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2022-2023学年河南省百校联盟高三(上)开学联考数学试卷(文科)
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(5分)已知集合A={x|0<x≤3},B={0,1,2,3,4,5},则(∁RA)∩B=( )
A.{4,5} B.{0,4,5} C.{3,4,5} D.{0,3,4,5}
2.(5分)命题“”的否定为( )
A.
B.
C.∀x>0,﹣x2+2x﹣1≤0
D.∀x≤0,﹣x2+2x﹣1>0
3.(5分)若x,y满足约束条件,则z=x﹣2y的最小值为( )
A.1 B.2 C. D.
4.(5分)已知点P(4,3)是角α的终边上一点,则sin2α=( )
A. B. C. D.
5.(5分)已知向量,,且,若,则实数m的值为( )
A.0 B.﹣1 C. D.
6.(5分)如图,长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=BC=2,若直线BC1与直线AC所成的角为60°,则该长方体的表面积为( )
A.48 B.32 C.24 D.12
7.(5分)若直线l:kx﹣y+2﹣k=0与圆C:x2+y2﹣4x﹣2y﹣4=0交于A,B两点,则当△ABC周长最小时,k=( )
A. B. C.1 D.﹣1
8.(5分)将函数图象上所有点的横坐标变为原来的,再向左平移φ(φ>0)个单位长度,得到函数g(x)的图象,若对任意的x∈R,均有成立,则φ的最小值为( )
A. B. C. D.
9.(5分)某企业秉承“科学技术是第一生产力”的发展理念,投入大量科研经费进行技术革新,该企业统计了最近6年投入的年科研经费x(单位:百万元)和年利润y(单位:百万元)的数据,并绘制成如图所示的散点图.已知x,y的平均值分别为,.甲统计员得到的回归方程为;乙统计员得到的回归方程为;若甲、乙二人计算均未出现错误,有下列四个结论:
①当投入年科研经费为20(百万元)时,按乙统计员的回归方程可得年利润估计值为75.6(百万元)(取e3.4=30);
②;
③方程比方程拟合效果好;
④y与x正相关.
以上说法正确的是( )
A.①③④ B.②③ C.②④ D.①②④
10.(5分)已知a=,b=,c=,则( )
A.b>c>a B.c>b>a C.a>c>b D.b>a>c
11.(5分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且S11>S10>S12,则满足Sn>0的正整数n的最大值为( )
A.11 B.12 C.21 D.22
12.(5分)已知定义域为R的偶函数f(x)的图象是连续不间断的曲线,且f(x+2)+f(x)=f(1),对任意的x1,x2∈[﹣2,0],x1≠x2,>0恒成立,则f(x)在区间[﹣100,100]上的零点个数为( )
A.100 B.102 C.200 D.202
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.(5分)若复数(i是虚数单位)是纯虚数,则实数m的值为 .
14.(5分)已知函数f(x)满足:①对∀m,n>0,f(m)+f(n)=f(mn);②.请写出一个符合上述条件的函数f(x)= .
15.(5分)已知倾斜角为60°的直线l过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F,且与C交于A,B两点(点A在第一象限),若|AF|=3,则|BF|= .
16.(5分)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若(b+c)2=a2+3bc,且,则C= .
三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:60分.
17.(12分)在①an+1=2an+1;②;③Sn=2an﹣n,三个条件中任选一个,补充到下面问题的横线处,并解答.
已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,_____.
(1)an;
(2)设bn=nan求数列{bn}的前n项和Tn.
注:如果选择多个条件解答,按第一个解答计分.
18.(12分)在实施“乡村振兴”的进程中,某地政府引领广大农户发展特色农业、种植优良品种柑橘、现在实验基地中种植了相同数量的A,B两种柑橘.为了比较A、B两个柑橘品种的优势,在柑橘成熟后随机选取A、B两种柑橘各100株,并根据株产量X(单位:kg)绘制了如图所示的频率分布直方图(数据分组为:[65,70),[70,75),[75,80),[80,85),[85,90),[90,95]):
(1)求a,b的值;
(2)将频率当做概率,在所有柑橘中随机抽取一株,求其株产量不低于80kg的概率;
(3)求两种柑橘株产量平均数的估计值(同一组数据中的平均数用该组区间的中点值代表),并从产量角度分析,哪个品种的柑橘更好?说明理由.
19.(12分)如图,梯形ABCD中,AB∥CD,,BC=CD=2,,DE⊥AB,垂足为点E.将△AED沿DE折起,使得点A到点P的位置,且PE⊥EB,连接PB,PC,M,N分别为PC和EB的中点.
(1)证明:MN∥平面PED;
(2)求点C到平面DNM的距离.
20.(12分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,且经过点A(,).
(1)求椭圆C的方程;
(2)若过点M(3,0)的直线l与椭圆C交于P,Q两点,点P关于x轴的对称点为N,求△MNQ面积的最大值.
21.(12分)已知函数f(x)=alnx﹣ax(a≠0).
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)设g(x)=ex﹣ax﹣a,证明:当a∈(0,e]时,f(x)≤g(x).
选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.[选修4-4:坐标系与参数方程]
22.(10分)在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数,0≤α<π),以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ2﹣2ρsin(θ+)﹣7=0.
(1)求曲线C的直角坐标方程;
(2)若直线l与曲线C交于A,B两点,当|AB|=时,求直线l的普通方程.
[选修4-5:不等式选讲]
23.已知f(x)=|x+1|,g(x)=|a﹣x|.
(1)当a=1时,求不等式f(x)﹣g(x)≤1的解集;
(2)若f(x)﹣g(x)≤2恒成立,求实数a的取值范围.
2022-2023学年河南省百校联盟高三(上)开学联考数学试卷(文科)
参考答案与试题解析
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(5分)已知集合A={x|0<x≤3},B={0,1,2,3,4,5},则(∁RA)∩B=( )
A.{4,5} B.{0,4,5} C.{3,4,5} D.{0,3,4,5}
【分析】由已知直接利用交、补集的混合运算得到答案.
【解答】解:∵集合A={x|0<x≤3},B={0,1,2,3,4,5},
∴∁RA={x|x≤0或x>3},则(∁RA)∩B={0,4,5}.
故选:B.
【点评】本题考查了集合的交、补集混合运算,属于基础题.
2.(5分)命题“”的否定为( )
A.
B.
C.∀x>0,﹣x2+2x﹣1≤0
D.∀x≤0,﹣x2+2x﹣1>0
【分析】根据特称命题的否定定义可解.
【解答】解:根据题意,命题“”的否定为“∀x>0,﹣x2+2x﹣1≤0”,
故选:C.
【点评】本题考查特称命题的否定定义,属于基础题.
3.(5分)若x,y满足约束条件,则z=x﹣2y的最小值为( )
A.1 B.2 C. D.
【分析】由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解,把最优解的坐标代入目标函数得答案.
【解答】解:由约束条件作出可行域如图,
联立,解得A(,),
由z=x﹣2y,得y=,由图可知,当直线y=过A时,
直线在y轴上的截距最大,z有最小值为.
故选:D.
【点评】本题考查简单的线性规划,考查数形结合思想,是基础题.
4.(5分)已知点P(4,3)是角α的终边上一点,则sin2α=( )
A. B. C. D.
【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义可求tanα的值,进而利用二倍角的正弦公式,同角三角函数基本关系式化简所求即可得解.
【解答】解:因为点P(4,3)是角α的终边上一点,
所以tanα=,
则sin2α====.
故选:A.
【点评】本题考查了任意角的三角函数的定义,二倍角的正弦公式,同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用,考查了计算能力和转化思想,属于基础题.
5.(5分)已知向量,,且,若,则实数m的值为( )
A.0 B.﹣1 C. D.
【分析】结合向量数量积的坐标表示与模的坐标表示求解即可.
【解答】解:因为向量,且,
所以,得x=﹣1(舍)或x=2,
即,
所以,
所以,解得.
故选:D.
【点评】本题考查了平面向量数量积的性质和应用,属于基础题.
6.(5分)如图,长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=BC=2,若直线BC1与直线AC所成的角为60°,则该长方体的表面积为( )
A.48 B.32 C.24 D.12
【分析】根据题意可得直线BC1与直线AC所成的角为∠CAD1=60°,从而可得等腰三角形CAD1为等边三角形,从而可得该长方体为正方体,再计算表面积即可得解.
【解答】解:由题意可得AD1=CD1,∴△CAD1为等腰三角形,
又AD1∥BC1,∴直线BC1与直线AC所成的角为∠CAD1=60°,
∴△CAD1为等边三角形,∴CA=AD1=CD1,
故可得该长方体为正方体,
∴该几何体的表面积为6×4=24.
故选:C.
【点评】本题考查异面直线所成角,正方体的表面积,属基础题.
7.(5分)若直线l:kx﹣y+2﹣k=0与圆C:x2+y2﹣4x﹣2y﹣4=0交于A,B两点,则当△ABC周长最小时,k=( )
A. B. C.1 D.﹣1
【分析】由直线l的方程可得恒过定点P的坐标,由圆的方程可得圆心C坐标,求出直线CP的斜率,当直线CP⊥l时,可得△ABC周长最小,可得直线l的斜率.
【解答】解:当△ABC周长最小时,即2r+|AB|最小,即|AB|最小,而|AB|最小时,则圆心C到直线l的距离最大,
因为直线l:kx﹣y+2﹣k=0整理可得k(x﹣1)﹣y+2=0,即直线l恒过定点P(1,2),
当CP⊥l时,圆心C到直线的距离d最大,
由圆C:x2+y2﹣4x﹣2y﹣4=0可得圆心C(2,1)
这时kCP==﹣1,
所以直线l的斜率为1,即k=1,
故选:C.
【点评】本题考查直线与圆相交时弦长最小的求法,属于基础题.
8.(5分)将函数图象上所有点的横坐标变为原来的,再向左平移φ(φ>0)个单位长度,得到函数g(x)的图象,若对任意的x∈R,均有成立,则φ的最小值为( )
A. B. C. D.
【分析】由题意,利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,正弦函数的最大值,求得φ的最小值.
【解答】解:将函数图象上所有点的横坐标变为原来的,可得y=sin(2x+)的图象;
再向左平移φ(φ>0)个单位长度,得到函数g(x)=sin(2x+2φ+)的图象,
若对任意的x∈R,均有成立,故g()=sin(2φ+)=1,故2φ+=2kπ+,k∈Z,
则令k=0,可得φ的最小值为,
故选:B.
【点评】本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,正弦函数的最大值,属于中档题.
9.(5分)某企业秉承“科学技术是第一生产力”的发展理
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