人教版数学九年级上册专项培优练习十二《旋转综合题专练》（含答案）

人教版数学九年级上册专项培优练习十二 《旋转综合题专练》 1.如图，K是正方形ABCD内一点，以AK为一边作正方形AKLM，使L，M，D在AK的同旁，连接BK和DM，试用旋转的思想说明线段BK与DM的关系． 2.如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=30°. (1)操作发现 如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空： ①线段DE与AC的位置关系是　　　　　　； ②设△BDC的面积为S1，△AEC的面积为S2，则S1与S2的数量关系是　　　　　　. (2)猜想论证 当△DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小明猜想(1)中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想. (3)拓展探究 已知∠ABC=60°，点D是角平分线上一点，BD=CD=4，DE∥AB交BC于点E(如图4).若在射线BA上存在点F，使S△DCF=S△BDE，请直接写出相应的BF的长. 3.如图1，已知点C为线段AB上一点，△ACM，△CBN都是等边三角形，AN交MC于点E，BM交CN于点F. (1)求证：AN=BM； (2)求证：△CEF为等边三角形； (3)将△ACM绕点C按逆时针方向旋转90°，其他条件不变，在图2中补出符合要求的图形，并判断第(1)、(2)两小题的结论是否仍然成立(不要求证明). 4.已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，有一个圆心角为45°，半径的长等于CA的扇形CEF绕点C旋转，且直线CE，CF分别与直线AB交于点M，N． (Ⅰ)当扇形CEF绕点C在∠ACB的内部旋转时，如图1，求证：MN2=AM2+BN2； (思路点拨：考虑MN2=AM2+BN2符合勾股定理的形式，需转化为在直角三角形中解决．可将△ACM沿直线CE对折，得△DCM，连DN，只需证DN=BN，∠MDN=90°就可以了．请你完成证明过程．) (Ⅱ)当扇形CEF绕点C旋转至图2的位置时，关系式MN2=AM2+BN2是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 5.如图①，A是线段BC上一点，△ABD和△ACE都是等边三角形. (1)连结BE，DC，求证：BE=DC. (2)如图②，将△ABD绕点A顺时针旋转得到△AB′D′. ①当旋转角为 度时，边AD′落在AE上. ②在①的条件下，延长DD′交CE于点P，连结BD′，CD′. 当线段AB，AC满足什么数量关系时，△BDD′与△CPD′全等？并给予证明. 6.请认真阅读下面的数学小探究系列，完成所提出的问题. (1)探究1：如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连结CD.求证：△BCD的面积为a2；(提示：过点D作BC边上的高DE，可证△ABC≌△BDE) (2)探究2：如图2，在一般的Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连结CD.请用含a的式子表示△BCD的面积，并说明理由； (3)探究3：如图3，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，BC＝a，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连结CD.试探究用含a的式子表示△BCD的面积，要有探究过程. 7.在图1至图3中，点B是线段AC的中点，点D是线段CE的中点.四边形BCGF和CDHN都是正方形.AE的中点是M，FH的中点是P. (1)如图1，点A、C、E在同一条直线上，根据图形填空： ①△BMF是 三角形； ②MP与FH的位置关系是 ，MP与FH的数量关系是 ； (2)将图1中的CE绕点C顺时针旋转一个锐角，得到图2，解答下列问题： ①证明：△BMF是等腰三角形； ②(1)中得到的MP与FH的位置关系与数量关系的结论是否仍然成立？证明你的结论； (3)将图2中的CE缩短到图3的情况，(2)中的三个结论还成立吗？(成立的不需要说明理由，不成立的需要说明理由) 8.在平面直角坐标系中，O为原点，点A(﹣2，0)，点B(0，2)，点E，点F分别为OA，OB的中点.若正方形OEDF绕点O顺时针旋转，得正方形OE′D′F′，记旋转角为α. (Ⅰ)如图①，当α=90°时，求AE′，BF′的长； (Ⅱ)如图②，当α=135°时，求证AE′=BF′，且AE′⊥BF′； (Ⅲ)若直线AE′与直线BF′相交于点P，求点P的纵坐标的最大值(直接写出结果即可). 9.在平面直角坐标系中,O为原点,点A（4,0），点B（0,3），把△ABO绕点B逆时针旋转，得△A′BO′,点A，O旋转后的对应点为A′,O′,记旋转角为α． （Ⅰ）如图①,若α=90°,求AA′的长； （Ⅱ）如图②,若α=120°,求点O′的坐标； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下,边OA上 的一点P旋转后的对应点为P′,当O′P+BP′取得最小值时,求点P′的坐标（直接写出结果即可） 10.探究问题： (1)方法感悟： 如图①，在正方形ABCD中，点E，F分别为DC，BC边上的点，且满足∠EAF=45°，连接EF，求证DE+BF=EF. 感悟解题方法，并完成下列填空： 将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，此时AB与AD重合，由旋转可得： AB=AD，BG=DE，∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°， ∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°， 因此，点G，B，F在同一条直线上. ∵∠EAF=45°∴∠2+∠3=∠BAD﹣∠EAF=90°﹣45°=45°. ∵∠1=∠2，∴∠1+∠3=45°. 即∠GAF=∠　FAE　. 又AG=AE，AF=AF ∴△GAF≌　 　. ∴　 　=EF，故DE+BF=EF. (2)方法迁移： 如图②，将Rt△ABC沿斜边翻折得到△ADC，点E，F分别为DC，BC边上的点，且∠EAF=∠DAB.试猜想DE，BF，EF之间有何数量关系，并证明你的猜想. (3)问题拓展： 如图③，在四边形ABCD中，AB=AD，E，F分别为DC，BC上的点，满足∠EAF=∠DAB，试猜想当∠B与∠D满足什么关系时，可使得DE+BF=EF.请直接写出你的猜想(不必说明理由). 11.如图1，四边形ABCD是正方形，点E是AB边的中点，以AE为边作正方形AEFG，连接DE，BG. (1)发现 ①线段DE、BG之间的数量关系是　 　； ②直线DE、BG之间的位置关系是　 　. (2)探究 如图2，将正方形AEFG绕点A逆时针旋转，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由. (3)应用 如图3，将正方形AEFG绕点A逆时针旋转一周，记直线DE与BG的交点为P，若AB=4，请直接写出点P到CD所在直线距离的最大值和最小值. 12.如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，点E，F分别在四边形ABCD的边BC，CD上，∠EAF=∠BAD，连接EF，试猜想EF，BE，DF之间的数量关系． （1）思路梳理 将△ABE绕点A逆时针旋转至△ADG，使AB与AD重合，由∠B+∠ADC=180°，得∠FDG=180°，即点F，D，G三点共线，易证△AFG≌　 　，故EF，BE，DF之间的数量关系为　 　； （2）类比引申 如图2，在图1的条件下，若点E，F由原来的位置分别变到四边形ABCD的边CB，DC延长线上，∠EAF=∠BAD，连接EF，试猜想EF，BE，DF之间的数量关系，并给出证明． （3）联想拓展 如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D，E均在边BC上，且∠DAE=45°，若BD=1，EC=2，则DE的长为　 　． 13.如图1，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD=AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点． （1）观察猜想： 图1中，线段PM与PN的数量关系是　 　，位置关系是　 　； （2）探究证明： 把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由； （3）拓展延伸： 把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD=4，AB=10，请直接写出△PMN面积的最大值． 14.正方形ABCD中，E是CD边上一点， (1)将△ADE绕点A按顺时针方向旋转，使AD、AB重合，得到△ABF，如图1所示.观察可知：与DE相等的线段是　 ，∠AFB= 　 　. (2)如图2，正方形ABCD中，P、Q分别是BC、CD边上的点，且∠PAQ=45°，试通过旋转的方式说明：DQ+BP=PQ (3)在(2)题中，连接BD分别交AP、AQ于M、N，你还能用旋转的思想说明BM2+DN2=MN2. 15.在锐角△ABC中，AB=4，BC=5，∠ACB=45°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1BC1． （1）如图1，当点C1在线段CA的延长线上时，求∠CC1A1的度数； （2）如图2，连接AA1，CC1．若△ABA1的面积为4，求△CBC1的面积； （3）如图3，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点是点P1，求线段EP1长度的最大值与最小值． 参考答案 1.解：BK与DM的关系是互相垂直且相等． ∵四边形ABCD和四边形AKLM都是正方形， ∴AB=AD，AK=AM，∠BAK=90°﹣∠DAK，∠DAM=90°﹣∠DAK， ∴∠BAK=∠DAM， ∴△ABK≌△ADM（SAS）． 把△ABK绕A逆时针旋转90°后与△ADM重合， ∴BK=DM且BK⊥DM． 2.解：(1)①∵△DEC绕点C旋转点D恰好落在AB边上，∴AC=CD， ∵∠BAC=90°﹣∠B=90°﹣30°=60°， ∴△ACD是等边三角形，∴∠ACD=60°， 又∵∠CDE=∠BAC=60°，∴∠ACD=∠CDE，∴DE∥AC； ②∵∠B=30°，∠C=90°，∴CD=AC=AB，∴BD=AD=AC， 根据等边三角形的性质，△ACD的边AC、AD上的高相等， ∴△BDC的面积和△AEC的面积相等(等底等高的三角形的面积相等)，即S1=S2； 故答案为：DE∥AC；S1=S2； (2)如图，∵△DEC是由△ABC绕点C旋转得到，∴BC=CE，AC=CD， ∵∠ACN+∠BCN=90°，∠DCM+∠BCN=180°﹣90°=90°，∴∠ACN=∠DCM， ∵在△ACN和△DCM中，，∴△ACN≌△DCM(AAS)，∴AN=DM， ∴△BDC的面积和△AEC的面积相等(等底等高的三角形的面积相等)，即S1=S2； (3)如图，过点D作DF1∥BE，易求四边形BEDF1是菱形， 所以BE=DF1，且BE、DF1上的高相等，此时S△DCF1=S△BDE； 过点D作DF2⊥BD，∵∠ABC=60°，F1D∥BE，∴∠F2F1D=∠ABC=60°， ∵BF1=DF1，∠F1BD=∠ABC=30