山东省烟台市2022年高二上学期数学期中考试试卷解析版

高二上学期数学期中考试试卷 一、单选题 1．已知向量 ， ，若 ，则 （　　） A．2 B． C．-2 D． 2．已知直线 与直线 垂直，则实数a的值为（　　） A． B． C． 或 D．不存在 3．如果AB>0，BC>0，那么直线Ax-By-C=0不经过的象限是 (　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．如图，在三棱锥 中，点E，F分别是 ， 的中点，点G满足 ，若 ， ， ，则 （　　） A． B． C． D． 5．已知空间向量 ， ，则向量 在向量 上的投影向量是（　　） A． B． C． D． 6．已知圆 上有三个点到直线 的距离等于1，则 的值为（　　） A． B． C．±1 D．1 7．我国古代数学名著《九章算术》中记载的“刍甍”（ ）是指底面为矩形，顶部只有一条棱的五面体．如图，五面体 是一个刍甍，其中 是正三角形，平面 平面 ， ，则直线 与直线 所成角的余弦值为（　　） A． B． C． D． 8．已知直角 的斜边长为4，以斜边 的中点O为圆心作半径为3的圆交直线 于M，N两点，则 的值为（　　） A．78 B．72 C．68 D．62 二、多选题 9．下列说法正确的是（　　） A．任意两个空间向量都共面 B．若向量 ， 共线，则 与 所在直线平行 C．在空间直角坐标系 中，点 关于z轴的对称点坐标为 D．已知空间中向量 ， ， ，则对于空间中任意一个向量 总存在实数x，y，z，使得 10．下列说法正确的有（　　） A．若直线的倾斜角为 ，则直线的斜率为 B．点 关于直线 的对称点为 C．圆 与圆 可能内含、内切或相交 D．若圆 与圆 相离，则 11．平面直角坐标系 中，点 ，圆 与x轴的正半轴交于点Q，则（　　） A．点P到圆O上的点的距离最大值为 B．过点P且斜率为1的直线被圆O截得的弦长为 C．过点P与圆O相切的直线方程为 D．过点P的直线与圆O交于不同的两点A，B，则直线 ， 的斜率之和为定值-1 12．如图，在长方体 中， ，点P满足 ， ， ， ，则下列结论正确的有（　　） A．当 时， B．当 时， 平面 C．当 ， 时，三棱锥 的体积为定值 D．当 ， 时， 与平面 所成角的正切值为 三、填空题 13．过不同两点 ， 的直线l的一个方向向量坐标为 ，则实数m的值为　 　． 14．在棱长为 的正方体 中，直线 到平面 的距离为　 　． 15．一束光线从点 射出，经y轴反射后，与圆 相交，则反射光线所在直线的斜率k的取值范围是　 　． 16．如图，教室里悬挂着日光灯 ， ，灯线 ，将灯管绕着 中点O的铅垂线 顺时针旋转60°至 ，且始终保持灯线绷紧，则旋转后灯管升高的高度为　 　cm． 四、解答题 17．如图，在四面体 中，E，F，G，H分别是 ， ， ， 的中点． （1）若 ， ，求证： ； （2）设 ，O为空间中任意一点，求证： ． 18．已知圆 ，圆 ． （1）证明：圆 与圆 相交，并求出圆 与圆 的公共弦所在直线l的方程； （2）过直线l上一点 作圆 的切线，切点分别为A，B，求四边形 的面积． 19．如图，平行六面体 中，M，N分别为 ， 的中点． （1）证明： 平面 ； （2）若四边形 和 均为正方形， 与平面 所成的角为 ，求平面 与平面 夹角的余弦值． 20．在直角坐标系 中，线段 ，且两个端点M、N分别在x轴和y轴上滑动． （1）求线段 的中点C的轨迹方程； （2）若直线 ． ①证明直线l与曲线C恒有两个不同交点； ②求直线l被曲线C截得的最短弦长． 21．如图，边长为 的菱形 中， ， 分别为 的中点，沿 将 折起，使得平面 平面 ． （1）证明：平面 平面 ； （2）在棱 上是否存在一点 ，使得直线 与平面 所成的角最大？若存在，求 的长度，若不存在，说明理由． 22．已知圆 ，点 ，过x轴下方一点Q作圆C的切线与x轴分别交于 ， 两点． （1）过点P的直线l被圆C截得的弦长为 ，求直线l的方程； （2）当 时，求点Q的坐标； （3）求 面积的最大值． 答案解析部分 1．【答案】D 【解析】【解答】 ，则 ，即 ， 故 ，解得 ，故 . 故答案为：D. 【分析】 根据空间向量平行的概念，得出它们的对应坐标成比例，求出的值，进而得答案. 2．【答案】C 【解析】【解答】当 时，直线 ，直线 ，两直线垂直，符合题意； 当 时，由两直线垂直可得 ，解得 或1（舍去）， 综上所述， 或 . 故答案为：C 【分析】利用两直线垂直的性质可得，求解可得实数a的值。 3．【答案】B 【解析】【解答】由得：，因为，，所以直线经过的象限是第一、三、四象限，不经过第二象限。 【分析】 本题主要考查直线方程的斜率和截距的几何意义，属于基础题型。 4．【答案】B 【解析】【解答】由空间的向量的运算法则， 可得 . 故答案为：B. 【分析】 利用平面向量的线性表示，结合向量加法的三角形法则，即可求出答案. 5．【答案】A 【解析】【解答】根据题意， ， 在 上的投影向量可为 故答案为：A. 【分析】 由向量 在向量 上的投影向量为，计算即可求出答案。 6．【答案】A 【解析】【解答】由圆 可得圆心 ，半径 ， 因为圆 上有三个点到直线 的距离等于1， 所以圆心 到直线 的距离 ， 可得： ， 故答案为：A. 【分析】 根据题意，分析圆的圆心与半径，结合直线与圆的位置关系分析可得圆心 到直线 的距离为1，计算即可得答案. 7．【答案】C 【解析】【解答】将 平移到下图中 的位置，再连接 ，则 的大小即为直线 与直线 所成的角. 由 ，设 ，则可得 ， ， 在 中，由余弦定理有 . 故答案为：C. 【分析】将 平移到下图中 的位置，连接 ，可得 的大小即为直线 与直线 所成的角，设 ，利用余弦定理可求得直线 与直线 所成角的余弦值。 8．【答案】D 【解析】【解答】如图，以线段BC的中点O为原点，BC所在直线为x轴建立直角坐标系 根据题意，图中各点的坐标分别表示为 设点A的坐标为 ，则 . 故答案为：D. 【分析】运用数形结合的思想，用点A的坐标表示出需要求解的代数式，再计算求解其值即可。 9．【答案】A,C 【解析】【解答】对于A，因为向量是可以平移的，所以无论两个向量处在什么样的位置，平移后总能到一个平面上的，所以是共面的，A符合题意； 对于B，向量 ， 共线，若向量 ， 所在的向量在同一直线上，则 与 所在直线重合，B不正确； 对于C，根据空间点的对称性可知 关于z轴的对称点坐标为 ， C符合题意； 对于D，已知空间中向量 ， ， ，不共面，则对于空间中任意一个向量 总存在实数x，y，z，使得 ，D不正确. 故答案为：AC. 【分析】根据空间向量的性质，概念及空间点的对称性可作出判断。 10．【答案】B,C 【解析】【解答】解：对于A：当直线的倾斜角 时，直线的斜率不存在， 无意义，A不符合题意； 对于B：设点 关于直线 对称的点的坐标为 ，则 ，解得 ，故对称的点的坐标为 ，B符合题意； 对于C：圆 的圆心为 ，半径为 ，圆 的圆心为 ，半径为4，所以圆心之间的距离 ，则两圆不会相外切与相离，可能内含、内切或相交，C符合题意； 对于D：圆 圆心 ，半径为 ，圆 圆心 ，半径为 ，若两圆相离， 因为 ，所以 或 ， 所以 或 ，D不符合题意. 故答案为：BC 【分析】根据斜率与倾斜角的定义判断A；设对称的点的坐标为 ，依题意得到方程组，解得a，b，即可判断B；求出两圆心之间的距离，即可判断C，D。 11．【答案】A,B,D 【解析】【解答】对于A，点P到圆O上的点的距离最大值为P到O的距离与圆O的半径之和，即为 ，A符合题意； 对于B ，过点P且斜率为1的直线为 ，则圆心O到该直线的距离为 ，由圆的弦长公式知，弦长为 ，B符合题意； 对于C，圆心坐标为 ，半径 ，则圆心 到直线 的距离为 ，符合题意； 当直线的斜率存在时，设斜率为k，直线方程为 ，即 ，则圆心 到直线的距离为 ，解得 ，则直线方程为 ， 综上，过点P与圆O相切的直线方程为 和 .C不正确； 对于D，由题意知点 ，联立 得 ， 设 ，则 ， 所以 . D符合题意. 故答案为：ABD 【分析】点P到圆O上的点的距离最大值为P到O的距离与圆O的半径之和，从而判断选项A；先求出过点P且斜率为1的直线方程，再求出圆心O到该直线的距离，可判断选项B；当直线的斜率存在时，设斜率为k，直线方程为 ， 由圆心到直线的距离等于半径求得k，即可求得切线方程，从而判断选项C；设A， B的坐标，直线与圆联立求出两根之和及两根之积，进而求出的代数式，将两根之和及两根之积代入可得为定值，即可判断D. 12．【答案】B,C,D 【解析】【解答】以 为坐标原点， 为 轴可建立如图所示空间直角坐标系， 则 ， ， ， ， ， ， ， ，则 ， ， ； 对于A，设 ，则 ， 又 ， ， 不恒成立，A不符合题意； 对于B，当 时， 四点共面，即 平面 ； ， 平面 ， 平面 ， 平面 ， 同理可得： 平面 ，又 ， 平面 ， 平面 平面 ， 平面 ，B符合题意； 对于C，设 ，则 ， 设 ，则 ， ， ， ， ， ； 平面 ， 平面 的一个法向量为 ， 点 到平面 的距离 ，又 ， ，即三棱锥 的体积为定值 ，C符合题意； 对于D，当 ， 时， ， 设 ，则 ， ， ， ， ， ， 平面 ， 平面 的一个法向量 ， 设 与平面 所成角为 ，则 ， ，即 与平面 所成角的正切值为 ，D符合题意. 故答案为：BCD. 【分析】以 为坐标原点， 为 轴可建立如图所示空间直角坐标系，当 时，得，可判断A选项的正误；当 时， 四点共面，由面面平行的性质可得 平面 ，可判断B选项的正误； 当 ， 时，利用点到面的向量求法可求得点 到平面 的距离，利用棱锥的体积公式可得，可判断C选项的正误；当 ， 时，利用线面角的向量求法求得，进而得到，可判断D选项的正误。 13．【答案】-2 【解析】【解答】由题知， ，设直线的方向向量为 ，则 ， 即 ，得 ，解得 或 ， 当 时， ，显然不满足题意，排除，当 时， ，符合题意. 故答案为：-2 【分析】求出的坐标，设直线的方向向量为 ，得，利用坐标表示可得，求解可得m的值，检验可得实数m的值。 14．【答案】 【解析】【解答】以 为坐标原点， 为 轴建立如图所示空间直角坐