2022-2023学年江西省赣州市石城第二中学高一数学理上学期期末试卷含解析

2022-2023学年江西省赣州市石城第二中学高一数学理上学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 点(a,b)关于直线x+y=0对称的点是                         (   ) A、(－a,－b)   B 、(a,－b)   C、(b,a)    D、(－b,－a) 参考答案： D 2. 已知函数值域为R,那么的取值范围是（     ） A．(－4,0)    B．[－4,0]     C．(－∞,－4] ∪[0,+∞)   D．(－∞,－4)∪(0,+∞) 参考答案： C f(x)值域为R，则 的最小值小于等于0，即 ， 解得 或，故选C。   3. 空间中，垂直于同一直线的两条直线（     ） A．平行    B．相交    C．异面     D．以上均有可能 参考答案： D 由题意得，根据空间中的线面位置关系或根据正方体为例，可得垂直于同一直线的两条直线可能平行、相交或异面。 4. 已知函数在上是增函数，则实数的取值范围是（   ） A．         B．       C.         D． 参考答案： C 试题分析：因函数的对称轴,由题设可得,故应选C. 考点：二次函数的图象和性质及运用. 5. 函数，若，则（      ） A.－5     B. －3          C．±3 D．±3及－5 参考答案： B 6. 已知的图象过点，则函数的反函数的图象必经过点     （     ） A、（2，1）         B、（0，1）          C、         D、（2，3） 参考答案： C 7. 下列命题正确的是                                                      （    ） A．单位向量都相等   B．若与是共线向量，与是共线向量，则与是共线向量          C．               D． 参考答案： D 8. 如图，过点的直线与函数的图象交于两点，则 等于(     ) A．         B．      C．       D．   参考答案： B 9. 已知函数则的值是    A.  B.  C.  D. 参考答案： C 略 10. 下列函数中，既是偶函数又在区间（0，＋）上单调递减的是 A.              B. C.            D. 参考答案： D 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c．已知sinB﹣sinC=sinA，2b=3c，则cosA=　　． 参考答案： 【考点】HR：余弦定理． 【分析】由已知可得b=，又利用正弦定理可得b﹣c=a，进而可得：a=2c，利用余弦定理即可解得cosA的值． 【解答】解：在△ABC中，∵2b=3c， ∴可得：b=， ∵sinB﹣sinC=sinA， ∴由正弦定理可得：b﹣c=a，可得：﹣c=a，整理可得：a=2c， ∴cosA===． 故答案为：． 12. 若，则与具有相同终边的最小正角为_________。  参考答案： 略 13. 直线与的交点坐标为________. 参考答案： （3，－1） 【分析】 直接联立方程得到答案. 【详解】联立方程解得即两直线的交点坐标为. 故答案为 【点睛】本题考查了两直线的交点，属于简单题. 14. 函数的定义域为             . 参考答案： 15. 直线被两平行线所截得的线段的长为，则的 倾斜角可以是①；②；③；④；⑤. 其中正确答案的序号是      . 参考答案： ①⑤ 16. 函数的定义域是  　▲ 　 ． 参考答案： 17. （5分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=AB=AA1，且异面直线AC1与A1B所成的角为60°，则∠CAB等于           ． 参考答案： 90° 考点： 异面直线及其所成的角． 专题： 空间角． 分析： 由已知条件，构造正方体ABDC﹣A1B1D1C1，由此能求出∠CAB=90°． 解答： 解：由已知条件，构造正方体ABDC﹣A1B1D1C1， 满足条件AC=AB=AA1， 且异面直线AC1与A1B所成的角为60°， ∴∠CAB=90°． 故答案为：90°． 点评： 本题考查异面直线所成角的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意构造法的合理运用． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分13分） 已知函数为偶函数． （1）求实数的值； （2）记集合，，判断与的关系； （3）当时，若函数的值域为，求的值. 参考答案： （1）∵为偶函数，∴  ， 即 即：R且,∴      ………………………………4分 （2）由（1）可知：   当时，；当时， ∴，  ……………………………………………………………………6分 而==， ∴.………………………………………………………………………………8分 (3) ∵， ∴在上单调递增. ………………………………………………………9分 ∴，∴，即， ∴m,n是方程的两个根，……………………………………………11分 又由题意可知，且，∴ ∴.…………………………………………………………………..13分 19. （本小题满分8分）已知全集U=R，，。 （1）求A、B；     （2）求． 参考答案： （1）； （2）； 20. (12分)如图，一架飞机以的速度，沿方位角的航向从A地出发向B地飞行，飞行了后到达E地，飞机由于天气原因按命令改飞C地，已知，且。问收到命令时飞机应该沿什么航向飞行，此时E地离C地的距离是多少？(参考数据：) 参考答案： 解：如图，连接，在中由余弦定理，得： ，则，…………………………1分 则，即是直角三角形，且，……………………………2分 又，则，…………3分 在中，由余弦定理，则有： ，则…………………………………4分 又则是等腰三角形，且，………………………………6分 由已知有，……………………………………………………………7分 在中，由余弦定理，有…………8分 又，则。……………………………………………9分 由飞机出发时的方位角为，则飞机由E地改飞C地的方位角为： ………………………………………………………………11分 答：收到命令时飞机应该沿方位角的航向飞行，E地离C地。………………12分   21. 一只口袋内装有形状、大小都相同的6只小球，其中4只白球，2只红球，从袋中随机摸出2只球． （1）求2只球都是红球的概率； （2）求至少有1只球是红球的概率． 参考答案： 【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率． 【分析】（1）利用古典概型概率公式，可得结论； （2）利用古典概型概率公式，可得结论； 【解答】解：把每个小球标上号码，4只白球分别记作：1，2，3，4， 2只红球分别记作：a，b，从袋中摸出2只球的结果为12，13， 14，1a，1b，23，24，2a，2b，34，3a，3b，4a，4b，ab共有15种结果， 因为是随机摸出2只球，所以每种结果出现的可能性都相等． （1）用A表示“摸出的2只球都是红球”，则A包含的结果为ab， 根据古典概型的概率计算公式，得． （2）解法1：用B表示“摸出的2只球中至少有1只是红球”，则B包含的结果为 1a，1b，2a，2b，3a，3b，4a，4b，ab共9种结果， 根据古典概型的概率计算公式，得． 解法2：用B表示“摸出的2只球中至少有1只球是红球”， 则包含的结果为12，13，14，23，24，34共6种结果， 根据对立事件的概率公式及古典概型的概率计算公式， 得． 故至少有1只球是红球的概率为． 22. 函数f（x）=loga（x﹣4）﹣1（a＞0，a≠1）所经过的定点为（m，n），圆C的方程为（x﹣m）2+（y﹣n）2=r2（r＞0），直线被圆C所截得的弦长为． （1）求m、n以及r的值； （2）设点P（2，﹣1），探究在直线y=﹣1上是否存在一点B（异于点P），使得对于圆C上任意一点T到P，B两点的距离之比（k为常数）．若存在，请求出点B坐标以及常数k的值，若不存在，请说明理由． 参考答案： 【考点】圆方程的综合应用． 【分析】（1）由题意和对数函数过定点可得m=5，n=﹣1，由圆的弦长公式可得r的方程，解方程可得； （2）假设在直线y=﹣1上存在一点B（异于点P）满足题意，下面证明：设T（x，y）为圆上任意一点，若点T在S和Q时，则有，解得，然后由距离公式证明在直线y=﹣1上存在一点，使得对于圆C上任意一点T到P，B两点的距离之比． 【解答】解：（1）在函数f（x）=loga（x﹣4）﹣1（a＞0，a≠1）中， 当x=5时，y=﹣1，∴必经过的定点为点（5，﹣1），即m=5，n=﹣1， 由于直线AP被圆C所截得的弦长为，圆C半径为r，设圆心到直线AP的距离为d， 由于圆心（5，﹣1）到直线的距离为， ∴，代入d值解方程可得r=5； （2）假设在直线y=﹣1上存在一点B（异于点P），使得对于圆C上任意一点T到P，B两点的距离之比（k为常数）． 圆与直线y=﹣1的交点为S（0，﹣1），Q（10，﹣1），设B（m，﹣1）（m≠2），而若点T在S和Q时，则有， 即，解得， 下面证明：设T（x，y）为圆上任意一点，则：， =， ∴在直线y=﹣1上存在一点，使得对于圆C上任意一点T到P，B两点的距离之比．