0,书上单递增，在(总-8)上单调递减.(2)由题知/(%)=1在(0,+8)上有两个不等的根，/(%)=1=%。=a*o alnx=xlna +OO所以0 V 也 1,H a H e.a e【考点】利用导数研究函数的单调性利用导数研究与函数零点有关的问题【解析】此题暂无解析【解答】y2解：(l)a=2时，/(%)=,%0,2、2x-2x-2xln2%2 x(2-xln2)-