2021年辽宁省朝阳市大平房中学高二数学理期末试题含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 下列命题是真命题的是（ ）
A．“若，则”的逆命题；
B．“若，则”的否命题；
C．“若，则”的逆否命题；
D．“若，则”的逆否命题
参考答案：
D
略
2. 已知等差数列{an}满足a6+a10=20，则下列选项错误的是( )
A．S15=150 B．a8=10 C．a16=20 D．a4+a12=20
参考答案：
C
考点：等差数列的性质．
专题：计算题；等差数列与等比数列．
分析：利用等差数列的通项的性质，可得结论．
解答： 解：S15=（a1+a15）=（a6+a10）=150，即A正确；
a6+a10=2a8=20，∴a8=10，即B正确；
a6+a10≠a16，即C错误
a4+a12=a6+a10=20，即D正确．
故选：C．
点评：本题考查等差数列的通项的性质，考查学生的计算能力，正确运用等差数列的通项的性质是关键．
3. 曲线作线性变换后得到的回归方程为，则函数的单调递增区间为（ ）
A. (0,+∞) B. (1,+∞) C. D.
参考答案：
D
分析：令，对函数进行二次拟合得出a，b的值，代入计算即可.
详解：令
，解得，
，开口向上，
的单调递增区间为.
故选：D
点睛：本题考查了非线性相关的二次拟合问题，选择对数变换是关键.
4. 一个锥体的主视图和左视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是( )
A． B． C． D．
参考答案：
C
【考点】简单空间图形的三视图．
【专题】作图题．
【分析】由三视图的作法规则，长对正，宽相等，对四个选项进行比对，找出错误选项．
【解答】解：本题中给出了正视图与左视图，故可以根据正视图与俯视图长对正，左视图与俯视图宽相等来找出正确选项
A中的视图满足三视图的作法规则；
B中的视图满足三视图的作法规则；
C中的视图不满足三视图的作法规则中的宽相等，故其为错误选项；
D中的视图满足三视图的作法规则；
故选C
【点评】本题考查三视图的作法，解题的关键是掌握住三视图的作法规则即长对正，宽相等，高平齐，利用这些规则即可选出正确选项．
5. 已知定点A、B，且|AB|＝4，动点P满足|PA|－|PB|＝3，则|PA|的最小值为（ ）
A． B． C． D．5
参考答案：
C
略
6. 已知p：?m∈R，x2﹣mx﹣1=0有解，q：?x0∈N，；则下列选项中是假命题的为（ ）
A．p∧q B．p∧（￢q） C．p∨q D．p∨（￢q）
参考答案：
B
【考点】复合命题的真假．
【分析】对于m命题p：方程x2﹣mx﹣1=0，则△=m2+4＞0，即可判断出命题p的真假．对于命题q：由x2﹣x﹣1≤0，解得≤x≤，即可判断出命题q的真假．
【解答】解：对于m命题p：方程x2﹣mx﹣1=0，则△=m2+4＞0，因此：?m∈R，x2﹣mx﹣1=0有解，可得：命题p是真命题．
对于命题q：由x2﹣x﹣1≤0，解得≤x≤，因此存在x=0，1∈N，使得x2﹣x﹣1≤0成立，因此是真命题．
∴下列选项中是假命题的为p∧（￢q），
故选：B．
【点评】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法、一元二次方程的实数根与判别式的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
7. 已知ab≠0，那么是的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
参考答案：
A
8. 双曲线的渐近线方程为
A． B． C． D．
参考答案：
C
9. 已知是双曲线的左、右焦点，过且垂直于轴的直线与双曲线交于两点，若为钝角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围是( )
A． B．
C． D．
参考答案：
B
10. 某几何体的三视图如图所示，图中每一个小方格均为正方形，且边长为1，则该几何体的体积为（ ）
A．8π B．
C． D．12π
参考答案：
B
几何体为半个圆锥与半个圆柱的组合体，如图，体积为选B.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 在三角形ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若的面积S=2，则此三角形的外接圆直径是________。
参考答案：
12. 当点（x，y）在直线x+3y－2=0上移动时，函数y=3x+27y+3的最小值为 ．
参考答案：
9
略
13. 设变量x，y满足约束条件，则目标函数的最大值为 ．
参考答案：
【考点】简单线性规划．
【专题】计算题；作图题；数形结合法；不等式．
【分析】若求目标函数的最大值，则求2x+y的最小值，从而化为线性规划求解即可．
【解答】解：若求目标函数的最大值，
则求2x+y的最小值，
作平面区域如下，
，
结合图象可知，
过点A（1，1）时，2x+y有最小值3，
故目标函数的最大值为，
故答案为：．
【点评】本题考查了线性规划的变形应用及数形结合的思想应用，同时考查了指数函数的单调性的应用．
14. 已知两个正数x，y满足,则使不等式恒成立的实数m的范围是__________
参考答案：
【分析】
由题意将代入进行恒等变形和拆项后，再利用基本不等式求出它的最小值，根据不等式恒成立求出m的范围．
【详解】由题意知两个正数x，y满足，
则，当时取等号；
的最小值是，
不等式恒成立，．
故答案为：．
【点睛】本题考查了利用基本不等式求最值和恒成立问题，利用条件进行整体代换和合理拆项再用基本不等式求最值，注意一正二定三相等的验证．
15. 过点M（5，），且以直线y=±x为渐近线的双曲线方程为 ．
参考答案：
﹣=1
【考点】双曲线的标准方程．
【分析】依题意，可设所求的双曲线的方程为（x+2y）（x﹣2y）=λ，将点M（5，）的坐标代入求得λ即可
【解答】解：设所求的双曲线的方程为（x+2y）（x﹣2y）=λ，
∵点M（5，）为该双曲线上的点，
∴λ=（5+3）（5﹣3）=16，
∴该双曲线的方程为：x2﹣4y2=16，即﹣=1．
故答案为﹣=1．
【点评】本题考查双曲线的简单性质，着重考查待定系数法的应用，属于中档题．
16. 经过点（﹣2，3），且斜率为2的直线方程的一般式为 ．
参考答案：
2x﹣y+7=0
【考点】直线的点斜式方程；直线的一般式方程．
【分析】由直线的点斜式方程能够求出经过点（﹣2，3），且斜率为2的直线方程．
【解答】解：由直线的点斜式方程得：
经过点（﹣2，3），且斜率为2的直线方程为
y﹣3=2（x+2），
整理得2x﹣y+7=0，
故答案为：2x﹣y+7=0．
17. 设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝1，b＝2，cos C＝，
则sin B＝________.
参考答案：
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 如图,四边形为矩形,且, ,为的中点.
(1)求证:;
(2)求三棱锥的体积;
(3)探究在上是否存在点,使得,并说明理由.
参考答案：
解： (1)证明:连结,∵为的中点,,∴为等腰直角三角形,则,同理可得,∴,∴, …………2分
又,且, ∴, …………………3分
又∵,∴,又,∴.………5分
19. 直三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，是棱的中点，且.
（1）若点为棱的中点，求异面直线与所成角的余弦值；
（2）若点在棱上，且平面，求线段的长.
参考答案：
解：取边中点为∵底面是边长为2的正三角形，
∴ 连接，∵是边的中点∴，
以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
，，，
（1）若为的中点，则，，
设异面直线与所成的角为，则，
所以异面直线与所成的角得余弦值为
（2）设，则，，
若平面，则由，
∴可得
即当时，平面
20. 设椭圆：的左、右焦点分别为，上顶点为，过点与垂直的直线交轴负半轴于点，且．
（1）求椭圆的离心率； （2）若过、、三点的圆恰好与直线：相切，求椭圆的方程；
参考答案：
（1）；（2）。
（1）设Q（x0，0），由（c，0），A（0，b）
知
，
由于 即为中点．
故，
故椭圆的离心率
（2）由⑴知得于是（，0） Q，
△AQF的外接圆圆心为F1（-，0），半径r=|FQ|=
所以，解得=2，∴c =1，b=，
所求椭圆方程为
21. 已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－1与x＝2处都取得极值．
(1)求a，b的值及函数f(x)的单调区间；
(2)若对x∈[－2，3]，不等式f(x)＋3/2c
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