工科数学分析版本一课件 2.2求导的基本法则

定理 2:设函数 在点 处可导,则函数在点 处也可导,且四第2节 求导的基本法则证明:注:和与积的导数公式可以推广到任意有限多个函数.例如:例1.求下列函数的导数：解:类似地可得例 2.,求解:例 4.解:故注：本题用导数定义也很简单，不妨一试。注：本题用导数定义也很简单，不妨一试。例5.解:定理3 设函数 在区间 内单调,解:解:的反函数为于是 的反函数为于是同理可得:定理 4或2.3 复合函数求导法则证链锁法则复即:例 9 ,求 .例10解:解例11.求下列函数的导数:解 (1)当 时,因而当 时,*例12.求下列函数的导数:其中 可导.*抽象函数的导数:其中 可导.例13.求下列函数的导数:2.4 隐函数的导数（1）.显函数与隐函数等号左边是因变量的符号,而右端是含有自变量的式子，当自变量取定义域内任一值时,由此式子可确定对应的函数值。用这种方式表达的函数称为显函数显函数。而有些函数的表达方式不是这样的。例如隐函数。（2）.隐函数的导数隐例17解：把y看作x的函数,方程两边对x 求导，得：在点 处切线斜率 法线斜率 因此所求切线与法线方程分别为 与例182.5 由参数方程所确定的函数的导数由参数方程所确定的函数可以看成是由函数 复合而成的复合函数.由复合函数与反函数的求导法则,得设参数方程 确定 了 y 与 x 之间的函数关系,且 可导,有反函数参例14.已知抛射体的运动轨迹（弹道曲线）的参数方程为求抛射体在时刻 t 的运动速度的大小和方向。解：因所以速度的大小为速度的方向也就是轨道的切线方向，切线斜率为例15.设求解:例16.已知极坐标曲线时，求曲线上相应点处的切线方程。解：故所求的切线方程为：与相对应的点为则其导数称为函数 在 处的二阶导数,记为:或 或即:如果 的导函数 在 处可导，类似地定义 的二阶导数 在点 的导数为2.6 高阶导数或 或在点 的三阶导数,记作:一般地,的 阶导数 在点 的导数称为在点 的 阶导数(简称为 阶导数),记作:高或 或二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数,函数具有 阶导数,常说成函数 阶可导.例19.,求 及 .解:例20.求下列函数的 阶导数:解:一般地,可得:特别,一般地,可得:类似地,可得:解：应用隐函数的求导法,得 上式两边再对 求导,得:例21解:例15.设求定理 5莱布尼兹莱布尼兹(Leibuiz)公式公式L莱布尼茨莱布尼茨(G.W.Leibniz)(G.W.Leibniz)德国德国 数学家数学家 哲学家哲学家(1646-1716)(1646-1716)莱布尼兹莱布尼兹(1646 1716)德国 数学家,哲学家.他和牛顿同为微积分的创始人,他在学艺杂志上发表的几篇有关微积分学的论文中,有的早于牛顿,所用微积分符号也远远优于牛顿.他还设计了作乘法的计算机,系统地阐述二进制计数法,并把它与中国的八卦联系起来.例 23.,求 .解:设 则于是,解:例24.求下列函数的 n 阶导数:技例25.解:2.7 相关变化率在某种对应关系,如果已知 x(或 y)对 t 的变化率,要求设都是可导函数,变量 x 和 y 之间存y(或 x)对 t 的变化率,这种问题称为相关变化率问题相关变化率问题。例26.一气球从离开观察员 500米处离地面铅直上升 其速率为 140 米/秒。当气球高度为 500 米时 ，观察员视线的仰角增加率是多少？解：设气球上升 t 秒后其高度为 h，观察员的仰角其中都是时间 t 的函数。相上式两边对 t 求导，得：即观察员视线的仰角增加率是 0.14 弧度/秒。代入上式得 例 28.甲船向正南乙船向正东直线航行,开始时甲船恰在乙船正北 40 km处,后来在某一时刻测得甲船向南航行了 20 km,此时速率为 15km/h;乙船向东航行了15 km,此时速率为 25km/h。问这时两船是在分离还是在接近，速率是多少？上式两边对 t 求导，得 解：如图，设在任一时刻 t 甲船航行的距离为 x(t)，乙船航行的距离为 y(t)，两船的距离为 z(t),则已知:当时,代入上式,得因为,所以观测时两船相距 25 里,正以3 km/h 的速率彼此远离。