资源描述
2021-2022学年江苏省连云港市灌云县九年级(上)期中数学试卷
1. 下列方程是一元二次方程的是( )
A. 3x+2y−1=0 B. 5x2−6y−3=0
C. −x+2=0 D. x2−1=0
2. 以O为中心点的量角器与直角三角板ABC如图所示摆放,直角顶点B在零刻度线所在直线DE上,且量角器与三角板只有一个公共点P,若点P的读数为35°,则∠CBD的度数是( )
A. 55° B. 45° C. 35° D. 25
3. 用配方法将方程x2−6x=1转化为(x+a)2=b的形式,则a,b的值分别为( )
A. a=3,b=1 B. a=−3,b=1
C. a=3,b=10 D. a=−3,b=10
4. 下列命题中不正确的是( )
A. 圆是轴对称图形,任何一条直径所在直线都是圆的对称轴
B. 圆是中心对称图形,圆心是它的对称中心
C. 同弧或等弧所对的圆心角相等
D. 平分弦的直径一定垂直于这条弦
5. 某商品连续两次降价,每件零售价由原来的56元降到了31.5元,若设平均每次降价的百分率为x,则可列方程为( )
A. 56(1+x)2=31.5 B. 31.5(1+x)2=56
C. 56(1−x)2=31.5 D. 56(1+x)2=31.5
6. 如图,A、B、C是⊙O上的点,且∠ACB=140°.在这个图中,画出下列度数的圆周角:40°,50°,90°,140°,仅用无刻度的直尺能画出的有( )
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
7. a、b、c是△ABC的三边长,且关于x的方程x2−2cx+a2+b2=0有两个相等的实数根,这个三角形是( )
A. 等边三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形
8. 如图,在Rt△ABC中,∠ACB=Rt∠,AC=8cm,BC=3cm.D是BC边上的一个动点,连接AD,过点C作CE⊥AD于E,连接BE,在点D变化的过程中,线段BE的最小值是( )
A. 1 B. 3 C. 2 D. 5
9. 点P(4,−3)与圆心在原点O,半径为5的⊙O的位置关系是______.
10. 一个扇形的半径长为6,面积为8π,这个扇形的圆心角是______度.
11. 已知m是方程x2−x−1=0的一个根,代数式5m2−5m+2016的值是______.
12. 如图,AB是⊙O的直径,C、D是BE的三等分点,∠AOE=60°,则∠COE=______.
13. 现定义运算“★”,对于任意实数a、b,都有a★b=a2−3a+b,如:3★5=32−3×3+5,若x★2=6,则实数x的值是______.
14. 已知△ABC三边长分别为5cm,12cm,13cm,则这个三角形的外接圆的半径=______.
15. 某校初三6班学生毕业时,每个同学都要给其他同学写一份毕业留言作为纪念,全班学生共写了930份留言,如果全班有x名学生,根据题意,列出方程为______.
16. 如图,点A在反比例函数图象y=62x(x>0)上,以OA为直径的圆交该双曲线于点C,交y轴于点B,若CB=CO,则该圆的直径长是______.
17. 按照下列不同方法解方程.
(1)x2−4=0(直接开平方法);
(2)x2+3x−1=0(配方法);
(3)2x2+x−1=0(公式法);
(4)x2−3x=0(因式分解法).
18. 已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示.
(1)画出△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°后的△AB′C′;
(2)在(1)的条件下,求点C旋转到点C′所经过的路线长(结果保留π).
19. 如图,AB是⊙O的直径,弦CD与AB相交于点E,∠ACD=60°,∠ADC=50°,求∠CEB的度数.
20. 用一根长100cm的金属丝能否制成面积是800cm2的矩形框子?若能,请求出长和宽:若不能,请说明理由.
21. 如图,AB是⊙O的直径,C是BA延长线上一点,点D在⊙O上,且CD=OA,CD的延长线交⊙O于点E,若∠C=20°,求∠BOE的度数.
22. 某商店经销的某种商品,每件成本为40元.经市场调研,售价为50元时,可销售200件;售价每增加1元,销售量将减少10件.如果这种商品全部销售完,那么该商店可盈利2000元.问:该商店销售了这种商品多少件?每件售价多少元?
23. 如图,在矩形ABCD中,AB=7cm,BC=22cm,点P从点A出发沿AB以1cm/s的速度向点B移动,点P出发几秒后,点P、A的距离是点P、C的距离的2倍.
24. 我们知道:任何有理数的平方都是一个非负数,即对于任何有理数,都有a2≥0成立,所以,当a=0时,有最小值a2=0.
【应用】(1)代数式(x−1)2有最小值时,x=______;
(2)代数式m2+3的最小值是______;
【探究】求代数式n2+4n+9的最小值,小明是这样做的:
n2+4n+9
=n2+4n+4+5
=(n+2)2+5.
∴当n=−2时,代数式n2+4n+9有最小值,最小值为5.
(3)请你参照小明的方法,求代数式a2−6a−3的最小值,并求此时a的值.
(4)代数式m2+n2−8m+2n+17=0,求m+n的值.
25. 如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D为AB边上的一点,以AD为直径的⊙O交BC于点E,过点C作CG⊥AB,垂足为G,交AE于点F,过点E作EP⊥AB,垂足为P,∠EAD=∠DEB.
(1)求证:BC是⊙O的切线;
(2)若CE=EP,CG=12,AC=15,求四边形CFPE的面积.
26. 如图,⊙O中,O为圆心.圆上两点分别是定点A与动点B,连接OA,OB.以OA,OB和AB分别为半径作半圆C、半圆D和半圆E.
(1)若∠AOB=90°,求证:半圆C与半圆D面积之和等于半圆E的面积.
(2)若F是半圆D上的中点,且⊙O半径为5,求F运动路径长.
(3)在(2)的条件下,连接AF,当AF与其运动路线相切时,求弧AB的长.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解:A.是二元一次方程,不符合题意;
B.是二元二次方程,不符合题意;
C.是一元一次方程,不符合题意;
D.是一元二次方程,符合题意.
故选:D.
一元二次方程必须同时满足三个条件:①整式方程,即等号两边都是整式;方程中如果有分母,那么分母中无未知数;②只含有一个未知数;③未知数的最高次数是2.进而可以判断.
本题考查了一元二次方程的定义,解决本题的关键是掌握一元二次方程的定义.
2.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了切线的性质,平行线的判定和性质,熟练掌握切线的判定和性质是解题的关键.根据切线的性质得到∠OPB=90°,证出OP//BC,根据平行线的性质得到∠POB=∠CBD,于是得到结果.
【解答】
解:∵AB是⊙O的切线,
∴∠OPB=90°,
∵∠ABC=90°,
∴∠OPB=∠ABC=90°,
∴OP//BC,
∴∠CBD=∠POB=35°,
故选:C.
3.【答案】D
【解析】解:方程x2−6x=1,
配方得:x2−6x+9=10,即(x−3)2=10,
则a,b的值分别为−3,10.
故选:D.
已知方程利用完全平方公式配方后,确定出a与b的值即可.
此题考查了解一元二次方程−配方法,熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.
4.【答案】D
【解析】解:A、圆是轴对称图形,任何一条直径所在直线都是圆的对称轴,正确;
B、圆是中心对称图形,圆心是它的对称中心,正确;
C、同弧或等弧所对的圆心角相等,正确;
D、平分弦(不是直径)的直径一定垂直于这条弦,错误,
故选D.
利用圆的对称性、圆周角定理及垂径定理分别判断后即可确定正确的选项.
本题考查了命题与定理的知识,解题的关键是了解圆的对称性、圆周角定理及垂径定理,属于基础题,难度不大.
5.【答案】C
【解析】解:设平均每次降价的百分率为x,
由题意得,56(1−x)2=31.5,
故选:C.
设平均每次降价的百分率为x,则等量关系为:原价×(1−x)2=现价,据此列方程.
本题考查的是由实际问题抽象出一元二次方程,要注意题意指明的是降价,应该是(1−x)而不是(1+x).
6.【答案】D
【解析】解:作直径AD,连接BD、AB,如图,
∵∠ACB+∠D=180°,
∴∠D=180°−140°=40°,
∵AD为直径,
∴∠ABD=90°,
∴∠BAD=90°−∠D=50°;
在AB上取一点E,连接AE、BE,
∴∠AEB=∠ACB=140°.
故选:D.
作直径AD,连接BD,在AB上取一点E,连接AE、BE,如图,利用圆周角定理得到∠AEB=140°,∠ABD=90°,利用圆内接四边形的性质得到∠D=40°,根据互余可计算出∠BAD=50°.
本题考查了圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.推论:半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径.
7.【答案】C
【解析】解:根据题意得Δ=(−2c)2−4(a2+b2)=0,
即a2+b2=c2,
所以原三角形为直角三角形.
故选:C.
先根据判别式的意义得到Δ=(−2c)2−4(a2+b2)=0,变形得到a2+b2=c2,然后根据勾股定理的逆定理判断三角形的形状.
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式Δ=b2−4ac:当Δ>0,方程有两个不相等的实数根;当Δ=0,方程有两个相等的实数根;当Δ<0,方程没有实数根.也考查了勾股定理的逆定理.
8.【答案】A
【解析】解:如图,
由题意知,∠AEC=90°,
∴E在以AC为直径的⊙M的CN上(不含点C、可含点N),
∴BE最短时,即为连接BM与⊙M的交点(图中点E′点),
在Rt△BCM中,BC=3cm,CM=12AC=4cm,则BM=BC2+CM2=5cm.
∵ME′=MC=4cm,
∴BE长度的最小值BE′=BM−ME′=1cm,
故选:A.
由∠AEC=90°知E在以AC为直径的⊙M的CN上(不含点C、可含点N),从而得BE最短时,即为连接BM与⊙M的交点(图中点E′点),BE长度的最小值BE′=BM−ME′.
本题主要考查了勾股定理,圆周角定理,三角形的三边关系等知识点,难度偏大,解题时,注意辅助线的作法.
9.【答案】点P在圆上.
【解析】解:∵圆心在原点O,点P(4,−3),
∴OP=42+32=5,
∴OP=r=5,
∴点P在⊙O上.
故答案为:点P在圆上.
先根据两点间的距离公式求出OP的长,进而可得出结论.
本题考查的是点与圆的位置关系,熟知点与圆的种位置关系是解答此题的关键.
10.【答案】80
【解析】解:设这个扇形的圆心角是n°,
∵8π=nπ×62360,
∴n=80,
∴这个扇形的圆心角为80度.
故答案为:80.
设这个扇形的圆心角是n°,根据S扇形=nπr2360,求出这个扇形的圆心角为多少即可.
此题主要考查了扇形的面积的计算方法,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:设圆心角是n°,圆的半径为R的扇形面积为S,则S扇形=nπr2360.
11.【答案】2021
【解析】解:∵m是方程x2−x−1=0的一个根,
∴m2−m−1=0,
∴m2−m=1,
∴5m2−5m+2016=5(m2−m)+2016=5×1+2016=2021.
故答案为:2021.
先根据一元二次方程根的定义得到m2−m=1,再把5m2−5m+2
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