四川省巴中市2022年高一上学期数学期中考试试卷解析版

高一上学期数学期中考试试卷 一、多选题 1．下列关系中正确的是（　　） A． B． C． D． 二、单选题 2．（　　） A． B．5 C． D．25 3．现向一个半径为R的球形容器内匀速注入某种液体，下面图形中能表示在注入过程中容器（球形部分）的液面高度h随时间t变化的函数关系的是（　　） A． B． C． D． 4．若且，则下列不等式成立的是（　　） A． B． C． D． 5．在定义域内既是奇函数又是减函数的是（　　） A． B． C． D． 6．已知，，，则（　　） A． B． C． D． 7．对任意实数且关于x的函数图象必过定点(　　) A． B． C． D． 8．函数的值域为（　　） A． B． C． D． 9．若不等式的解集为，则函数的图象可以为（　　） A． B． C． D． 10．函数（　　） A．是上的减函数 B．是上的增函数 C．在上是减函数，在上是增函数 D．无法判断其单调性 11．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用他的名字命名了“高斯函数”.设 ，用 表示不超过 的最大整数，则 称为高斯函数.例如： ， ，已知函数 ，则下列选项中，正确的是（　　） A． 的最大值为1，没有最小值 B． 的最小值为0，没有最大值 C． 没有最大值，没有最小值 D． 的最大值为1，最小值为0 12．记，，已知，分别是奇函数和偶函数，且在上单调递减，设函数，若，则（　　） A． B． C． D． 三、填空题 13．　 　． 14．已知正实数，满足，则的最小值为　 　． 15．函数的单调递增区间是　 　． 16．已知函数 是定义在R上的奇函数，若对任意给定的实数 ， 恒成立，则不等式 的解集是　 　. 四、解答题 17．设全集，集合，. （1）求及； （2）求. 18．已知函数 （1）画出函数 的图象； （2）求 的值； （3）当 时，求x的取值范围. 19．美国对中国芯片的技术封锁激发了中国“芯”的研究热潮.某公司研发的，两种芯片都已经获得成功.该公司研发芯片已经耗费资金2千万元，现在准备投入资金进行生产.经市场调查与预测，生产芯片的毛收入与投入的资金成正比，已知每投入1千万元，公司获得毛收入0.25千万元；生产芯片的毛收入（千万元）与投入的资金（千万元）的函数关系为，其图像如图所示. （1）试分别求出生产，两种芯片的毛收入（千万元）与投入资金（千万元）的函数关系式； （2）现在公司准备投入40千万元资金同时生产，两种芯片，求可以获得的最大利润是多少. 20． （1）已知，证明：； （2）设，，求证：． 21．已知，函数． （1）设，判断函数的奇偶性，请说明理由； （2）设，函数在区间上既有最大值又有最小值，请分别求出m，n的取值范围．（只要写出结果，不需要写出解题过程） 22．已知函数． （1）试判断函数在区间上的单调性，并用函数单调性定义证明； （2）对任意时，都成立，求实数的取值范围． 答案解析部分 1．【答案】A,C 【解析】【解答】解：对A：因为空集是任何非空集合的真子集，所以，A符合题意； 对B：因为空集没有任何元素，所以错误，B不符合题意； 对C：由子集的定义可得，C符合题意； 对D：因为不一定等于，所以错误， D不符合题意. 故答案为：AC. 【分析】由已知条件结合元素与集合、集合与集合之间的关系，由此对选项逐一判断即可得出答案。 2．【答案】C 【解析】【解答】 故答案为：C 【分析】根据题意由指数幂的运算性质，整理化简计算出结果即可。 3．【答案】D 【解析】【解答】球形容器底部和顶部截面较小，中间截面较大， 注水时高度h呈现先快后慢后快过程， 图象表现先陡后平后陡，结合图象可知D符合题意， 故答案为：D 【分析】根据题意由已知条件把实际问题转化为数学问题，由函数单调性图象的性质即可得出答案。 4．【答案】D 【解析】【解答】对于A中，令，此时满足，但，所以A项不一定成立； 对于B中，令，此时满足，但，所以B项不一定成立； 对于C中，当，可得，所以C项不一定成立； 对于D中，因为，根据不等式的基本性质，可得成立，所以D符合题意. 故答案为：D. 【分析】由已知条件结合不等式的基本性质，由此对选项逐一判断即可得出答案。 5．【答案】C 【解析】【解答】A反比例函数，是奇函数，但在定义域下不是单调递减的；B“对号”函数奇函数，在递减，在递增，不是单调递减函数；C中，，是奇函数，也满足单调递减，所以正确；D中，分段函数，是奇函数，但不满足单调递减，因为在衔接处不递减； 故答案为：C. 【分析】由已知条件结合反比例函数、一次函数以及分段函数的单调性，结合奇偶函数的定义，对选项逐一判断即可得出答案。 6．【答案】B 【解析】【解答】设函数，又， ∴在上为增函数，得； 设函数，又， ∴在上为减函数，得． 综上所述，，即。 故答案为：B． 【分析】利用已知条件结合指数函数的单调性，再结合与特殊值对应的指数的大小关系比较，从而比较出a，b，c的大小。 7．【答案】C 【解析】【解答】∵且，∴1－a＞0且1－a≠1，故函数是指数函数，过定点(0，1)，则过定点(0，5). 故答案为：C. 【分析】由指数函数的图象和性质，结合整体思想把点的坐标代入计算出结果即可。 8．【答案】B 【解析】【解答】令，则且 又因为， 所以，所以， 即函数的值域为， 故答案为：B. 【分析】由二次函数的图象和性质，即可得出函数的最值，从而得出函数的值域。 9．【答案】C 【解析】【解答】由题可得和是方程的两个根，且， ，解得， 则， 则函数图象开口向下，与轴交于. 故答案为：C. 【分析】根据题意由一元二次不等式与一元二次方程之间的关系，由韦达定理计算出a与c的取值，从而得出函数的解析式，然后结合二次函数的图象和性质即可得出答案。 10．【答案】B 【解析】【解答】因为指数函数为上的增函数，指数函数为上的减函数， 故函数是上的增函数. 故答案为：B. 【分析】由指数函数的图象和性质，结合复合函数的单调性，整理化简对选项逐一判断即可得出答案。 11．【答案】B 【解析】【解答】由高斯函数的定义可得： 当 时， ，则 ， 当 时， ，则 ， 当 时， ，则 ， 当 时， ，则 ， 易见该函数具有周期性，绘制函数图象如图所示， 观察可得函数有最小值0，没有最大值. 故答案为：B. 【分析】 由题中的定义首先确定函数的解析式和函数图象的特征，然后结合函数的图象即可确定函数的最值的情况. 12．【答案】D 【解析】【解答】由已知可得： ， ，分别是奇函数和偶函数， ， 显然无法判断的符号； ， 因为是奇函数，且在上单调递减， 所以当时，， 即； 故答案为：D 【分析】由已知条件结合奇偶函数的定义，整理化简即可得出函数的解析式，然后由把点的坐标代入对选项逐一判断即可得出答案。 13．【答案】26 【解析】【解答】 故答案为：26 【分析】结合题意由指数幂的运算性质，计算出结果即可。 14．【答案】 【解析】【解答】因为，所以， 当且仅当时，等号成立， 所以， 所以的最小值为， 故答案为：. 【分析】由已知条件整理化简原式，然后由基本不等式即可得出原式的最小值。 15．【答案】 【解析】【解答】函数的图象如图所示： 由图象知：其单调递增区间是， 故答案为： 【分析】根据题意由绝对值的几何意义整理化简函数的解析式，从而得出函数的图象由数形结合法即可得出函数的单调区间。 16．【答案】 【解析】【解答】对任意给定的实数 ， 恒成立， 整理得： ，即 . 从而得函数 是R上的减函数. 又函数 是定义在R上的奇函数，有 . 所以当 时， ，当 时， . 所以不等式 ，有： 或 . 即 或 . 解得： . 故答案为 . 【分析】由题意可得，函数在R上是减函数，再根据函数为奇函数，可得，得到关于x的不等式组，由此求得x的范围。 17．【答案】（1）解：因为，， 所以， （2）因为，所以， 所以. 【解析】【分析】（1）利用已知条件结合交集和并集的运算法则，从而求出集合 及。 （2） 利用已知条件结合交集和补集的运算法则，从而求出集合 。 18．【答案】（1）函数 的图象如下图所示： （2） ； （3）当 时， ； 当 时， ，符合题意； 当 时， ， 综上所述：x的取值范围为： . 【解析】【分析】（1）根据解析式直接画出分段函数的图象； （2）直接代入相应的解析式求函数值即可； （3）分类讨论解不等式 ，再求并集即可。 19．【答案】（1）解：因为生产芯片的毛收入与投入的资金成正比，所以设，因为当时，，所以，所以，即生产芯片的毛收入（千万元）与投入资金（千万元）的函数关系式为， 对于生产芯片的，因为函数图像过点，所以 ，解得，所以，即生产芯片的毛收入（千万元）与投入的资金（千万元）的函数关系为 （2）解：设投入千万元生产芯片，则投入千万元生产芯片，则公司所获利用 ， 所以当，即千万元时，公司所获利润最大，最大利润为9千万元 【解析】【分析】(1)根据题意由已知的图象结合已知条件即可得出函数的解析式。 (2)由已知条件整理化简函数的解析式，然后由二次函数的图象和性质即可得出函数的最值，从而得出答案。 20．【答案】（1）证明：因为， 所以， ， 所以， 又， 所以，即， 所以 （2）证明：因为，， 所以，， 所以. 【解析】【分析】(1)由分析法结合题意整理化简原式，然后由a的取值范围结合单调性的定义由此即可得证出结论。 (2)根据题意由已知条件即可得出函数的解析式，代入整理化简从而得出答案。 21．【答案】（1）解：当时，， 其图象如图所示： 由图象知：函数既不是奇函数也不偶函数 （2）解：， 当时，由，解得， 因为函数在区间上既有最大值又有最小值， 如图所示： 所以，， 当时，由，解得， 因为函数在区间上既有最大值又有最小值， 如图所示： 所以，. 【解析】【分析】(1)由a的取值即可得出函数的解析式，然后由二次函数的通项和性质即可作出函数f(x)的图象，结合奇偶函数的定义即可得出答案。 (2)首先由绝对值的几何意义整理化简即可得出函数的解析式，再由题意求解出x的取值，结合二次函数的图象和性质作出函数的图象，然后由数形结合法即可得出满足题意的m与n的取值范围。 22．【答案】（1）解：函数在区间上单调递减，以下证明：设， ∵， ∴，，， ∴， ∴在区间上单调递减 （2）解：由（2）可知在上单调减函数， ∴当时，取得最小值，即， 对任意时，都成立，只需成立， ∴，解得：. 【解析】【分析】(1)根据题意由函数单调性的定义整理化简，即可得出函数的单调性以及单调区间。 (2)由函数的单调性即可得出函数的最值，由此得出不等式再结合指数函数的单调性即可求解出m的取值范围。