2021年北京教育学院分院附属中学高一数学理期末试卷含解析

2021年北京教育学院分院附属中学高一数学理期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（    ）  A.y = x (x∈(0,+∞))           B.y = 3x   (x∈R) C.y = x (x∈R)               D.y = lg|x|  (x≠0) 参考答案： C 2. 在△ABC中，若2cosBsinA＝sinC，则△ABC的形状一定是（    ） A．等腰直角三角形                       B．直角三角形 C．等腰三角形                           D．等边三角形 参考答案： C 3. 对a，b∈R，记max{a，b}=，函数f（x）=max{|x+1|，|x﹣2|}（x∈R）的最小值是（　　） A．0 B． C． D．3 参考答案： C 【考点】函数的值域． 【分析】根据题中所给条件通过比较|x+1|、|x﹣2|哪一个更大先求出f（x）的解析式，再求出f（x）的最小值． 【解答】解：当x＜﹣1时，|x+1|=﹣x﹣1，|x﹣2|=2﹣x，因为（﹣x﹣1）﹣（2﹣x）=﹣3＜0，所以2﹣x＞﹣x﹣1； 当﹣1≤x＜时，|x+1|=x+1，|x﹣2|=2﹣x，因为（x+1）﹣（2﹣x）=2x﹣1＜0，x+1＜2﹣x； 当＜x＜2时，x+1＞2﹣x； 当x≥2时，|x+1|=x+1，|x﹣2|=x﹣2，显然x+1＞x﹣2； 故f（x）= 据此求得最小值为． 故选C． 4. 要得到的图象只需将y=3sin2x的图象（    ）   A．向左平移个单位 B．向右平移个单 C．向左平移个单位                D．向右平移个单位 参考答案： C 略 5. 下列所示各函数中，为奇函数的是（     ）. A．    B．  C．    D． 参考答案： A 6. 已知函数f（x）=x2?sin（x﹣π），则其在区间[﹣π，π]上的大致图象是（　　） A． B． C． D． 参考答案： D 【考点】函数的图象． 【分析】先判断函数的奇偶性和，再令x=时，f（）=﹣＜0，问题得以解决． 【解答】解：f（x）=x2?sin（x﹣π）=﹣x2?sinx， ∴f（﹣x）=﹣（﹣x）2?sin（﹣x）=x2?sinx=﹣f（x）， ∴f（x）奇函数， ∵当x=时，f（）=﹣＜0， 故选：D 【点评】本题考查了函数图象的识别，关键掌握函数的奇偶性和函数值得特点，属于基础题． 7. △ABC的三个内角为A、B、C，若，则sin2B+2cosC的最大值为（　　） A． B．1 C． D．2 参考答案： C 【考点】HW：三角函数的最值． 【分析】利用同角三角函数的基本关系、诱导公式求得A的值，再利用余弦函数的定义域和值域，求得t=cosC 的范围，利用二次函数的性质，求得sin2B+2cosC的最大值． 【解答】解：∵△ABC的三个内角为A、B、C，若，则=tan（+）=， 求得 tanA=1，∴A=，B+C=， sin2B+2cosC=sin2（﹣C）+2cosC=﹣2cos2C+2cosC=1﹣2cos2C+2cosC． 令t=cosC，C∈（0，），则t∈（﹣，1），要求的式子为﹣2t2+2t+1=﹣2?+， 故当t=时，则sin2B+2cosC取得最大值为， 故选：C． 8. 已知a，b，c彼此不等，并且它们的倒数成等差数列，则=（    ） （A）        （B）–         （C）       （D）– 参考答案： B 9. （4分）直线x﹣y+3=0被圆（x+2）2+（y﹣2）2=2截得的弦长等于（） A． B． C． 2 D． 参考答案： D 考点： 直线和圆的方程的应用． 专题： 计算题． 分析： 先根据点到直线的距离公式求出圆心到弦的距离即弦心距OD，然后根据垂径定理得到垂足为弦长的中点D，根据勾股定理求出弦长的一半BD，乘以2即可求出弦长AB． 解答： 解：连接OB，过O作OD⊥AB，根据垂径定理得：D为AB的中点， 根据（x+2）2+（y﹣2）2=2得到圆心坐标为（﹣2，2），半径为． 圆心O到直线AB的距离OD==，而半径OB=， 则在直角三角形OBD中根据勾股定理得BD==，所以AB=2BD= 故选D． 点评： 考查学生灵活运用点到直线的距离公式解决数学问题，以及理解直线和圆相交所截取的弦的一半、圆的半径、弦心距构成直角三角形．灵活运用垂径定理解决数学问题． 10. 四边形中,,则 (A)      (B)        (C)        (D) 参考答案： A 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 天气预报说，在今后的三天中每一天下雨的概率均为40%，用随机模拟的方法进行试验，由1、2、3、4表示下雨，由5、6、7、8、9、0表示不下雨，利用计算器中的随机函数产生0?9之间随机整数的20组如下： 907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989 通过以上随机模拟的数据可知三天中恰有两天下雨的概率近似为　　　　　　． 参考答案： 12. 已知等比数列的前n项和为Sn，若S3：S2=3：2，则公比q=　　． 参考答案： 【考点】8G：等比数列的性质． 【分析】验证q=1是否满足题意，q≠1时，代入求和公式可得关于q的方程，解方程可得． 【解答】解：若q=1，必有S3：S2=3a1：2a1=3：2，满足题意； 故q≠1，由等比数列的求和公式可得S3：S2=： =3：2， 化简可得2q2﹣q﹣1=0，解得q=﹣， 综上，q=． 故答案为：． 13. 如图，在长方体ABCD – A1B1C1D1中，AB=3 cm，AD=2 cm，AA1=1 cm，则三棱锥B1– AB D1的体积为    cm3． 参考答案： 1 .   14. 函数y=Asin（ωx+?）（A＞0，0＜φ＜π）在一个周期内的图象如图，此函数的解析式为　　． 参考答案： 【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式． 【分析】根据所给的图象，可以看出图象的振幅是2，得到A=2，看出半个周期的值，得到ω，根据函数的图象过定点，把点的坐标代入求出φ的值，得到三角函数的解析式． 【解答】解：由图象可知A=2，， ∴T=π， ∴ω=2， ∴三角函数的解析式是y=2sin（2x+φ） ∵函数的图象过（﹣，2）这一点， 把点的坐标代入三角函数的解析式， ∴2=2sin[2（﹣）+φ] ∴φ﹣=2k， ∵0＜φ＜π， ∴φ= ∴三角函数的解析式是y=2sin（2x+） 故答案为：y=2sin（2x+） 15. △ABC三边各不相等，角A，B，C的对边分别为a，b，c且acosA＝bcosB，则的取值范围是      ． 参考答案： 16. 如果幂函数的图象经过点，则的值等于_____________. 参考答案： 略 17. 已知a=22.1，b=21.9，c=0.32.1，则a，b，c大小关系为　　． 参考答案： a＞b＞c 【考点】指数函数的单调性与特殊点． 【专题】函数思想；数形结合法；函数的性质及应用． 【分析】根据指数函数的单调性，判断函数的取值范围即可比较大小． 【解答】解：22.1＞21.9＞1，c=0.32.1＜1， 即a＞b＞c， 故答案为：a＞b＞c 【点评】本题主要考查指数幂的大小比较，根据指数函数的单调性是解决本题的关键． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. (本小题满分12分)已知向量a＝(sinB,1－cosB)与向量b＝(2,0)的夹角为，其中A、B、C是△ABC的内角． (1)求B的大小； (2)求sinA＋sinC的取值范围． 参考答案： 　 整理，得1－cosB－2sin2B＝0， 即2cos2B－cosB－1＝0. ∴cosB＝1或cosB＝－. ∵B为△ABC的内角， ∴00 又>0 ∴>0即 ∴在上为减函数.         （3）因是奇函数，从而不等式：   等价于， 因为减函数，由上式推得：． 即对一切有：恒成立，        设，令, 则有， ，即k的取值范围为。  略 20. 已知定义域为R的函数f（x）=是奇函数，f（1）=﹣． （1）求a，b的值； （2）判断函数f（x）的单调性，并用定义证明． 参考答案： 【考点】奇偶性与单调性的综合． 【分析】（1）根据函数的奇偶性求出b的值，根据f（1）的值，求出a即可； （2）根据函数单调性的定义证明即可． 【解答】解：（1）因为f（x）在定义域为R上是奇函数，所以f（0）=0， 即=0，解得：b=1， 又由f（1）=﹣，即=﹣，解得：a=1， 经检验b=1，a=1满足题意；                           （2）证明：由（1）知f（x）=，任取x1，x2∈R，设x1＜x2， 则f（x1）﹣f（x2）=﹣=， 因为函数y=2x在R上是增函数且x1＜x2， ∴﹣＞0 又（+1）（+1）＞0， ∴f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）， ∴f（x）在R上为减函数． 21. 已知单位向量的夹角为求向量的夹角。 参考答案： 解：有单位向量的夹角为，得 又 3 所以  ，  设的夹角为，   又所以。 即向量与的夹角为。 22. 如图，在六面体中，平面∥平面，平面，,,∥，且,．  (I）求证：平面平面；  (II）求证：∥平面；  (III）求三棱锥的体积． 参考答案： （1）∵平面∥平面，平面平面, 平面平面 . ∴为平行四边形，.         平面,平面， 平面, ∴平面平面. (2）取的中点为，连接、， 则由已知条件易证四边形是平行四边形， ∴，又∵， ∴             ∴四边形是平行四边形，即， 又平面    故 平面.    (3）平面∥平面，则F到面ABC的距离为AD. ＝