2020考研数学基础辅导讲义(八天)

2020考研数学高等数学辅导讲义基础阶段主 讲：张 卫目 录高等数学.1第一讲 函数、极限与连续.1 1函数.32极 限.8 3函数的连续性.14第 二 讲 一元函数微分学.181导数与微分.20 2中值定理及应用.253导数的应用.28第 三 讲 一元函数积分学.331不定积分.332定积分.383定积分的应用.43第四讲微分方程.471基本概念及一阶微分方程的求解.472可降阶的高阶微分方程种类及解法（数一、数二）.503二阶线性微分方程.51第五讲多元函数微分学及其应用.55 1多元函数微分学.55 2多元函数微分学的应用.61第六讲多元函数积分学（二重积分）.64第七讲无穷级数（数一、数三）.711常数项级数.712幕级数.773傅里叶级数（数一）.80第八讲向量代数与空间解析几何（数一）.83第九讲多元函数积分学（数一）.931三重积分.94 2曲线积分.99 3曲面积分.1042020考研数学高等数学辅导讲义（基础阶段）第一讲函数、极限与连续知识网络图函数 有界性、单调性、奇偶性、周期性f“_ N”定义极 限 概 念 J“-X”定义“-8 定义极限性质一 唯一性有界性I 保号性数列整体有界函数局部有界极限四则运算法则等价无穷小替换变量替换洛必达法则心 型、吸 型I 0 oo|00 00型、0.00 型I 1 8、0 型极限求极 限 的/r 单调有界数列有极限主要方法 极 限 存 在 准 则 t夹逼定理 丫两个重要的极限 巴（封=，函数的连续性|而 上=1用导数的定义 1。二T带皮亚诺余项的泰勒公式用函数极限求数列极限用定积分定义求某些和式的极限V利用级数相关理论求极限（数一、数三）无穷小量与无穷大量的定义、关系无穷小量Y 无穷小量的运算性质无穷小量与极限的关系I无穷小量的比较12020考研数学高等数学辅导讲义（基础阶段）初等函数的连续性r连 续 的 概 念 分段函数连续性的判定 闭区间上连续函数的性质有界性定理零点定理最值定理介值定理连续性r第一类一左右极限都存在I间断点的分类,跳跃间断点.可去间断点I第二类一左右极限中至少有一个不存在22020考研数学高等数学辅导讲义（基础阶段）本章导读【考试要求】1.理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系.2.了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性.3.理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念.4.掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念.5.理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左极限、右极限之间的关系.6.掌握极限的性质及四则运算法则.7.掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法.8.理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限.9.理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型.10.了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质.1 函 数（自学）一、函数的概念1.定义设。是一个非空的实数集，如果有一个对应法则了,对每一个x e。，都能对应唯一的一个实数y,则称对应法则/为定义在。上的一个函数，记以y=/（X）,称x为函数的自变量，y为函数的因变量或函数值，。称为函数的定义域，并把实32020考研数学高等数学辅导讲义(基础阶段)数 集 号=.1 y=称为函数的值域.2.函数表示法公式法、图形法、表格法.二、函数的特性1.奇偶性设函数/(x)的定义域D关于原点对称，如果对任意x e D,恒有/(-%)=f(x)或/(-%)=-/(%),则称函数f(x)为偶函数或奇函数.图形特点：奇函数的图形关于原点对称，偶函数的图形关于y 轴对称.2.单调性设/(X)为定义于。上的函数，若对任意的修，为 。且 再 ，有f(x)/()，称函数/(X)在。上为单调减函数.图形特点：单增：X 变大，曲线上升；单减：X 变大，曲线下降.3.周期性设/(x)为定义于D上的函数，若 存 在 T 0,使得对于任意的X GD ,x+T e D,都有/(x T)=/(x),则称f(x)为周期函数，T称为/(x)的周期.图形特点：周期函数的图形过一周期重复一次.4.有界性设/(x)为定义于。上的函数，若 存 在M 0,对一切的x e。，有42020考研数学高等数学辅导讲义（基础阶段）|/（x）区M成立，称/（x）在。上为有界函数；若这样的M不存在，则 称/（X）为无界函数，即对V M 0,总三 尤。,使 得|/（x0）M.图形特点：图形介于直线y=-M与y=M之间.三、常见函数类I.基本初等函数常数函数：y=C基函数：y=xa（a常数）.指数函数：），=优（。0,。工1常数）；y=e“（e=2.7182K,无理数）.对数函数：y=logrt x（Q0,a w l常数）；常用对数y=lo g =Igx；自然对数y=ogex=Inx.三角函数：y=sinx；y cos x；y tan x；y=cot x；y=sec x；y=esc x.反三角函数：y=arcsin x；y=arccosx；y=arctan x；y=arccot x.2.反函数y=/（x）-X =g（y）.3.复合函数设 y=/（），=为两个函数,若。（7）l/?（。）力0 ,则52020考研数学高等数学辅导讲义(基础阶段)由 尸/()及 =。(可 可复合而成复合函数产/称为中间变量.4.初等函数由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的复合所构成并可用一个式子表示的函数,称为初等函数.5.分段函数(考研常考函数)(1)定义在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同解析表达式表示的函数.(x),xx0典型形式：f (x)a,、x=x0 或/Q 0=1 1(P(x),x0H-U x 0符号函数：sgn x=,0,x=0.-l,x 06.隐函数设有关系式F(x,y)=0,若对Vx e D,存在唯一确定的y满足/()=0与x相对应，由此确定的y与x的函数关系y=y(x)称为由方程尸(x,y)=0确定的隐函数.7.参数方程确定的函数62020考研数学高等数学辅导讲义(基础阶段)C X=秋。由 ，a ty =y(x).y =Q)8.幕指函数y =/J(x)o J。)三9.用极限表示的函数(1)y=im fn(x).“T 8(2)y=l i m .t-y x1 0.变上限积分函数设 x)在 以 连 续，对于x e a,句，y =J；/力 为x的函数，称为变上限积分函数.四、典型例题例 1.已知/(I n x)=1+x2,求/(x).例2.求y =y/x-4 x+1一：的定义域.I n r -5|例 3.设求/(L 八 动=%(x).V l+xf s i n x x 0 ex,x例 4.设函数/(x)=,g(x)=I -v x Q 2x,x 0,总存在N 0,当N时，有|q-A|oo2.收敛数列的性质(1)唯一性.(2)有界性.(3)保号性：设l i m a“=a 0(0,当N时，都有an 0(83)l i m(匿z )=此z,Z为常数；4)a,-(b w O w O).3.极限存在准则(1)夹逼准则如果数列 4，2，c“满足下列条件：从某项起，即于Z o N,当几。时有，a,bn 8（2）单调有界准则单调增加（或单调减少）且有上界（或有下界）的 数 列 必 有 极 限.4.重要结论（1）若limq=a n lim|az?I =hl（2）lim=0 o lim 4=0.（3）lima=a n a,任一子列也收敛于a.“一 8（4）lim an=a o lim a2n a,lim a2n_x a.z t a）nfg n x x 二、函数极限1.函数极限的概念（1）自变量趋于有限值九0时函数的极限设函数/（X）在X。的某一去心邻域内有定义若存在常数A，对任意的0，总存在50,当0|x-X o l 5时，有|/（九）一 A|0,总存在50,当0 x（）-x S时，有|/0）-4|0,总存在50,当O X-X o 5时，有|/。）一8|0，总存在X0,当|x|X时，有|/(x)A|0和S0,使得当.v t 0k-时,W|/(x|O(v 0),则存在50,当0|兄一|0(0,l im g(x)=8,则=A.3)复合运算性质设l im/()=A,l im g(x)=。，且当 A：。/时，g(x)w。，则x、0l im/g(x)=A.Xf 0设l im /()=f(a),l im g(x)=a ,则M T XTX010平0考研数学高等数学辅导讲义(基础阶段)lim/g(x)=/lim g(x)=/._*-丽 J3.两个重要极限八、，.sinx,(1)hm=1 .x(2)lim(l+x)x=e.x-0我们经常使用的是它们的变形：sin x)、0、lim=1,(点x)-0),以x)lim(l+)=e.(或x).8).或x)三、无穷小及无穷大1.无穷小的定义如果函数/(X)当X-厮(X-8 )时的极限为零，那么称函数/(X)为当X f*0(X 00)时的无穷小量.2.无穷小的比较设0,则(1)右hm=o,称 为&的高阶无穷小，记 为=o(a).a(2)若lim#=攵(#0,8),称a与分为同阶无穷小；特别地，若=a a称a与 夕为等价无穷小，记为2 夕.虺(3)若lim,=cw 0,Z0，称 夕 是关于a的左阶无穷小.a3.无穷小的性质112 02 0考研数学高等数学辅导讲义（基础阶段）（1）一般性质1）有限个无穷小的和、差、积还是无穷小；2）有界函数与无穷小之积还是无穷小；3）常数与无穷小之积还是无穷小；4）（极限基本定理）l im /（x）=A的充分必要条件是f x）=A +a,其中a 0.（2）等价无穷小的性质1）a a （自反性）；2）若a 0,则4 a（对称性）；3）若a4，0 y ,则（传递性）；4）（等价无穷小替换定理）若。a ,夕，且l im -存在，则a&.区l im =l im .a a（3）当尤f 0 时，常用的等价无穷小s m x x,t a n x-x,a r c s m x x,a r c t a n x-x,1 2t1 -c o s x x,2e、-1 x,l n（l +x）x,（1 +x）1 cxx4.无穷大（1）定义任给M 0,在 x 某一变化过程，总有|/（x）M,则称/（x）为无穷大.记为l im f（x）-o o .（2）无穷小与无穷大的关系在X的同一个变化过程中，若/（X）为无穷大，则 为无穷小；若/（X）为/、1无穷小，且/（X）WO,则二二为无穷大.（3）无穷大与函数无界的关系1 22020考研数学高等数学辅导讲义（基础阶段）若/（X）是Xf X （或X-8）时的无穷大量，则/（X）必 在X的某个去心邻0 0域 内（或|x|X时）无界.1 1无界的变量不一定是无穷大量.如/（X）=s in一 在X=Q点的任一去心邻域X X内都无界，但X 0时它不是无穷大量.四、典型例题例 1.求极限l im（2 1+2 2+L 2 1 18 H+1-+2 H+-+例2.（1）设.=1 0,4+1=j6+a”,证明 q收敛，并求此极限.（2）（课下作业）设0%0时，a（x）=2与尸（x）=J l+xa r c s in x-J c o s x 是等价无穷 小,则女=.（2）当x f 0时，用“。（犬）”表示比尤高阶的无穷小量，则下列式子中错误的是（）（A）X-（9（X2）=O（X3）（B）o（x）-o（x2）=o（x3）（C）O（X2）+o（X2）-0（X2）（D）0（x）+0（x 2）=o Q?）例4.求极限h mA-0t a n x s in x例5.求 极 限l im-X T x a r c s in x132020考研数学高等数学辅导讲义(基础阶段)例6.求极限lim(1-1 hx-o 弗 sin-x例 10.求极限 lim(sin x)A.X TO+“i 一 _ii.4.r/i7a i*V