2021年黑龙江省哈尔滨市宾县第三中学高二数学理上学期期末试题含解析

2021年黑龙江省哈尔滨市宾县第三中学高二数学理上学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知抛物线上一点A的纵坐标为4，则点A到抛物线焦点的距离为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 参考答案： D 【考点】抛物线的简单性质． 【分析】先根据抛物线的方程求得准线的方程，进而利用点A的纵坐标求得点A到准线的距离，进而根据抛物线的定义求得答案． 【解答】解：依题意可知抛物线的准线方程为y=﹣1， ∴点A到准线的距离为4+1=5， 根据抛物线的定义可知点A与抛物线焦点的距离就是点A与抛物线准线的距离， ∴点A与抛物线焦点的距离为5， 故选：D． 2. 已知命题，则是 （    ） A． B． C． D． 参考答案： C 略 3. 通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好体育，得到如下的列联表：   男 女 总计 爱好 40 20 60 不爱好 20 30 50 总计 60 50 110     由公式算得：K2＝≈7.8.附表： P（K2≥k0） 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0  1.323 2.702 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 参照附表，得到的正确结论是(　　) A. 有99%以上的把握认为“爱好体育运动与性别有关” B. 有99%以上的把握认为“爱好体育运动与性别无关” C. 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好体育运动与性别有关” D. 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好体育运动与性别无关” 参考答案： A ，则有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”. 本题选择A选项. 点睛：独立性检验得出的结论是带有概率性质的，只能说结论成立的概率有多大，而不能完全肯定一个结论，因此才出现了临界值表，在分析问题时一定要注意这点，不可对某个问题下确定性结论，否则就可能对统计计算的结果作出错误的解释. 4. 过三角形ABC所在平面外的一点P，作PO⊥平面α，垂足为O，连PA、PB、PC，则下列命题①若PA=PB=PC，∠C=900，则O是ABC的边AB的中点；②若PA=PB=PC，则O是三角形ABC的外心；③若PA⊥PB， PB⊥PC，PC⊥PA，则O是三角形ABC的重心。正确命题是(      ) A．①②③   B.①②   C.①③   D.②③ 参考答案： B 5. 函数y=2x3﹣3x2﹣12x+5在区间上最大值与最小值分别是（　　） A．5，﹣15 B．5，﹣4 C．﹣4，﹣15 D．5，﹣16 参考答案： A 【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值． 【分析】对函数y=2x3﹣3x2﹣12x+5求导，利用导数研究函数在区间上的单调性，根据函数的变化规律确定函数在区间上最大值与最小值位置，求值即可 【解答】解：由题意y'=6x2﹣6x﹣12 令y'＞0，解得x＞2或x＜﹣1 故函数y=2x3﹣3x2﹣12x+5在（0，2）减，在（2，3）上增 又y（0）=5，y（2）=﹣15，y（3）=﹣4 故函数y=2x3﹣3x2﹣12x+5在区间上最大值与最小值分别是5，﹣15 故选A 【点评】本题考查用导数判断函数的单调性，利用单调性求函数的最值，利用单调性研究函数的最值，是导数的重要运用，注意上类题的解题规律与解题步骤． 6. 已知回归直线方程，当与之间相差10时，与之间相差 (A)10      (B)2      (C)20      (D)19 参考答案： C 7. 抛物线y=x2上的点到直线2x﹣y=4的最短距离是（　　） A． B． C． D． 参考答案： B 【考点】直线与圆锥曲线的关系． 【分析】利用点到直线的距离公式，结合配方法，即可得到结论． 【解答】解：设抛物线y=x2上的点的坐标为（x，y），则 由点到直线的距离公式可得d===≥ ∴抛物线y=x2上的点到直线2x﹣y=4的最短距离是 故选B． 8. 曲线y＝x3上一点B处的切线l交x轴于点A，△OAB(O是原点)是以A为顶点的等腰三角形，则切线l的倾斜角为(　　) A．30°     B．45°    C．60°    D．120°                                                       参考答案： C 略 9. 已知函数f（x）=﹣（a＞0）在区间[0，1]上有极值，且函数f（x）在区间[0，1]上的最小值不小于﹣，则a的取值范围是（　　） A．（2，5] B．（2，+∞） C．（1，4} D．[5，+∞） 参考答案： A 【考点】6D：利用导数研究函数的极值． 【分析】求出函数的导数，根据函数f（x）在[0，1]有极值，以及函数f（x）的单调性求出a的范围即可． 【解答】解：f′（x）=， 若f（x）在[0，1]上有极值， 则即，解得：a＞2， f（x）在[0，1]先递增再递减， 故f（x）min=f（1）=﹣≥﹣，解得：a≤5， 故a∈（2，5]， 故选：A． 10. 已知椭圆的左、右焦点分別为F1，F2，过F2的直线与椭圆交于A，B两点，若是以A为直角项点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（   ） A．         B．       C.         D． 参考答案： D 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知集合A={a,b,2},B={2,b2,2a},且A∩B=A∪B，则a=_______. 参考答案： 0或 略 12. 已知点与圆，是圆上任意一点，则的最小值 是   ▲   ． 参考答案： 5 13. 点P（x，y）是椭圆2x2+3y2=12上的一个动点，则x+2y的最大值为　　． 参考答案： 【考点】椭圆的简单性质． 【分析】先把椭圆2x2+3y2=12化为标准方程，得，由此得到这个椭圆的参数方程为：（θ为参数），再由三角函数知识求x+2y的最大值． 【解答】解：把椭圆2x2+3y2=12化为标准方程， 得， ∴这个椭圆的参数方程为：，（θ为参数） ∴x+2y=， ∴． 故答案为：． 14. 已知关于的不等式的解集为,  则ac=_____ __. 参考答案： -24 15. 形如45132的数称为“波浪数”，即十位数字，千位数字均比与它们各自相邻的数字大，则由1,2,3,4,5可构成不重复的五位“波浪数”的个数为________． 参考答案： 16 16. 过椭圆的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2＝60°，则椭圆的离心率为_________. 参考答案： 17. 已知过点（1，1）的直线l与圆C：x2+y2﹣4y+2=0相切，则圆C的半径为　    　，直线l的方程为　 　． 参考答案： ，x﹣y=0． 【考点】直线与圆的位置关系． 【分析】把圆C的方程化为标准方程，写出圆心与半径，验证点P（1，1）在圆C上，求出直线CP的斜率，从而求出直线l的斜率和方程． 【解答】解：圆C：x2+y2﹣4y+2=0， 化为标准方程是：x2+（y﹣2）2=2， 所以圆心坐标为C（0，2），半径r=； 又点P（1，1）满足方程x2+y2﹣4y+2=0， 所以点P在圆C上， 又直线CP的斜率为kCP==﹣1， 所以直线l的斜率为k=1， 直线l方程为y﹣1=x﹣1，即x﹣y=0． 故答案为：，x﹣y=0． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 轮船A从某港口O将一些物品送到正航行的轮船B上，在轮船A出发时，轮船B位于港口O北偏西30°且与O相距20海里的P处，并正以30海里/小时的航速沿正东方向匀速行驶，假设轮船A沿直线方向以V海里/小时的航速匀速行驶，经过t小时与轮船B相遇． （1）若使相遇时轮船A航距最短，则轮船A的航行速度大小应为多少？ （2）假设轮船A的最高航行速度只能达到30海里/小时，则轮船A以多大速度及什么航行方向才能在最短时间与轮船B相遇，并说明理由． 参考答案： 【考点】HU：解三角形的实际应用． 【分析】（1）设两轮船在Q处相遇，在△POQ中，利用余弦定理得出OQ关于t的函数，从而得出OQ的最小值及其对应的t，得出速度； （2）利用余弦定理计算航行时间t，得出PQ，OQ距离，从而得出∠POQ的度数，得出航行方案． 【解答】解：（1）设AB两船在Q处相遇， 在△OPQ中，OP=20，PQ=30t，OQ=Vt，∠OPQ=60°， 由余弦定理可得Vt==， ∴当t=时，Vt取得最小值10， 此时V==30． 即轮船A以30海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小． （2）在△POQ中，OQ=30t， 由余弦定理得：OQ2=PQ2+OP2﹣2×PQ×OPcos∠OPQ， 即（30t）2=400+900t2﹣1200tcos60° ∴600t=400 解得：t=，∴PQ=OQ=20， ∴△OPQ为等边三角形，∴∠POQ=30°． 故航行方向为北偏东30°，航行速度为30海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇． 19. 根据下列条件，分别写出椭圆的标准方程： （1）与椭圆有公共焦点，且过M（3，﹣2）； （2）中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过两点和． 参考答案： 【考点】椭圆的标准方程． 【分析】（1）利用椭圆的定义求出a，可得b，即可求出椭圆的标准方程； （2）利用待定系数法，求出椭圆的标准方程． 【解答】解：（1）椭圆的焦点坐标为（，0）， ∵椭圆过M（3，﹣2）， ∴2a=+=2， ∴a=，b=， ∴椭圆的标准方程为； （2）设椭圆方程为mx2+ny2=1（m＞0，n＞0）． ∵椭圆经过两点和， ∴，∴m=，n=， ∴椭圆的标准方程为． 20. 已知圆C的圆心在直线上，且圆C与y轴相切，若圆C截直线得弦长为求圆C的方程。 参考答案： 解析：设 半径为，C在上     　，又C与y轴相切，     　又在上截弦长为，则圆心到的距离             圆C方程为或21. 过点M(0，1)作直线，使它被两已知直线l1: x－3y+10=0和l2:2x+y－8=0所截得的线段恰好被M所平分，求此直线方程. 参考答案： 解法一：过点M与x轴垂直的直线显然不合要求，故设直线方程y=kx+1，若与两已知直线分别交于A、B两点，则解方程组可得 xA=,xB=.  由题意+=0, ∴k=－.故直线方程为x+4y－4=0. 解法二：设所求直线方程y=kx+1, 代入方程(x－3y+10)(2x+y－8)=0，得(2－5k－3k2)x2+(28k+7)x－49=0. 由xA+xB=－=2xM=0,解得k=－. ∴直线方程为x+4y－4=0. 解法三：∵点B在直线2x－y－8=0上，故可设B(t,8－2t)，由中点公式得A(－t,2t－6).  ∵点A在直线x－3y+10=0上， ∴(－t)－3(2t－6)+10=0,得t=4.∴B(4,0).故直线方程为x+4y－4=0.   22. 已知函数，若函数在处有极值-4． （1）求的单调递减区间； （2）求函数在[－1,2]上的最大值和最小值． 参考答案： （1）；（2）. 试题分析： 先求出导函数，根据导数的几何意义得到关于的方程组，求得后再根据导函数的符号求出单调递减区间． 由求出函数的单调区间，可以数判断函数在上的单调性